2022版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何命题探秘2第3课时圆锥曲线中的证明探索性问题学案含解析.doc

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1、第3课时圆锥曲线中的证明、探索性问题技法阐释1.圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法2.“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)高考示例思维过程(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k0)在椭圆1内，1，解得0m，故k0)，直线l不过原

2、点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由思维流程解(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0

3、，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP.将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形点评：本例题干信息中涉及的几何图形为平行四边形，把几何关系用数量关系等价转化是求解此类问题的关键几种常见几何条件的转化如下(1)平行四边形条件的转化几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等对角线互相平分中点重合(2)圆条件的转化几何性质代数实现点在圆上点与直径端点向量数量积为零点在圆外点与直径端点向量数量积为正数点在圆内点与直径端点向量数量积为负数(3)角条件的转化几何性质代数实现锐角、直角、钝角角的余弦(向量数量积)的符号倍角、半角、平分角角平分线性质、定理等角(相等或相似)比例线段或斜率7