2022年高中数学解析几何知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 07.直线和圆的方程知识要点一、直线方程 . 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与 x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范畴是01800. 注：当90 或x2x1时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在 . 每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率肯定时,其倾斜角也对应确定. a ,b a20 ,b0时,直线方2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特殊地,当直线经过两点a , 0,0b

2、 ,即直线在x轴, y 轴上的截距分别为程是：xy1. abyx2x0就不是这注：如y2 x 32是始终线的方程, 就这条直线的方程是y2 x 32,但如3条线 . 附：直线系：对于直线的斜截式方程 y kx b,当 k, 均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,假如 k, 变化时,对应的直线也会变化 .当 b 为定植, k 变化时,它们表示过定点（0, b ）的直线束.当 k为定值, b 变化时,它们表示一组平行直线 . 3.两条直线平行：1l l2k1k2两条直线平行的条件是： 1l 和2l 是两条不重合的直线 .在1l 和l 的斜率都存在的前提下得到的 .因此,应特殊留意,抽掉或忽视其中

3、任一个“前提 ”都会导致结论的错误 . （一般的结论是：对于两条直线l1,l2,它们在 y 轴上的纵截距是b1,b2,就 1l l2k1k2,且b1b2或l1,l2的斜率均不存在,即A 1B2B 1A2是平行的必要不充分条件,且C1C2）推论：假如两条直线l1,l2的倾斜角为1,2就1l l212. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l 和l 的斜率分别为k 和k ,就有l1l2k1 k21这里的前提是l1,l2的 斜 率 都 存 在 .l1l2k10, 且l2的 斜 率 不 存 在 或k20, 且1l 的 斜 率 不 存 在 .（ 即A 1B2A 2B10是垂直的充要条件）细心整

4、理名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.直线的交角：直线 1l 到 2l 的角（方向角）；直线 1l 到 l 的角,是指直线 1l 绕交点依逆时针方向旋转到与 l 重合时所转动的角,它的范畴是 0 , ,当 90 时 tan k 2 k 1 . 1 k 1 k 2两条相交直线 1l 与 l 的夹角：两条相交直线 1l 与 l 的夹角,是指由 1l 与 l 相交所成的四个角中最小的正角,又称为 1l 和 l 所成的角,它的取值范畴是 0 ,当 90 ,就有 tan k 2 k 1 . 2 1 k 1 k 25.过 两

5、 直 线 l 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 A 1 x B 1 y C 1 A 2 x B 2 y C 2 0 为 参 数 ,l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0A 2 x B 2 y C 2 0 不包括在内）6.点到直线的距离：点到直线的距离公式： 设点Px0y0,直线l:AxByC,0P到 l 的距离为 d ,就有dAx0By02C. A2B注：1. 两点 P1x1,y1、P2x2,y2的距离公式：|P 1P 2|x2x 12y2即y 12. ,其中P1x1,y1,P2x2,y2.就特例：点 Px,y到原点 O 的距离：|OP|x

6、2y2所成的比为uuur PPuuur PP 22. 定比分点坐标分式；如点Px,y分有向线段PP 2xx 1x2,yy 1y 211特例,中点坐标公式；重要结论,三角形重心坐标公式；3. 直线的倾斜角（ 0 180 ）、斜率 :ktan:x2王新敞4. 过两点P 1x 1,y 1,P 2x 2,y2 的直线的斜率公式：ky2y 1.x 1x2x 1当x1x2,y1y2（即直线和 x 轴垂直）时,直线的倾斜角 90 ,没有斜率AxByC20 C1C2,它们之间的两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1 :AxByC10 , l2距离为 d ,就有dC1C22. A2B注；直线系方程1.与直线

