《大学物理教学课件》第六章-机械振动ppt.ppt

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1、第二篇第二篇 机械振动机械振动 机械波机械波概述 振动和波物理量在时间和空间上反复变化的运动形式 振动和波动理论的发展振动和波机械振动（波）：物体位置的往返变化电磁振动（波）：电磁参量的往返变化经典力学电磁波理论波动理论声学无线电技术地震、海洋学科非线性波（孤波）生物振子经济物理振动和波动理论是声学、建筑力学、光学、地震学、无线电技术、原子物理学等领域的基础胡克胡克本章本章教学要求：教学要求：掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。位）及各量间的关系。理解旋转矢量法。理解旋转矢量法。掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的

2、掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。动的运动方程，并理解其物理意义。了解阻尼振动、受迫振动和共振。了解阻尼振动、受迫振动和共振。理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。了解相互垂直的简谐振动的合成。了解相互垂直的简谐振动的合成。本章重点：本章重点：描述简谐振动各物理量（特别是相位）描述简谐振动各物理量（特别是相位）旋转矢量法。旋转矢量法。简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程同方向、同频率的两个简谐振动的合成同方向、同频率

3、的两个简谐振动的合成本章难点：本章难点：振动相位振动相位,旋转矢量旋转矢量,简谐振动的合成简谐振动的合成内容6.1 简谐振动简谐振动6.2 简谐振动的描述简谐振动的描述振幅、周期、初相振幅、周期、初相6.3 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法6.4 简谐振子的能量简谐振子的能量6.5 简谐振动的合成简谐振动的合成6.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振6.1 简谐振动简谐振动 振动一个物理量在平衡位置附近作往复变化 机械振动物体位置在某中心附近往复变化 简谐振动最简单的运动形式mo（b）扭摆mo（c）弹簧振子mo（a）单摆1、周期性。物理量某个时间后可完全重复2、有一

4、个平衡位置1、回复力：指向平衡位置的力2、惯性特点条件 简谐振动的典型例子弹簧振子弹簧振子模型：弹簧振子模型：无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数无质量弹簧（轻弹簧），劲度系数为为K (倔强系数倔强系数)。质量为。质量为m的小球（质点）。无摩擦。的小球（质点）。无摩擦。XoxA22dtxdmkxf022xmkdtxd2 mk令0222xdtxdkm解的形式tAxcossinxBt或mlmgf sinMmgl 小球受到的重力矩为222 sindmglJmldt根据转动定律22sin dgdtl 当 角很小时，022lgdtd0222dtdlg等时性原理单摆22sindgdtl 简谐振动的动力学方程方程

5、的解可以是指数函数、正弦函数或者余弦函数，统一用余弦函数表示：0222xdtxd满足方程运动的物理量x则该物理量的运动称为简谐振动tAxcostAxcoskm对于弹簧振子：lg对于单摆：0cost称为圆频率，由系统本身性质决定称为圆频率，由系统本身性质决定,与外界无关。与外界无关。 研究简谐振动的意义（1）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。）简谐振动是一种最简单的振动，容易研究。（2）复杂的振动是由简谐振动合成的，研究简谐振动）复杂的振动是由简谐振动合成的，研究简谐振动是研究其他振动的基础。是研究其他振动的基础。01( )sincos2nnnaf tan tbn t例如：任何一个周期振动函

6、数都可作如下形式展开这种方式的展开称为傅里叶级数展开6.2 描述简谐振动的三个物理量描述简谐振动的三个物理量振幅振幅：物体离开平衡位置的最大位移的绝对值tAxcos周期周期：物体作一次完全振动所经历的时间频率频率：单位时间内物体所作完全振动的次数周期、频率、角频率的关系212, , 2TTT周期频率角频率简谐振动物体的运动状态完全由 决定tt称为相位为 时的相位，称为初相0t 一个相位值对应唯一一个运动状态相位相差 整数倍的物体，运动状态相同2相位与初相相位与初相振幅 和频率 给定AtAxcos两个简谐振动相位差的讨论两个简谐振动相位差的讨论 12121122ttt当 时， 为初相差，与时间无

