2022年高考数学二轮复习简易通 专题提升训练15 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题 理 新人教A版.doc

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1、常考问题15椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时50分钟)1(2013新课标全国卷)已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析直线AB的斜率k,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以得.又x1x22,y1y22,所以k,所以,又a2b2c29,由得a218,b29.故椭圆E的方程为1.答案D2已知双曲线1(a0,b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为()A5x2y21 B.1C.1 D5x2y21解析由于抛物线y24x的焦点为F

2、(1,0),即c1,又e,可得a,结合条件有a2b2c21,可得b2,又焦点在x轴上,则所求的双曲线的方程为5x2y21.答案D3(2013湖州一模)已知抛物线y24px(p0)与双曲线1(a0,b0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AFx轴,则双曲线的离心率为()A. B.1 C.1 D.解析依题意,得F(p,0),因为AFx轴,设A(p,y),y0,y24p2,所以y2p.所以A(p,2p)又点A在双曲线上,所以1.又因为cp,所以1,化简,得c46a2c2a40,即46210.所以e232,e1.答案B4已知双曲线C与椭圆1有共同的焦点F1,F2,且离心率互为倒数若双曲线右支上一点

3、P到右焦点F2的距离为4,则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于()A3 B4 C2 D1解析由椭圆的标准方程,可得椭圆的半焦距c2,故椭圆的离心率e1,则双曲线的离心率e22.因为椭圆和双曲线有共同的焦点,所以双曲线的半焦距也为c2.设双曲线C的方程为1(a0,b0),则有a1,b2,所以双曲线的标准方程为x21.因为点P在双曲线的右支上,则由双曲线的定义,可得|PF1|PF2|2a2,又|PF2|4,所以|PF1|6.因为坐标原点O为F1F2的中点,M为PF2的中点所以|MO|PF1|3.答案A5(2013山东卷)抛物线C1:yx2(p0)的焦点与双曲线C2:y21的右焦点的连线交C1于第

4、一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p()A. B. C. D.解析抛物线C1:yx2的标准方程为x22py,其焦点为F;双曲线C2:y21的右焦点F为(2,0),其渐近线方程为yx.由yx,所以x,得xp,所以点M的坐标为.由点F,F,M三点共线可求p.答案D6(2013陕西卷)双曲线1(m0)的离心率为,则m等于_解析由题意得c,所以,解得m9.答案97(2013合肥二模)设抛物线y28x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点PAl,A为垂足,如果AF的斜率为,那么|PF|_.解析抛物线的焦点为F(2,0),准线为x2,因为PA准线l,设P(m,n),则A(2,n)

5、,因为AF的斜率为,所以,得n4,点P在抛物线上,所以8m(4)248,m6.因此P(6,4),|PF|PA|6(2)|8.答案88(2013福建卷)椭圆T:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆T的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于_解析直线y(xc)过点F1,且倾斜角为60,所以MF1F260,从而MF2F130,所以MF1MF2,在RtMF1F2中,|MF1|c,|MF2|c,所以该椭圆的离心率e1.答案19设F1,F2分别是椭圆E:x21(0b1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|B

6、F2|成等差数列(1)求|AB|;(2)若直线l的斜率为1,求b的值解(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4,又2|AB|AF2|BF2|,得|AB|.(2)l的方程为yxc,其中c.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组消去y,得(1b2)x22cx12b20,则x1x2,x1x2.因为直线AB的斜率为1,所以|AB|x2x1|,即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2,解得b.10已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线

7、上的一点,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已知得解得又b2a2c2,b,所以椭圆C的方程为1.(2)设M(x,y),其中x4,4,由已知2及点P在椭圆C上可得2,整理得(1629)x2162y2112,其中x4,4当时,化简得9y2112,所以点M的轨迹方程为y(4x4)轨迹是两条平行于x轴的线段当时,方程变形为1,其中x4,4当0时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4x4的部分;当b0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率

8、为k的直线与椭圆交于C,D两点若8,求k的值解(1)设F(c,0),由,知ac.过点F且与x轴垂直的直线为xc,代入椭圆方程有1,解得y,于是,解得b,又a2c2b2,从而a,c1,所以椭圆的方程为1.(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(1,0)得直线CD的方程为yk(x1),由方程组消去y,整理得(23k2)x26k2x3k260.由根与系数的关系可得x1x2,x1x2,因为A(,0),B(,0),所以(x1,y1)(x2,y2)(x2,y2)(x1,y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68,解得k.5

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