7、： Ax+By+C=0 平行的直线系方程是： Ax+By+m=0.m.R,C m. 细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.与直线： Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是： Bx-Ay+m=0.m.R 3.过定点（ x1,y1）的直线系方程是： A x-x1+By-y1=0A,B 不全为 0 4.过直线 l1、l2交点的直线系方程：（ A1x+B1y+C1）+ A2x+B2y+C2）=0 .R）注：该直线系不含 l2. 7.关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线肯定是平行直线,且这个点到两直线的距

8、离相等 . 关于某直线对称的两条直线性质：离相等 . 如两条直线平行, 就对称直线也平行, 且两直线到对称直线距如两条直线不平行,就对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线 . 点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,就中点在对称直线上（方程）,过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点 . 注：曲线、直线关于始终线（y x b）对称的解法： y 换 x,x 换 y.例：曲线 fx,y=0 关于直线y=x2 对称曲线方程是 fy+2,x2=0. 曲线 C:fx,y=0 关于点 a,b的对称曲线方程是 fax,2by=0. 二、圆的方程 . 1.曲线与方

9、程：在直角坐标系中,假如某曲线C 上的与一个二元方程fx ,y 0的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解 . 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系, 实质上是曲线上任一点 M x , y 其坐标与方程 f x , y 0 的一种关系, 曲线上任一点 x , y 是方程 f x , y 0 的解；反过来,满意方程 f x , y 0 的解所对应的点是曲线上的点 . 注：假如曲线 C 的方程是 fx,y=0,那么点 P0x0,y线 C 上的充要条件是 fx 0,y0=0 2.圆的标准方程：以点C a

10、,b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是bxa2yb2r2. ,圆心a ,b 或a ,b特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x2y2r2. 注：特殊圆的方程： 与 x轴相切的圆方程xa2yb2b2r与 y 轴相切的圆方程xa2yb2a2ra,圆心a,b 或a,b细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 与 x轴 y 轴都相切的圆方程xa2ya2a2ra,圆心a,a 3.圆的一般方程：x2y2DxEyF0. ,半径rD2E24F. . 当D2E24 F0时,方程表示一个圆,其中圆心CD,E222当D2E2

11、4F0时,方程表示一个点D,E. 22当D2E24 F0时,方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程：xarcos（为参数） . ybrsinB0且AC0且D2E24AF0方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：圆的直径或方程：已知A x1,y1B x2,y2xx1xx2yy1yy20（用向量可征） . 4.点和圆的位置关系：给定点Mx0y0及圆C:xa2yb2r2. M 在圆 C 内x0a2y0b2r2M在圆 C 上（x0a2y0b2r2M在圆 C 外x0a2y0b2r25.直线和圆的位置关系：设圆圆 C ：xa2yb2r2r0；直线 l ：AxByC0 A2B20；圆心C a

12、,b到直线 l 的距离dAaABb2C. 相减为公切线方程 . 2Bdr时, l 与 C 相切；附：如两圆相切,就x2y2D1xE1yF10x2y2D2xE2yF20dr时, l 与 C 相交；2附：公共弦方程：设 C : x2C 2 : xy2D1xE1yF120y22y01E2y F1F20. D2xEF有两个交点,就其公共弦方程为D1D2xEdr时, l 与 C 相离 . 相减为圆心O1O2的连线的中与线方程 . 附：如两圆相离,就x2y2D1xE1yF10x2y2D2xE2yF20细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - -

13、- - - - 由代数特点判定：方程组xa2yb 2r2用代入法,得关于x （或 y ）的一元二次方程,其判别AxBxC0式为,就：的0l与 C 相切；0l与 C 相交；0l与 C 相离. 注：如两圆为同心圆就x2y2D1xE1yF10,x2y2D2xE2yF20相减,不表示直线 . 6.圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为 k 的切线方程是ykx1k2r过圆x2y2DxEyF0上一点P x0y0的切线方程为：x0xy0yDxx0Ey2y0F0. 2一般方程如点 x0,y0在圆上,就xax0a+yby0b=R 2.特殊地,过圆x2y2r2 上一点APx0y0切线方程为x0xy0yr2. 如点