7、关（相差恒定）2121若 2, 012,kk， ，两振动同相若 (21) , 012,kk， ，两振动反相。超前于振动，称振动若1212tt2121tt若，称振动 滞后于振动 。超前与滞后只具有相对意义但是对于有因果关系的两个振动，它们相位的超前与滞后是确定的振幅 和初相 的确定A:(4)(0 2 ),(1)2注 由确定的 值在或范围内有两个值 将这两个值代入、（ ）式，一定有一个与初始条件不符，舍去！) 4(tan) 3 (002020 xvvxA) 2() 1 (sincos00则有AvAx000vvxxt，时，设代入物体的振动方程与速度方程tAxcostAdtdxvsin1t2t3tot

8、x1t2t3tot1t2tot3tvaT（b）（c）（a）为位移振幅AtAxcossinmdxvdtAtvA 为速度振幅2222cosmd xadtAtaA 为加速度振幅例例1、 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸长量弹簧伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有力，使它具有 的向下的速度，它就上下振动起的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。来。试证明物体是作简谐振动，并写出其振动方程式。11sm:解kmm0vXo 0omgkl物体在平衡位置 ，重力与

9、弹力平衡，则有：表面上看，物体受重力与弹力，似乎并不满足简谐振动的条件。kmm0vXo22 dtxdmlxkmgx第二定律时，根据牛顿当物体运动至某点0 22xmkdtxd整理可得以平衡位置为坐标原点O,向下x为正方向 cos sin,xAtvAt 振动方程为，速度方程为由此可知物体做简谐振动0mgkl)(101sradlgmk,sin cos tAvtAx，速度方程为振动方程为100100smvxt，时，初始条件：mvxA1 . 0101022020001tan10 02vx 20sin0sin0Av mtx210cos1 . 0物体的振动方程为：Xokmm0v:解例例2、轻弹簧的一端固定，

10、另一端与物体轻弹簧的一端固定，另一端与物体m间由柔软间由柔软细绳连接，细绳跨于桌边滑轮细绳连接，细绳跨于桌边滑轮M上，而上，而m悬于细绳下悬于细绳下端。已知弹簧的倔强系数端。已知弹簧的倔强系数 ，滑轮的质量为，滑轮的质量为M=1kg，半径，半径R=0.2米，物体质量米，物体质量m=1.5kg。若将物体。若将物体由平衡位置向上托起由平衡位置向上托起0.15米，然后突然放手。证明物米，然后突然放手。证明物体做简谐振动，并写出振动方程。体做简谐振动，并写出振动方程。50/kN mkmM 0 01oxmgkx0在平衡位置 处,弹簧伸长,有 020 2oxxxTk xx物体离开 点 处时,弹簧伸长，2T

11、1Tm1TmgoxkmM2T1T1Tmg 3 1maTmgm对物体 2121 42MTTRMR对滑轮 100 kxmg 202xxkT 5aR且 621 222xxMmkdtxda解上述方程得物体平衡条件：平衡位置为坐标原点oox秒周期1.26.402 TmxvxAvmxt15. 0015. 0 0 0202000，时，又 621 222xxMmkdtxda解上述方程得50 5/11.50.52kmrad smM作谐振动，且圆频率为 1cos cos 0得由AAx mttAxm 5cos15. 0cos 的振动方程为注意：注意：（1）解题中O点的确定原则：物体保持静止的位置。（2）解得的初相要

12、结合初始速度作正确取舍。6.3 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 旋转矢量与简谐振动的对应关系xxt( ) to矢量长度为 ，旋转角速度 ，矢量末端画出一圆轨迹参考圆A时，矢量与 轴夹角为0t x任一时刻，矢量与 轴夹角为x( ) tt矢量末端在 轴上的投影坐标为xtAxcos振幅 和频率 给定A旋转矢量在 轴上的投影坐标可以完全描述简谐振动xxxtootAxcos（1）确定初相方便讨论振动合成（2）直观表示相差确定初相120 x1p1p0 x（1）根据初始位置 确定旋转矢量两个可能的位置（有时只有一个，如 ）0 x0 xA （2）根据初始速度 的方向（取+或-）选择其中正确的

13、一个矢量0v00v 00v V0t1x2x3x4x5x012345,xx x x x x30, ,(),2 (0)222直观表示相差两个振动111cosxAt222cosxAt超前 相位2x1x1A2A12x落后 相位2x1x2x1A2A20.05cos(6 ) ()xtSI解：解：（1） Nmk06020720.例例3 3、一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数k=0.72N.m-1，物体的质量m=20g。1.把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放，求简谐运动方程；2.求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；3.如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右的初速

