2022年高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）如不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fxminA ,f x 的下界大于A （2）如不等式fxB在区间D上恒成立 , 就等价于在区间D 上fxmaxB ,f x 的上界小于A 例 1、设 fx=x2-2ax+2,当 x-1,+ 时,都有 fxa 恒成立,求a 的取值范畴；例 2、已知fxx22xa,对任意x,1,fx0恒成立 , 试求实数a的取值范畴 ; x例 3、R上的函数fx既是奇函数, 又是减函数, 且当0

2、,2时,有fcos22msinf2m20恒成立,求实数m的取值范畴 . xbx4cx0在x1 处取得极值3c ,其中 a 、b 为常数 .（1）试确定 a 、b例 4、已知函数fxax4ln的值；（2）争论函数f x 的单调区间；2恒成立,求c的取值范畴；（3）如对任意x0,不等式fx 2 c2、主参换位法例 5、如不等式a x10对x1,2恒成立,求实数a 的取值范畴第 1 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6、如对于任意a1,不等式2x2a4x名师精编欢迎下载fx 的取值范畴a1对任意a0,42a0恒成立,求实数例

3、 7、已知函数f x a3 x3xa1x1,其中a为实数 如不等式 x2x32都成立,求实数 x 的取值范畴3、分别参数法（1） 将参数与变量分别,即化为 g f x （或 g f x ）恒成立的形式；（2） 求f x 在 x D 上的最大（或最小）值；（3） 解不等式 g f x max 或 g f x min ,得 的取值范畴；适用题型：（1） 参数与变量能分别； （2） 函数的最值易求出；例 8、当x1,2时,不等式x22mx340恒成立,就m的取值范畴是 . ,fx取得极值 .（2）已知a0,例 9、已知函数f x 1ax3bxx, 其中a0（ 1）当a,b满意什么条件时3且fx 在区

4、间0,1上单调递增 , 试用a表示出b的取值范畴 . 4、数形结合例 10 、如对任意xR, 不等式|x|ax 恒成立,就实数a 的取值范畴是 _ 例 11、当 x1,2 时,不等式x2 1log a x恒成立,求a 的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载二、不等式能成立问题的处理方法如在区间D上存在实数x使不等式 如在区间 D 上存在实数x使不等式fxA成立 , 就等价于在区间D 上fxmaxA ；fxB成立 , 就等价于在区间D 上的fxminB . 例 12、已知不等式x4x3a在实

5、数集R上的解集不是空集,求实数a 的取值范畴 _ 例 13、如关于x的不等式x2axa3的解集不是空集,就实数a 的取值范畴是例 14、已知函数fxlnx1ax22x（a0）存在单调递减区间,求a 的取值范畴2三、不等式恰好成立问题的处理方法例 15、不等式ax2bx1x0的解集为x| 1fx1_ 3就a bxx22a,当x,1,x的值域是0 ,例 16、已知f, 试求实数a的值 . x例 17、已知两函数fx=8x2+16x-k,gx=2x3+5x2+4x ,其中 k 为实数；（1）对任意 x-3 ,3 ,都有 f （x gx 成立,求k 的取值范畴；第 3 页,共 10 页（2）存在 x-

6、3 ,3 ,使 f （x gx 成立,求k 的取值范畴；（3）对任意 x1、x2-3 ,3 ,都有 f （x1 gx2 ,求k 的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、如不等式m1x2m1x3m10对任意实数x 恒成立,求实数m取值范畴x0 5, ,使此不2、已知不等式kx2kx62对任意的xR恒成立,求实数k 的取值范畴x2x23、设函数f x x39x26xa对于任意实数x ,f m 恒成立,求 m 的最大值；24、对于满意 |p|2 的全部实数p, 求使不等式x2p