14、x0,y0不在圆上,圆心为 a,b就y1y0kx1x0,联立求出 k切线方程 . BD a,b CRby 1k ax 1OR217.求切点弦方程：方法是构造图,就切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD 四类共圆 .已知的方程x2y2DxEyF0 又以 ABCD 为圆为方程为xxAxayyAxbk2 R2xAa2yAb 2 ,所以 BC 的方程即 代, 相切即为所求 . 4三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中,假如曲线C 和方程 fx,y=0 的实数解建立了如下的关系：1）曲线 C 上的点的坐标都是方程 fx,y=0 的解（纯粹性）；2）方程 fx,y=0 的解为坐标的点都在曲线

15、C 上（完备性）；就称方程 fx,y=0 为曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 fx,y=0 的曲线；2.求曲线方程的方法： . 1）直接法：建系设点,列式表标,简化检验 ;2）参数法 ;3）定义法, 4）待定系数法 . -圆锥曲线方程 考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简洁几何性质椭圆的参数方程双曲线及其标准方程双曲线的简洁几何性质细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 抛物线及其标准方程抛物线的简洁几何性质考试要求：（1）把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,明白椭圆的参数方程（2）把握双曲线的定义、

16、标准方程和双曲线的简洁几何性质（3）把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质（4）明白圆锥曲线的初步应用08.圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程 . 1.椭圆方程的第肯定义： 椭圆的标准方程：i.中心在原点,焦点在 x 轴上：a x 22 b y2 21 a b 0 .ii.中心在原点,焦点在 y 轴上：a y 22 xb 22 1 a b 0 . 一般方程：Ax 2By 2 1 A 0 , B 0 .椭圆的标准参数方程：a x 22b y2 21 的参数方程为 xy ab cossin（一象限 应是属于 0）. 2 顶点： a , 0 0 , b 或 ,0 a b , 0 .轴：对称轴

17、：x 轴,y 轴；长轴长 2 ,短轴长 2 .焦点： c , 0 c , 0 或 ,0 c ,0 c .焦距：F 1 F 2 2 c , c a 2b 2 .准线：x a 2或 y a 2.离心率：e c 0 e 1 .c c a焦点半径：i.设Px0y0为椭圆x2y21 ab0上的一点,F1,F2为左、右焦点,就 ex0,PF2aex 0 t2b2a由椭圆方程的其次定义可以推出. ii. 设P x0y0为椭圆x2y21 ab0上的一点,F1,F2为上、下焦点,就 ey0 ,PF2aey 02a2b由椭圆方程的其次定义可以推出. 由椭圆其次定义可知：pF1e x02 aaex 0x00 ,pF

18、2e a2x0ex 0a x00归结起来为 “左加右减 ”. cc留意：椭圆参数方程的推导：得Nacos,bsin方程的轨迹为椭圆 . 通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经 .坐标：d2b2c,b2和 c,b2a2aa共离心率的椭圆系的方程： 椭圆x2y21ab0的离心率是ecca2 b2,方程x2y2ta2b2aa2b2是大于 0 的参数,ab0的离心率也是ec我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如 P 是椭圆：x2y21上的点 .F1,F2为焦点,如F1PF2,就

19、PF1F2的面积为b2tan2（用余a2b2弦定理与 PF 1 PF 2 2 a 可得） .如是双曲线,就面积为 b 2cot . 2二、双曲线方程 . y bcos , bsin acos , asin 1.双曲线的第肯定义：N x2 2 2 2 双曲线标准方程：x2 y2 1 a , b 0 , y2 x2 1 a , b 0 .一般方程：Ax 2 Cy 2 1 AC 0 . a b a bN 的轨迹是椭圆 i.焦点在 x 轴上：顶点： a , 0 , a , 0 焦点： c , 0 , c , 0 准线方程 x ac 2渐近线方程：xa b y0 或a x 22b y 22 02ii.