14、度2A0v=0.30 m.s-1 ，求其运动方程。 050022020.xvxA0tan00 xv或0初相 0由旋转矢量 欲求 处的速度，需先求出物体从初位置运动到第一次抵达 处的相位。 2Ax 2A353 ,212cos或tAAAxt0.05cos(6 )xt物体第一次经过A/2处时旋转矢量图3 t由旋转矢量 1 Asin0.26vtm s 物体在x=0.05m处具有向右的初速度时旋转矢量图mx05. 001030. 0smvmvxA0707. 0220201tan00 xv4341或410.0707cos(6)4xt（3）因 ，故振幅和初相分别为 由题意作出旋转矢量图（6-12）。从图可知

15、则简谐运动方程为 例例4、已知一简谐振动的、已知一简谐振动的位移曲线如图所示，写位移曲线如图所示，写出振动方程。出振动方程。)(st1)(cmx12120:解从图可知mcmA02. 02; 0,2 000vAxt时，; 0, 0 1vxt时，ot1t2Ax0t3267232)( 3267cos02. 0SItx12 6.4 简谐振子的能量简谐振子的能量XoxA动能：222211sin ()22kEmvmAttAxcos势能：2222011cos ()22xpEkxdxkxmAt2221122kpEEEmAkA总能：mlh0cost动能：2222220111()sin ()222kdEmvm l

16、mltdt 势能：222201(1 cos )cos ()2pEmghmglmlt 222012kpEEEml 总能：tAxcos221kAE PEkEEttOOx动能最大时，势能为0；势能最大时，动能为0振动总能量不随时间变化振动动能和势能各自随时间作周期为 的变化2T简谐振动的机械能守恒简谐振动微分方程恒量 212122Ekxmv0 dtdxkxdtdvmvt求导等式两边对0 22kxvdtxdmv即0 22xmkdtxd6.5 简谐振动的合成简谐振动的合成 两个振动：同方向、同频率111cosxAt222cosxAt数学处理1122coscoscos()xAtAtAt12212221co

17、s2AAAAA22112211coscossinsintanAAAA旋转矢量法1x2xxA1A2AOX12AAAcoscos()xAAt12212221cos2AAAAA余弦定理求振幅22112211coscossinsintanAAAA几何关系求初相讨论讨论21 2k 当即同相 2121 AAA21 21k 当即反相。与振幅较大的初相相同 21AAA12212221cos2AAAAA22112211coscossinsintanAAAA1x2xxA1A2AOX2AA1A1x2xxOX 两个振动：同方向、不同频率1111cosxAt2222cosxAt1222t11t2A1AAcos( ( )

18、xAt t11221122sinsintancoscosAAAA2212122cos()AAAA At2121合振动非常复杂，其振幅和频率都随时间变化拍拍211202cos() cos()22xAtt11221122sinsintan00coscosAAAA2102cos()2AAt210120AAA2212122cos()AAAA At2112122tttt122t1t2A1AAcos( ( )xAt tt1xt2xtx210212cos21AtT拍拍单位时间振幅最大值出现的次数称为拍频，用表示。2102cos 2AtT的周期为211202cos() cos()22xAtt211T2121声

19、音时大时小声音时大时小-“拍现象拍现象”例：同时敲击两个频率相近的音叉，会听到嗡 嗡嗡嗡、的声音。拍现象在技术上有许多重要的应用。双簧管就是利用两个簧片振动频率的微小差别产生颤动的拍音。校准乐器（如钢琴）时，钢琴产生的频率与标准音叉产生的频率如果有微小的差别，叠加后就会产生拍音。调整到拍音消失就校准了钢琴某一个键的琴音。测出两个振动合成产生的拍频，如果已知一个振动的频率，就可以求出另一个振动的频率。这可以用于汽车、人造卫星等测速。 两个振动：相互垂直，同频率11cosxAt22cosyAt数学处理消去 得合振动点的轨迹方程t22221212212122cos()sin ()xyxyAAA A这

20、是一个椭圆，其形状和位置由初相位差21决定（1）同相位210)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx0)(221AyAx21AyxAYXA1A2（2）反相位21212()0 xyAA21AyxA YXA1A2)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx（3）相位差2121222212AyAx（4）相位差212 YXYX1222212AyAx02120212旋转矢量法XYXY1A2AtAxcos1)2cos(2tAy 设有两同频率但相位差设有两同频率但相位差 /2的两个垂直振动的两个垂直振动 两个振动：相互垂直，频率不同6.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振