7、x1p2x 恒成立的 x 的取值范畴；5、已知不等式2 x2xa0对任意实数x2 3, 恒成立；求实数a 的取值范畴；6、对任意的a2,2,函数f x x2a4x42a 的值总是正数,求x 的取值范畴7、 如不等式x2logmx0在0,1内恒成立,就实数m的取值范畴；28、不等式axx 4x在x03,内恒成立,求实数a 的取值范畴；9、不等式2 kxk20有解,求k的取值范畴；10、对于不等式x2x1a ,存在实数 x ,使此不等式成立的实数a 的集合是 M；对于任意f x 1在11,等式恒成立的实数a 的集合为 N,求集合 M,N11、对一切实数x, 不等式x3x2a 恒成立,求实数a 的范

8、畴；如不等式x3x2a 有解,求实数a 的范畴；如方程x3x2a 有解,求实数a 的范畴；12、 如 x,y 满意方程x2y2 11,不等式xyc0恒成立,求实数c 的范畴；如 x,y 满意方程x2y2 11,xyc0,求实数c 的范畴；13、设函数f x x4ax32x2b xR ,其中a bR 如对于任意的a2 2, ,不等式上恒成立,求b的取值范畴14、设函数f x 1x31a x24ax24a,其中常数a1,如当x0时,f 0恒成立,求a的取值范3围；15、已知向量a=2 x ,x+1 , b = 1-x,t ；如函数fxab在区间（ -1 ,1）上是增函数,求t 的取值范畴；名师归纳

9、总结 第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例 1、解： a 的取值范畴为 -3 ,1 2例 2、解：等价于 x x 2 x a 0 对任意 x ,1 恒成立 , 又等价于 x 1 时, x 的最小值 0成立 . 由于 x x 1 2a 1 在 ,1 上为增函数 , t=m gt 就 min x 1 a 3 , 所以 a 3 0 , a 32例 3 、解 ：由 f cos 2 m sin f 2 m 2 0 得 到：t f c o s 22 m s i n f 2 m 2

10、由于 f x 为奇函数,o 1 图 1 2故有 f cos 2 m sin f 2 m 2 恒成立,又由于 f x 为 R减函数,从而有 cos 22 m sin 2 m 2 对 ,02 恒成立 gt 设 sin t,就 t 22 mt 2 m 1 0 对于 t 0 1, 恒成立,t=m 2 t 在设函数 g t t 2 mt 2 m 1 , 对称轴为 t m . o 1 当 t m 0 时,g 0 2 m 1 0,图 2 gt t=m m 1 1 m 0即 2,又 m 02 如图 1 当 t m 1,0,即 0 m 1 时, 4 m 24 m 2 m 1 0 , 即 m 22 m 1 0 ,

11、 o t 1 1 2 m 1 2 , 又 m 0 1, , 0 m 1 如图 2 图 3 当 t m 1 时,g 1 1 2 m 2 m 1 2 0 恒成立 . m 1 如图 3 1m故由可知：2 . 例 4、解：（1）（2）略（ 3）由（ 2）知,f x 在 x 1 处取得微小值 f 1 3 c,此微小值也是最小值 . 要使f x 2 c 2 x 0 恒成立,只需 3 c 2 c 2. 即 2 c 2c 3 0,从而 2 c 3 c 1 0 . 解得 c 32 或 c 1 . c 的取值范畴为 , 1 32 , . 名师归纳总结 第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料

12、 - - - - - - - - - 名师精编 欢迎下载1a例 5、解：2 例 6、解：x ,1 3, 2 2 2 2例 7、解析：由题设知“ax 3 x a 1 x x a 1 对 a 0, 都成立,即 a x 2 x 2 x 0 对2 2a 0, 都成立；设 g a x 2 a x 2 x （ a R ）,2就 g a 是一个以 a 为自变量的一次函数；x 2 0 恒成立,就对 x R,g a 为 R 上的单调递增函数；所以对 a 0,g a 0 恒成立的充分必要条件是 g 0 0,x 22 x 0,2 x 0,于是x的取值范畴是 x | 2 x 0；2 2x 4 x 4 4例 8、解析

