届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标定点定值探索性问题文新人教版.doc

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1、课堂达标(四十八) 定点、定值、探索性问题A根底稳固练1(2022北京西城区模拟)椭圆C：1(ab0)的离心率e，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论解(1)由短轴长为2，得b，由e，得a24，b22.所以椭圆C的标准方程为1.(2)以MN为直径的圆过定点F(，0)证明如下：设P(x0，y0)，那么Q(x0，y0)，且1，即x2y4，因为A(2,0)，所以直线PA方程为y(x2)，所以M，直线QA方程

2、为y(x2)，所以N，以MN为直径的圆为(x0)(x0)0，即x2y2y0，因为x42y，所以x2y22y20，令y0，那么x220，解得x.所以以MN为直径的圆过定点F(，0)2椭圆1(ab0)的左焦点F1(1,0)，长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，假设mn，求证：为定值解析(1)由得解得a2，b.故所求椭圆方程为1.(2)证明：由F1(1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为yk(x1)(k0)由得(34k2)x28k2x4k2120.由于0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有x1x2，x1x2，|A

3、B|.同理|CD|.所以.当直线m垂直于坐标轴时，此时|AB|3，|CD|4；或|AB|4，|CD|3，所以.综上，为定值.3(2022安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：1(ab0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点(1)求椭圆E的标准方程；(2)假设斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值解(1)因为e，所以ca，a2b22.又椭圆过点(，)，所以1.由，解得a26，b24，所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明：设直线l：ykx1，联立得(3k22)x26kx90.设C(x1，y1)，D(x2，y

4、2)，那么x1x2，x1x2，易知B(0，2)，故kBCkBDk2k23k(3k22)2.所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值4(高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为x

5、ya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，那么直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意B能力提升练1(2022山东省实验中学高三段考)如图，椭圆C：1(ab0)经过点(0,1)，离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线xmy1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A(A与B不重合)，那么直线AB与x轴是否交于一个定点？假

6、设是，请写出定点坐标，并证明你的结论；假设不是，请说明理由解(1)依题意可得，解得a2，b1.所以，椭圆C的方程是y21(2)由，得(my1)24y24，即(m24)y22my30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A(x1，y1)，且y1y2，y1y2. 经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为.令y0，那么xy1x1.又x1my11，x2my21，当y0时，x4，这说明，直线AB与x轴交于定点(4,0)2如图，椭圆长轴的端点为A，B，O为椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，且1，|1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线

7、l，使点F恰为PQM的垂心，假设存在，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由解(1)设椭圆方程为1(ab0)，那么c1，又(ac)(ac)a2c21.a22，b21，故椭圆的标准方程为y21.(2)假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(0,1)，F(1,0)，直线l的斜率k1.于是设直线l为yxm，由得3x24mx2m220，x1x2m，x1x2.x1(x21)y2(y11)0.又yixim(i1,2)，x1(x21)(x2m)(x1m1)0，即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0.(*)将代入(*)式得2(m1)m2m0，解得m或

8、m1，经检验m符合条件故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，直线l的方程为3x3y40.C尖子生专练椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标解(1)由可得解得a26，b22.所以椭圆C的标准方程是1.(2)由(1)可得，F的坐标为(2,0)，设T点的坐标为(3，m)，那么直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.由可得，|TF|，|PQ|，.所以.当且仅当m21，即m1时，等号成立，此时取得最小值所以当最小时，T点的坐标是(3,1)或(3，1)