21、动受迫振动 共振共振 阻尼振动由于阻力，振动能量耗散，从而振幅逐渐减小的振动阻尼正比于运动速度rfv 阻尼系数根据牛顿第二定律vkxdtxdm22则令mkm20 2 22 0d xdxkxdtm dtm即220220d xdxxdtdt方程的解为时（弱阻尼）在（ 1202tAextcos22000 tAvxAe， 、由初始条件 、 决定，此时系统仍能维持振 动，但振幅按指数规律衰减。x0tAet220220d xdxxdtdt2tE E e0振动能量：=时（弱阻尼）在（ 1202tAextcosx0tAet2tE E e0振动能量：=振动能量损失的原因：1.摩擦阻尼。介质对振动物体的摩擦阻力，

22、使得振动系统的能量变为热运动的能量。各类机器，为了减震防震，加大振动时的摩擦阻尼。2.辐射阻尼。振动物体引起邻近质点的振动，能量向四周辐射，变为波动的能量。声源和乐器为了让更多的声能辐射出去，需加大其辐射阻尼，各种弦乐器上的空气箱就能起到这种作用。时间常量。能量减少到1/e经历的时间：1=2在声学、光学和电学中，时间常量又称为鸣响时间。阻尼越小，鸣响时间越长。常常用在鸣响时间内可能振动的次数的2倍定义为阻尼振动的品质因素2QT2tE E e0振动能量：=这里T和是振动系统的固有周期和圆频率。一般的音叉和钢琴弦的Q值为103数量级，即从开始振动发音到基本消失，系统可以振动几千次。无线电技术中的振

23、荡回路的Q值为102数量级，激光器中的光学谐振腔为107。时（过阻尼）在（ 2202ttteAeAex20220221（此时，运动已不具有振动特征，物体将十分缓慢地回到平衡位置。）时（临界阻尼）在（ 3202teBtAxx0t（此时，运动亦无振动特征，物体以最短的时间返回平衡位置。非周期运动。）临界阻尼在灵敏电流计内，指针在磁场中运动，会受到电磁阻尼的作用。由于电磁阻尼很小，进行一次测量后，指针会在平衡点附近不停的摆动。按一个按钮，调整电路的电阻，使其满足临界阻尼，指针很快停摆，可以马上进行下一次测量。过阻尼 受迫振动周期性外力作用下的持续振动固有频率 ，阻尼常量 ，周期力 作用下的振动00c

24、osFFttFtxkxtxmcosdddd022设设mk20m2220022cosFd xdxxtdtdtm动力学方程对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为: :22000ecos()cos()txAtBt衰减项衰减项稳态项稳态项经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。0cos()xBt0222220()4FBm 22002tg0dsin()dxvBtt 共振位移共振（振幅共振） 驱动频率满足一定条件使振幅达到最大0cos()xBt0222220()4FBm 当驱动频率 满足 时 振幅取得最大值0dBd220

25、2振幅共振0BO阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大振幅共振速度共振 驱动频率满足一定条件使速度振幅达到最大0222220()4mFvm 0dsin()dmxvvtt 0速度共振当驱动频率 满足 时振幅取得最大值0ddmv在阻尼很小的前提下在阻尼很小的前提下，速度共振速度共振和和位移共振位移共振可以认可以认为等同。为等同。共振现象极为普遍，在声、光、无线电、原子内部及工程技术中都可以见到：弦乐利用共振现象，使弦和琴身成为一个共鸣体，将优美动听的音乐发送出去，以提高音响效果。收音机通过调谐（改变电路的电感或电容），改变电磁振荡电路的振动频率，使其与特定电台发出的频率共振。原子核内核磁共振被利用进行物质结构的研究及医疗诊断。有时候我们需要避免共振，如建筑物固有频率应远离自然现象（如风、人车行进等）的频率，汽车发动机运行的频率应远离汽车自身的固有频率。一般是通过改变系统的固有频率（如对机器加上质量大的混凝土底座，铺设弹性垫层，减小劲度系数，降低固有频率。1940年7月1日美国塔克玛tacoma narrows斜拉大桥共振在启用仅4个月后在大风的作用下因共振坍塌。1940年7月1日美国塔克玛tacoma narrows大桥共振坍塌前某一时刻的振动状态