20、焦点在 y 轴上：顶点： ,0 a , ,0 a .焦点： ,0 c , ,0 c .准线方程：y a .渐近线方程：y x 0 或c a ba y2 2b x2 20,参数方程：xy ab sectan 或 xy ba tansec . 2轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a,虚轴长为 2b,焦距 2c.离心率 e c .准线距 2 a（两准线的距a c离）；通径 2 ba 2.参数关系 c 2a 2b 2, ea c .焦点半径公式：对于双曲线方程a x 22b y2 21（F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“ 长加短减” 原就：MF 1 ex 0 a M

21、 F 1 ex 0 a构成满意 MF 1 MF 2 2 a（与椭圆焦半径不同, 椭圆焦半径要带符号运算,MF 2 ex 0 a M F 2 ex 0 a而双曲线不带符号）y yM MF 1等轴双曲线：双曲线 x 2y 2a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y x,离心率 e 2 . x xF1 F2共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲F 22 2 2 2 2 2线.a x2b y2 与a x2b y2 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：xa 2b y2 0 . 共渐近线的双曲线系方程：x 22 y 22 0 的渐近线方程为 x 22 y2

22、20 假如双曲线的渐近线为a b a by2 2xa b y0 时,它的双曲线方程可设为a x2b y2 0 . 4 32例如：如双曲线一条渐近线为 y 12 x 且过 p ,3 12 ,求双曲线的方程？F1 5 3F2 1 x解：令双曲线的方程为：x4 2y 2 0,代入 3 , 12 得 x8 2 y2 21 . 3直线与双曲线的位置关系：区域：无切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条；细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 区域：即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3 条；

23、区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条；区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线 . 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. （2）如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入“”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号 . 2 2如 P 在双曲线 x2 y2 1,就常用结论 1：P 到焦点的距离为 m=n,就 P 到两准线的距离比为 ma bn. 简证：d1PF1=m . ned2PF2e常用结论 2：从双曲线一

24、个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. 三、抛物线方程 . 3.设p0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范畴对称轴（0,0）x 轴y 轴顶点离心率焦点注：ay2bycx顶点4 acb2b. pyp0就焦点半径为PFyP. 4 a2ay22pxp0就焦点半径PFxP;x2222通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的. 细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - y22px（或x22py）的参数方程为x2pt2（或x2pt2）（ t 为参数） . y2pty2pt四、圆锥曲线的统肯定义 . 4.圆锥曲线的

25、统肯定义：平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e的点的轨迹 . 当 0 e 1 时,轨迹为椭圆；当 e 1 时,轨迹为抛物线；当 e 1 时,轨迹为双曲线；当 e 0 时,轨迹为圆（e c,当 c 0 , a b 时）. a5.圆锥曲线方程具有对称性 .例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的 . 由于具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可 . 注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆双曲线抛物线1到两定点 F1,F2的1到两定点 F1,F2的距离之和为定值距离之差的肯定值2a2a|F1F2|的点的为定值2

26、a02a|F1F2|的点轨迹的轨迹2与定点和直线的距2与定点和直线的与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 离之比为定值 e 的点距离之比为定值 e的的轨迹 .（0e1）图形方标准x2y21ab0x2y21a0,b0x y2 2y 2=2px 程方程a2b2a2b2参数 pt pt2t 为参数 方程范畴 a x a, b y b |x| a,y R x 0 中心原点 O（0,0）原点 O（0,0）0,0 顶点a,0, a,0,0,b,0, a,0, a,0细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - b 对称轴x 轴, y 轴；x 轴,y 轴; x 轴长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b. 焦点F1c,0,F2 c,0F1c,0,F2 c,0e=1 焦距2c（c=a 2b2）2c（c=a2b2）离心率x=a2x=a2准线渐近线ccy=b x a焦半径通径. 2p 焦参数P 1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线 5.方程 y 2=ax 与 x 2=ay 的焦点坐标及准线方程 . 6.共渐近线的双曲线系方程 . 细心整理名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页