2022年高三数学二轮复习教案专题七第二讲椭圆双曲线抛物线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载其次讲 椭圆、双曲线、抛物线研热点（聚焦突破）类型一 椭圆1定义式： |PF1|PF2|2a2a|F1F2|2 22标准方程： 焦点在 x 轴上：x a 2y b 21ab0；2 2焦点在 y 轴上：y a 2x b 21ab0；焦点不确定： mx 2ny 21m0,n03离心率： ec a1（b a）2b0的左、右焦点,过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂2线交直线 xa c于点 Q. 1假如点 Q 的坐标是 4,4,求此时椭圆 C 的方程；2证明：直线 PQ 与椭圆 C

2、 只有一个交点 解析解法一2 由条件知, Pc,b a ,故直线 PF2 的斜率为 kPF22 b a02b 2ac. cc由于 PF2F2Q,所以直线 F2Q 的方程为名师归纳总结 2y2ac b 2 x2ac b 2 ,第 1 页,共 12 页2 故 Qa c,2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 由题设知,a c4,2a4,解得 a2,c1. 2 2 故椭圆方程为x 4y 31. 2 2解法二 设直线 xa c与 x 轴交于点 M.由条件知, Pc,b a由于 PF1F2 F2MQ,所以|PF1| |F2M|F1F2| |M

3、Q|,2 b即 a 2 a2c |MQ|,解得 |MQ|2a. cc2 a所以 c4,解得 a2,2a4,c1.2 2 故椭圆方程为x 4y 31. 2y2a xa c2证明：直线 PQ 的方程为 b a2a 2ca c 2,即 yc axa. 2 2 将上式代入x a 2y b 21 得 x 22cxc 20,2 解得 xc,yb a . 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载跟踪训练2 21已知圆 M：x 2y 22mx30m0的半径为 2,椭圆 C：x a

4、 2y 31 的左焦点为 Fc,0,如垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切,就 a 的值为 A. 3 4 B1 C2 D4 解析： 圆 M 的方程可化为 xm2y23m2,就由题意得m234,即 m21m0,m1,就圆心 M 的坐标为 1,0由题意知直线 l 的方程为 xc,又直线l 与圆 M 相切,c1,a 231,a2.答案： C 2 2220XX 年山东师大附中一测 点 P 是椭圆x 25 y 161 上一点, F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,且 PF1F2 的内切圆半径为 1,当 P 点在第一象限时, P 点的纵坐标为 A.8 3 B.5 8 C.3 8 D.8 5

5、解析： 由题意知, |PF1|PF2|10,|F1F2|6,设点 P 的纵坐标为 yp,由题意易知 SPF1F21 2|PF1|PF2|F1F2| 11 2|F1F2| yp,所以 yp答案： A 类型二 双曲线1定义式： |PF1|PF2|2a2a0,b0,欢迎下载2 2焦点在 y 轴上：y a 2x b 21a0,b0,焦点不明确： mx 2ny 21mn1,留意：如 ab0,就 1e0,就 e2,如 ba0,就 e 2.；3焦点在 x 轴上,渐近线的斜率 kb a,焦点在 y 轴上,渐近线的斜率 ka b；2 24与x a 2y b 21 共渐近线的双曲线方程可设为2 2a x 2y b

6、 2 02 2 例 2 120XX 年高考湖南卷 已知双曲线 C：x a 2y b 21 的焦距为 10,点 P2,1在 C的渐近线上,就 C 的方程为 2 2 2 2 2 2 2 2A. x 20y 51 B.x 5 y 201 C.x 80 y 201 D. x 20 y 801 2 2220XX 年高考江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中,如双曲线x mm 241 的离心率为 y5,就 m 的值为 _名师归纳总结 解析1依据双曲线标准方程中系数之间的关系求解第 4 页,共 12 页2 2双曲线x a 2y b 21 的焦距为 10,c5a 2b 2.又双曲线渐近线方程为yb ax,且 P

