届高考数学一轮复习第七章立体几何第五节空间向量及其应用课时规范练理含解析新人教版.doc

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1、第七章 立体几何 第五节 空间向量及其应用A组基础对点练1(2021河北、山西、河南三省联考)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为等边三角形，且二面角PBCA的大小为120，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A BC D解析：取BC的中点O，连接OP，AO，因为ABC和PBC均为等边三角形，所以AOBC，POBC，所以POA是二面角PBCA的平面角，即POA120，过点B作AC的平行线交AO的延长线于点D，连接PD，则PBD或其补角是异面直线PB和AC所成的角，设ABa，则PBBDa，POPDa，所以cos PBD.答案：A2(2020河南示范性高中第二次联考)某三棱锥PABC的三视图

2、如图所示，P，A，B，C在三视图中所对应的点分别为P，A，B，C，则二面角 ABCP的余弦值为()A BC D解析：三棱锥PABC如图所示，作ADBC，垂足为D，连接PD，易知ADP是二面角ABCP的平面角，因为ABAC，AB4，AC3，所以BC5，则AD.又PA平面ABC，AD平面ABC，所以PAAD，所以PD，从而cos ADP.答案：D3(2020河北示范性高中联合体联考)正方体ABCD A1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E，F，G，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为()A BC D解析：正方体ABCD A1B1C1D1的棱上到直线A1

3、B与CC1的距离相等的点分别为D1，BC的中点，B1C1的四等分点(靠近B1)，不妨设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点(靠近B1)为F.以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，设AB2，则E(1，2，0)，F，G(0，0，2)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，从而，AC1(2，2，2).设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则nn0，即x2zx2y0，令x4，得n(4，3，1).设直线AC1与平面EFG所成角为，则sin |cos n，AC1|.答案：D4已知在直二面角l中，A，B，A，B都不在l上，AB与所成的角为x，AB与所成的角为y，AB与l所成的角

4、为z，则cos2xcos2ysin2z的值为()A B2C3 D解析：过点A，B分别作ACl，BDl，垂足分别为C，D，过点B作直线平行于l，过点C作直线平行于BD，两直线交于点E，连接AD，BC，AE(图略).因为二面角l为直二面角，BD，l，BDl，所以BD.同理AC.又BAD，ABC分别为AB与平面，所成的角，所以有BADx，ABCy.因为BEl，所以EBAz.因为ECBD，所以ECl，又AC，所以ACl，所以l平面AEC，所以AEl，即AEBE，所以cos2xcos2ysin2z2.答案：B5已知平面，且与的距离为d(d0)，m，则在内与直线m的距离为2d的直线共有_条解析：由题意得平

5、面内与直线m的距离为2d的直线为以直线m为中心线，半径为2d的圆柱面与平面的交线，易知交线有2条答案：26.如图所示，已知AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上若PAAB2，ACBC，则二面角PACB的正切值是_解析：取AC的中点D，连接OD，PD(图略)，则ODAC，PDAC，PDO是二面角PACB的平面角PAAB2，ACBC，PO，OD，二面角PACB的正切值tanPDO.答案：7.如图所示，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的

6、正弦值解析：(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)如图所示，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以PEPF，所以PH，EH，则H(0，0，0)，P，D，.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，则sin ，所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.B组素养提升练1如图所示，直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA14，A

7、B2，BAD60，M，N分别是BB1，A1D的中点求二面角AMA1N的正弦值解析：取BC的中点为E，则DEDA，以D为坐标原点的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，2)，N(1，0，2)，A1A(0，0，4)，A1M(1，2)，A1N(1，0，2)，(0，0).设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1，0).设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2，0，1).于是cos m，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.2.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分

8、别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，ABBC，ACAA12.(1)求证：AC平面BEF；(2)求二面角BCDC1的余弦值解析：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以ACEF.因为ABBC，所以ACBE，所以AC平面BEF.(2)由(1)知ACEF，ACBE，EFCC1.又CC1平面ABC，所以EF平面ABC.因为BE平面ABC，所以EFBE.如图所示，建立空间直角坐标系Exyz.由题意得B(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，F(0，0，2)，G(0，2，1)，所以(1，2，0)，

9、(1，2，1).设平面BCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即令y01，则x02，z04.于是n(2，1，4).又因为平面CC1D的法向量为(0，2，0)，所以cos n，.由题意知二面角BCDC1为钝角，所以其余弦值为.3(2020安徽江南十校联考)斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1B，A1ABA1AC60.(1)证明：平面A1BC平面ABC；(2)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值解析：(1)证明：AB2，A1B，A1AB60，由余弦定理得A1B2AAAB22AA1AB cos A1AB，即AA2AA130AA13或1(舍)，故AA13.取BC的中点

10、O，连接OA，OA1，ABC是边长为2的正三角形，AOBC，且AO，BO1.由ABAC，A1ABA1AC，AA1AA1得A1ABA1AC，得A1BA1C，故A1OBC，且A1O.AO2A1O2369AA，AOA1O.又BCAOO，故A1O平面ABC.A1O平面A1BC，平面A1BC平面ABC.(2)以O为原点，OB所在的直线为x轴，取B1C1的中点K，连接OK，以OK所在的直线为y轴，过O作OGAA1，以OG所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，B1(1，3，0)，C1(1，3，0)，A1(0，2，)，BC1(2，3，0)，BB1(0，3，0)，BA1(1，2，)，设平面AB

11、B1A1的一个法向量为m(x，y，1)，则m(，0，1).设直线BC1与平面ABB1A1所成角为，则sin ，故直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.4如图所示，在ABC中，O是BC的中点，ABAC，AO2OC2，将BAO沿AO折起，使B点到达B点(1)求证：AO平面BOC；(2)当三棱锥BAOC的体积最大时，试问在线段BA上是否存在一点P，使CP与平面BOA所成的角的正弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：因为ABAC且O是BC的中点，所以AOBO，AOCO，由折叠知AOBO，又因为COBOO，所以AO平面BOC.(2)法一：不存在，证明如下：当BO平

12、面AOC时，三棱锥BAOC的体积最大，在直角三角形CPO中，CO1，COP，sin CPO，所以PC，所以OP，易求得O到直线AB的距离为，所以满足条件的点P不存在法二：不存在，证明如下：当BO平面AOC时，三棱锥BAOC的体积最大，所以OCOB，故OA，OB，OC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz，则A(2，0，0)，B(0，0，1)，C(0，1，0)，设(2，0，)，则(22，1，)，又因为平面BOA的法向量n(0，1，0)，依题意得，得，化简得1021670，此方程无解，所以满足条件的点P不存在5(2021河南郑州模拟)如图所示，在四边形ABCD中，ABCD，BCD，四边形AC

13、FE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解析：(1)证明：在梯形ABCD中，设ADCDBC1，ABCD，BCD，AB2，AC2AB2BC22ABBCcos 3，AB2AC2BC2，BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF.又CFBCC，AC平面BCF.四边形ACFE是矩形，EFAC，EF平面BCF.(2)以CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，设ADCDBCCF1，令FM(0)，则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，M(，0，1)，(，1，0)，(，1，1)，设平面MAB的法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，则n1(1，)为平面MAB的一个法向量易知n2(1，0，0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，则cos .0，当0时，cos 有最小值，当点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.