2008年全国高中数学联赛.doc

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1、 2008年全国高中数学联赛 黑龙江预赛试题(高三) 答案 题号123456789101112选项BDCDACBDBDAB答案 ：B PQ只有一个子集即PQ为空集，数形结合可知k1时，直线与曲线 无交点2答案 ：D ,是的必要而不充分条件；由，得，命题为真命题3答案 ：C 因为，所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形。 4答案: D 由已知得，两边平方得，求得或令，则，所以答案 ：A ，令， , ， ， , , , , ，有。故选A。 6答案 ：C 解法一：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上 任选正方形的三边，使三个顶点分别在其上，有4种方法；再在选出的三条边上各选一点

2、，有73种方法这类三角形共有473=1372个 另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法，再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点这类三角形共有42121=1764个综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136解法二： 7答案 ：B f (x)是R上的增函数,且f(0)=-1,f(3)=1, 当f(x+1)1时， 有-1f(x+1)1.即0x+12， -1x2.8答案：D 设 M F双曲线的交点为P，焦点F（c,0）, F2 ( c, 0),由平面几何知识知：F2P

3、FM，又|F F2|=2c 于是 |PF2| =2csin60=c |PF1| =c 故 2a= |PF2| |PF1| =cc =（ 1）c e= =+1.9答案：B 由，知函数的最小正周期是3，是奇函数，函数的图象关于点对称，又由已知，可知，正确10答案:D 在展开图中点C为线段P1 P2中点，B为线段P2 P3中点，P1A=P3A, , P1C=P3B=P2C=P2B,AC=AB,在三棱锥中取BC中点D，连结PD、AD，则11答案：A 令 则互为反函数 与和直线的交点关于直线对称 由与联立解得线段的中点 12答案B, 所以，即，所以的最小值为。13答案：原不等式等价于；移项，通分得 由已

4、知，所以解得 ；解得或 故原不等式的解集为 14.答案： 由二项式定理知: 的展开式中的系数为C,的展开式中的系数为C,于是有C= C,解得 =.15答案： 设，作ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上。在DGB中，当时，即。16答案： A 延长 D1A1,DA,D1C1,DC将此多面体补成三棱锥,利用大三棱锥的体积与两个小三棱锥体积的差求得17解：（1） .(2) 由函数的周期 函数的表达式为 .(4) （2）由题意，得 .(6) 又 .(8) 即函数的值域为1，. .(10) 18. 解：（1）求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必中的概率，其概率

5、为。 . (4) （2）若连续两次投篮不中则停止投，阿明不能入围，该事件可以分为下列几类：5次中3次有种可能投球方式，其概率为：. .(6) 投中2次，其分别有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4类投球方式，其概率为： (8)投中一次，其分别为“中否否”、“否中否否”2类，其概率为； (10)投中0次其仅有“否否”一种，其概率为：。故 (12) 19如图,四边形内接于圆,是的中点,是线段和的交点,求证:.证:作,(为垂足)(2) 则. (4) 设PGk,因共圆,. (6) 故是的中点.(因为等腰三角形), (8)为平行四边形,(因P、E、K、F为四边形各边中点). (

6、10).(对角线互相平分). (12) 20解：（1）.（2分） 是首项为，公比为的等比数列. .（5分）（2）两式相减得： . （8分）即比较与的大小.，即比较与的大小.时，； . (9 )时，；（10分）时，（11分）故：当n=1时或2时，当时，（12分）21解（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为 (2) O为椭圆中心，由对称性知|OC|OB|又，ACBC又|BC|2|AC|OC|AC|AOC为等腰直角三角形 .(4) 点C的坐标为（1，1） 点B的坐标为（1，1）将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得，则求得椭圆方程为 .(6)（II）由于PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为k，因此PC、QC的直线方程分别为yk（x1）+1，yk（x1）+1.(8)由 得（13k2）x26k（k1）x3k26k10 *）点C（1，1）在椭圆上，x1是方程（*）的一个根，xP1即xP同理xQ . . (10)直线PQ的斜率为（定值） 又ACB的平分线也垂直于OA直线PQ与AB的斜率相等（kAB=）向量，即总存在实数，使成立 (12) 22（I）证明：、满足的一个实根， 2分4分 （II）证明：设、，0，方程的一个根为1，另一根为6分8分（）解：设由已知不妨设 10分上为增函数， 同理当中至少有一个为正数. 12分