7、2,1在渐近线上,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2b a1,即 a2b.学习必备欢迎下载由解得 a2 5,b5,故应选 A. 2建立关于 m 的方程c 2mm 24,e 2c a 22mmm 245,m 24m40,m2. 答案 1A 22 跟踪训练2 2120XX 年合肥模拟 过双曲线x a 2y b 21a0,b0的右焦点 F,作圆 x 2y 2a 2 的切线FM 交 y 轴于点 P,切圆于点 M,就双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C2 D. 5 解析： 由已知条件知,点 M 为直角三角形 OFP 斜边 PF 的中点,故 OF2OM,即

8、c2a,所以双曲线的离心率为 2. 答案： A 2 2 2已知双曲线x a 2y b 21 的左、右焦点分别为F1、F2,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双名师归纳总结 - - - - - - -曲线一个交点为 P,且 PF1F2 6,就双曲线的渐近线方程为_解析： 依据已知得点2 2 2P 的坐标为 c,b a ,就 |PF2|b a,又PF1F2 6,就|PF1|2b a,2 2 2故2b ab a2a,所以 b 22,b a2,所以该双曲线的渐近线方程为y2x. 第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： y2x学习必备欢迎下载类型三 抛物线1定

9、义式： |PF|d. 2依据焦点及开口确定标准方程留意p0 时才有几何意义,即焦点到准线的距离3直线 l 过抛物线 y22pxp0的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,就有：1通径的长为 2p；2焦点弦公式： |AB|x1x2p2p sin 2；23x1x2p 4,y1y2 p 2；4以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切；5 1 |AF| 1 |BF|2 p. 例 3 20XX 年高考福建卷 如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛物线 E：x 22pyp0上1求抛物线 E 的方程；2设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y1 相交于点 Q,证明以 PQ 为直

10、径的圆恒过 y 轴上某定点 解析 1依题意, |OB|8 3,BOy30. 设 Bx,y,就 x|OB|sin 304 3,y|OB|cos 30 12. 由于点 B4 3,12在 x 22py 上,所以 4 3 22p12,解得 p2. 故抛物线 E 的方程为 x 24y. 名师归纳总结 2证明： 证法一由1知 y1 4x 2,y1 2x. 第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载设 Px0,y0,就 x0 0,y01 4x 2 0,且 l 的方程为yy01 2x0xx0,即 y1 2x0x1 4x 20. * 由

11、y1 2x0x1 4x 20,得x2 x 042x0,y 1y1.所以 Q 为2 x 042x0, 1设 M0,y1,令 MP MQ =0 对满意 y01 4x 20x0 0的 x0,y0 恒成立由于 MP =x0,y0y1, MQ =2 x 042x0,1y1,由 MP MQ =0,得2x 04 22y0y0y1y1y 10,即y2 1y121y1y00. 由于 * 式对满意 y01 4x 20x0 0的 y0 恒成立,所以1y10,2 y 1y120,解得 y11. 故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M0,1名师归纳总结 - - - - - - -证法二由1知 y1 4x 2,y1

12、 2x.设 Px0,y0,就 x0 0,y01 4x 0,且 l 的方程为 yy01 2x0xx0,即 y1 2x0x1 4x 20. 由y1 2x0x1 4x 20,得x2 x 042x0,y1y 1.所以 Q 为2 x 042x0, 1第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载取 x02,此时 P2,1,Q0, 1,以 PQ 为直径的圆为 x1 2y 22,交 y 轴于点M10,1、M20,1；取 x01,此时 P1,1 4,Q3 2,1,以 PQ 为直径的圆为 x 1 4 2y3 8 2125 64,交 y 轴于点 M30,1、M40,

13、7 4故如满意条件的点 M 存在,只能是 M0,1以下证明点 M0,1就是所要求的点由于 MP =x0,y01, MQ =2 x 042x0, 2,所以 MP MQ =2 x 0422y02 2y022y020. 故以 PQ 为直径的圆恒过跟踪训练y 轴上的定点 M0,120XX 年郑州模拟 如图,过抛物线 y22pxp0的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,如 |BC|2|BF|,且 |AF|3,就此抛物线的方程为 Ay 29x By 26x Cy 23x Dy 23x名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - -

