2022年高职高专高等数学第一章教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案第一章 函数、极限、连续教学要求1. 明白分段函数、复合函数、初等函数等概念；2. 懂得数列极限、函数极限的定义；3. 把握极限的四就运算法就；4. 明白无穷大、 无穷小及其比较的概念,明白函数及其极限与无穷小的关系；懂得无穷小的性质；5. 明白夹逼准就和单调有界数列极限存在准就；娴熟把握两个重要极限求极限；6. 懂得函数连续与间断概念,会判定间断点类型,明白初等函数连续性及闭区间上连续函数性质；教学重点函数的概念、复合函数的概念,基本初等函数的图形和性质；极限概念,极限四就运 算法就；函数的连续性；教学难点 函数与复合函数的

2、概念；极限定义,两个重要极限；连续与间断的判定；教学内容 第一节 函数 一、函数的定义与性质 1.集合； 2.邻域； 3.常量与变量； 4.函数的定义； 5.函数的特性；二、初等函数 1.反函数； 2.复合函数； 3.初等函数；三、 分段函数 一、 函数的定义与性质 1 集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素,元 素 a 属于集 合 A,记作 a A , 元素 a 不属于集合 A, a A ,2 集合的表示法：列举法Aa a 2,a n描述法Mx x所具有的特点3 集合间的关系 :名师归纳总结 如xAA 就 必xB,就 说 A 是 B 的 子 集 , 记 做

3、AB ； 如 AB 且 AB,第 1 页,共 7 页就称是B的真子集 ；如 AB 且 BA ,就 AB ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案4 常见的数集N-自然数集； Z-整数集； Q- 有理数集； R-实数集它们间关系 : NZ,ZQ,QR .5 例A1,2,Cx x23x20,就 AC不含任何元素的集合称为空集, 记作例如 , x xR x210规定 空集为任何集合的子集. 6 运算设 A、B 是两集合 , 就1 并 AB xx A 或 xB; 2 交 AB xxA 且 xB 3 差“ AB” xxA 且 xB 4 补（余）S/

4、A,其中 S 为全集5 其运算律1 A B= BA , AB =BA xaa为点 a 的邻域；点 a2（AB C =AB C , A B= AB C3（AB C =A C B C（A B C =A C B C4 ABcC AC B,ABcc ABc留意 A 与 B的直积 A B x,yxA 且 yB例如： R R=x,yxR 且 yR 表示 xoy 面上全体点的集合,RR 常记为2 R7 邻域 :设 a 与是两个实数且0 ,称集合 x a叫做这邻域的中心,叫做这邻域的半径；记作Ux axaaax点 a 的去心邻域记做U0 ,U0 x0xa；留意：邻域总是开集；8 常量与变量 : 名师归纳总结

5、在某个过程中变化着的量称为变量,保持不变状态的量称为常量,第 2 页,共 7 页留意： 常量与变量是相对于“ 自变量变化过程” 而言的. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案1） 常量与变量的表示方法：用字母 x, y, t等表示变量,通常用字母a, b, c等表示常量；9 函数的定义：设 x 和 y 是两个变量, D是一个给定的非空数集；假如对于每个给定的数xD ,变量 y 按照肯定法就总有确定的数值和它对应,就称y 是 x 的函数,记作y=fx. x 叫做自变量, y 叫做因变量；数集 D叫做这个函数的定义域,数集Rff Dy yf

6、 x ,xD 叫做函数的值域；留意：1）当两个函数的定义域和对应法就都相等时,两者才是同一个函数；如f x lg2 x 和f x 2lgx 就不是同一个函数；2）求定义域的方法：应用题由实际意义确定；形式题就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值；如2 1f 1 x , D 1,1; f x 2 , D 1,11 x假如在 D中任取一个 x 对应的函数值都只有一个 , 这种函数称单值函数, 否就称多值函数；2例如,y x 为单值函数 . y x 为多值函数；凡未作特殊说明,本教材提到的“ 函数” 都是指单值函数10 函数的特性1）有界性 :如f x 在 I 上有定义,M0,xI 有f M 成

7、立就称函数f x 在 I 上有界,否就称无界；MyIxMy0xI无界x-My=fxoo有界-M2）单调性设函数f x 在区间 I 上有定义, 假如对于区间I 上任意两点x 1x ,恒有f x 1f x 2就称函数f x 在区间 I 上是单调增加的；恒有f x 1f x 2就称函数f x 在区间 I 上是单调削减的名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - yyf 名师精编精品教案of x 1If x 2x3）奇偶性设 D 关于原点对称,对于xfD ,有fxf x ,称f x 为偶函数；yyf x fx -x o 偶函数xx设

8、D 关于原点对称,对于xD ,有fxf x ,称f x 为奇函数；yyf x f x x-x oxfx奇函数4）周期性设函数f x 的定义域为Df x ,假如存在一个不为0 的常数 T ,对任意的 xD 均有F xTf x 就称f x 为周期函数, T 为f x 的周期；（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）二、初等函数 通常把 常值函数 、幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数 和反三角函数 六种函数 称为 基本初等函数 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案由基本初等函数经过有限次的加、减、乘