13、: 当 x 1,2 时,由 x 2mx 4 0 得 mx . 令 f x x xx ,就易知 f x 在 1,2 上2x 4是减函数,所以 x 1,2 时 f x max f 1 5,就 x min 5m 5 . 例 9、解析： （ 1 ）a b （ 2）2 f x 在区间 0,1 上单调递增 f x ax 22 bx 1 0 在0,1上恒成立b ax2 2 1 ,x x 0,1恒成立 b ax2 2 1x max,x 0,1；g x ax 1 g x a 12 a x 22 1a 设 2 2 x ,2 2 x 2 x,x 1 x 1令 g 0 得 a 或 a 舍去 ,0 1 1 x 0, 1

14、 g x ax 1当 a 1 时, a,当 a 时 g x 0,2 2 x 单调增函数；x 1,1 g x ax 1当 a 时 g x 0,2 2 x 单调减函数 , 1g ag x max a；b a ；当0 a 1 时,1a 1,此时 g 0 在区间0,1恒成立,所以 g x ax2 2 1x 在区间0,1上单调递增,a 1 a 1g x max g 12,b2；名师归纳总结 第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编欢迎下载xy|x|ax3的解集不是综上,当a1时 , ba ；当0a1 时,ba21；y|x|y例 10、解

15、析：对xR, 不等式|x|ax 恒成立yaxy就由一次函数性质及图像知1a1,即1a1；O axax例 11、解： 10, 设 fp= x-1p+x2-2x+1, 就 fp 在 -2,2 上恒大于 0,故有：2f 2 0 x 4 x 3 0 x 3 或 x 1f 2 即 x 21 0 解得：x 1 或 x 1x3. 5、解：a 0 6 、解：x 0, 4 , 7 、解：16 1 1, y y ax8、解：画出两个凼数 y ax 和 y x 4 x 在 x 0 3, 上的图象如图知当 x 3 时 y 3,a3 3 0 3 x 当 a3 3x 0 3, 时总有 ax x 4 x 所以 a3 39

16、、 解 ： 不 等 式 kx 2k 2 0 有 解 k x 21 2 有 解 kx 2 21 有 解 kx 2 21 m a x 2, 所 以k , ；名师归纳总结 第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编欢迎下载g59 所 以2x1 x1,f x x2x13 1x2,10、解：由2x1x2.又af x 有解af x min3,所 以Ma a3 令g x x2x1,x 0 5,ag x 恒 成 立ag x maxNa a90因此函数f x 11、解：a5a5a,55 12 、解：c21c12,1213、解：f 4x33ax24

17、xx4x23ax4由条件a2 2, 可知9a2640,从而4x23ax40恒成立 当x0时,f 0；当x0时,f 在11, 上的最大值是f1与f 1两者中的较大者为使对任意a2 2, ,不等式f x 1在11, 上恒成立,当且仅当f x max1,f11b2ab 2a min即f 11,即b2a 在a2 2, 上恒成立即b 2a min,a2 2所以b4,因此满意条件的b 的取值范畴是,414、解：（II ）由（ I ）知,当x0时,fx在x2 或x0处取得最小值；f2a12a31a 2a 24 a2a24a4a34a224a；f024a33a1,0a4,1a3 a6,0a1 3gx f2 a

18、3就由题意得f0 0 ,即24 a0.解得1a6a1,6；15、解：依定义fx x21x tx1 x3x2txt；就fx3x22xt,如fx 在（ -1 ,1）上是增函数,就在（-1 ,1）上可设fx0恒成立；y fx0t3x22x在（ -1 ,1）上恒成立；x考虑函数gx3x22x,（如图）x 由于gx的图象是对称轴为x1,开口向上的抛物线,3故要使t3x22x在（ -1 , 1）上恒成立tg1,即t5；o -1 1 第 9 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而当t名师精编5. 欢迎下载第 10 页,共 10 页5时,fx在（ -1 ,1）上满意fx0,即fx 在（ -1 ,1）上是增函数；故t 的取值范畴是t名师归纳总结 - - - - - - -