14、- - - - 学习必备 欢迎下载解析： 过点 B 作准线的垂线,垂足为B1,记准线与 x 轴的交点为 F1,就依题意得|BB1| |FF1|CF|2 3,所以 |BB1|2 3|FF1|2p 3,由抛物线的定义得 |BF|BB1| 2p 3 .令 Ax1,y1、Bx2,y2,依题意知 Fp 2,0,可设直线 l 的方程为 ykxp 2联立方程 yyk（xp 22px2）,消去 y 得 k 2x 2pk 22xk 2p40,就 x1x22 p（k 22）k2,2 x1x2p 4.又由抛物线的定义知 |AF|x1p 2,|BF|x2p 2,就可得2p,解得 2p3,所以此抛物线的方程是 y 23

15、x,选 C. 答案： C 析典题（猜测高考）|AF| 1 |BF|2 p,于是有 1 3 3 2p高考真题【真题】2 20XX 年高考陕西卷 已知椭圆 C1：x 4y 21,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率1求椭圆 C2 的方程；名师归纳总结 2设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB2 OA,求直线 AB 的方程第 9 页,共 12 页【解析】1由已知可设椭圆C2的方程为2 2a y 2x 41a2,其离心率为3 2,故a 24a3 2,解得 a4. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2故椭圆

16、 C2 的方程为y 16x 41. 学习必备欢迎下载2解法一 A,B 两点的坐标分别记为 xA,yA,xB,yB,由 OB 2 OA及1知, O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 ykx. 2将 ykx 代入x 4y 21 中,得 14k 2x 24,2 4所以 x A2. 14k2 2将 ykx 代入y 16x 41 中,得 4k 2x 216,所以 x B16 2. 4k又由 OB 2 OA,得 x 2B4x 2A,即 162162,4k 14k解得 k1.故直线 AB 的方程为 yx 或 yx. 解法二 A,B 两点的坐标分别记为 xA,yA,x

17、B,yB,由 OB 2 OA及1知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 ykx. 2将 ykx 代入x 4y 21 中,得 14k 2x 24,所以 x 2A42. 14k2由 OB 2 OA,得 x 2B162,y B16k 2. 14k 14k将 x 2B,y B代入y 16x 241 中,得 214k 4k 221,即 4k 214k 2,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解得 k1.故直线 AB 的方程为 yx 或 yx. 【名师点睛】此题主要

18、考查椭圆的简洁性质及直线与椭圆的位置关系的应用考查化归思 想及运算求解才能 难度中上 此题2中2 的作用是： 一是说明直线 AB 过原点可设出直线AB 的方程二是利用向量学问可得A、B 点之间横坐标的关系以便建立方程求斜率k. 考情展望 高考对椭圆、双曲线、抛物线的考查,各种题型都有挑选、填空中主要考查这三种圆锥曲 线的定义及几何性质与应用解答题中着重考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系,涉及方程求法、范畴、最值、定点、定值的探究与证明问题等内容难度中上名师押题【押题】 已知抛物线 C：y 22pxp0的准线为 l,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,圆 M 与 y 轴相切,过原

19、点 O 作倾斜角为 3的直线 n,交直线 l 于点 A,交圆 M 于不同的两点 O、B,且 |AO| |BO|2. 1求圆 M 和抛物线 C 的方程；2如 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM PF 的最小值；3过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 求该定点的坐标S、T,求证：直线 ST恒过一个定点,并【解析】1易得 B1,3,A1,3,设圆 M 的方程为 xa 2y 2a 2a0,将点 B1, 3代入圆 M 的方程得 a2,所以圆 M 的方程为 x2 2y 24,由于点 A1,3在准线 l 上,所以p 21,p2,所以抛物线 C 的方程为 y 24x. 2由1得,M2,0,

20、F1,0,设点 Px,y,就 PM =2x,y, 1x,y,又点P 在抛物线 y 24x 上,所以 PF 2xxy 2x 23x24xx 2x2,由于 x0,名师归纳总结 所以 PMPF 2,即 PMPF 的最小值为 2. m 25为半径的圆的方程第 11 页,共 12 页3设点 Q1,m,就|QS|QT|m 25,以 Q 为圆心,为x1 2ym2m 25,即 x 2y 22x2my40- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载又圆 M 的方程为 x2 2y 24,即 x 2y 24x0由两式相减即得直线ST 的方程： 3xmy20,名师归纳总结 明显直线 ST 恒过定点 2 3,0第 12 页,共 12 页- - - - - - -