9、、除、复合运算所构成并可用一个式子表 示的函数,称为 初等函数 初等函数以外的函数,称为非初等函数,最常见的是 分段函 数（ 1） 初等函数的几个特例f设fx 和gx都是初等函数,就 | 肯定值函数y=|f x |：是初等函数,由于y=u,u=f x 2 最大值函数M x =maxf x ,g x ：是初等函数由于Mx =m a x xg1 , x2 x +gx-fx |g x 最小值函数m x =minf x ,g x ：是初等函数由于（1）m x =minf x , =1f x +g x -|f x -g x |2 幂 指 函 数y=f x g x f x 0, .1： 是 初 等 函 数

10、 , 因 为xg x=egx l n fx（ 2）非初等函数的几个特例名师归纳总结 符号函数y=sgnx:sgnx= . 1,0, .-. 1,x0明显|x| =xsgnx第 5 页,共 7 页x=0x0 取整函数y= ：表示“ 小于或等于x 的最大整数” ,即y=3.1=3,y=3.8=3,y=3=3,y= -3.2= -4.取小数函数y= =x- ：表示“x 的非负小数部分”,即y=3.1=0.1,y=3.8=0.8,y=3=0,y=-3.2=0.8明显,对于任意x.R,有x +1.x1 狄利克雷（ Dirichlet）函数 ：D x . 1,= . 0,x为有理数两者的图象无法画出x为无

11、理数 黎曼（ Riemann）函数 （定义在 , ）：R x = . . . 0, 1 ,q当x=p , p q为正整数, p为既约分数qq当x=0,1, 无理数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案高等数学主要的争论对象是初等函数1. 初等函数、复合函数的关系与分解（1）初等函数与复合函数的关系复合函数与初等函数是并列的概念是复合函数,可以是初等函数,也可以不是初等函数；是初等函数,可以是复合函数,也可以不是复合函数一个函数,可属于多种函数分类（2）函数的分解函数的分解形式依分解要求不同而不同一般地,高等数学中要求把握两类函数的分解 复

12、合函数的分解：把一个复合函数（一层或多层）分拆成几个函数,称为复合函数的分解 初等函数的分解：把一个初等函数分拆成几个函数,称为初等函数的分解或ysin u,ut,tx 3,vsin w,wl,lx 2,ssin x（许康 P61）vs【留意问题】 对于由两个函数构成的函数,可以争论它是否为复合函数对一个复杂函数笼统地问是否复合函数是没有意义的,应详细地问这个复杂函数的哪一层是否复合关系 复合关系只是针对所论层的内函数与外函数两个函数之间的相互关系,而不涉及该层以外的函数是否复合函数如函数yx+x+x可化为yf uu ,ugxxx+x,按复合函数的定义,f u 和 ugx 可以复合成复合函数；

13、但uxx+x中既有四就运算,又有复合运算,是初等函数,而无法说它是不是复合函数 又如问 y 2x 是否复合函数,由于复合函数是两个函数间的复合,假如不指明问是否某两个函数的复合函数,如何回答呢？要是指明问 y 2 x 是否由 y u 和u 2x 复合而成的复合函数,就可以回答是两者的复合函数（当然这种复合无实际意义对于简洁函数不再争论其复合性）2. 三角函数（1） 基本三角函数关系 对角线两端二函数的乘积为 1（倒数关系） 周界上任一函数等于它相邻两函数的乘积 阴影三角形中两上顶角函数的平方和等于下角函数的平方（2） 任意三角函数的诱导公式（可记为： 奇变偶不变,正负看象限）sin90. co

14、s,sin180. sin,sin270. cossin90. cos,sin180. sin ,sin270. cos（3） 两角和的三角函数名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - sinx y名师精编精品教案cosxcosy. sin xsin y sin xcosy cosxsiny,cosx ytanx ytanxtany,cotx ycotxcoty11tan tanycotycotx（4） 倍角的三角函数cos2xsin2x2sin xcosx2x2cos 2x1cot2xcot2x-1,cos 2xsin 2

15、x12sintan2x12tanxx,-tan22cotx（5） 三角函数的和、差化积公式ysin xsin y2sin x+ycosx-y,x-sin xsin y2cosx+ysin x-y2222cos xcos y2cosx+ycosy,cos xcos 222sin x+ysin x-y222 cosx. 4cot x cot ysin xsin x siny ytan x tan ysinxy ,cos cosysin x cos x2 sinx 4记忆方法 : （6） 三角函数的积化和、差公式正奇偶 奇相加；正偶奇 奇 相减；2sin x.cos ysinxysinxy,2cos

16、 x.sin ysinxysinxy2cos x.cos ycosxycosxy,2sin x.sin ycosxycosxy（7） 反三角函数的运算公式名师归纳总结 arcsin-x= -arcsin ,arccos-x=-arccos ,x.1,1;第 7 页,共 7 页arctan-x = -arctan ,arccot-x =-arccot ,x.,sinarcsin =x ,cosarccos =x ,x.1,1;x. ,2 2tanarctan =x ,cotarccot =x ,x.,;x ,x.,;arctantan =x ,arcsinsin =22arccoscos =x ,x.0, ;arccotcot x,x.0, .- - - - - - -