2022年陈省身微积分讲义分享 .pdf

《2022年陈省身微积分讲义分享 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年陈省身微积分讲义分享 .pdf（10页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、j|j j20015 10? 191y 1 ? ? I, F ? ?$ ? .? 1 1 0R 8? f0 , bILzz ,I)i.8? f0 , R 80? f0q . ? Ih l!? L, R? r ? $ tcf.E ? o ?.E ? ?fY,F (F 2 |DI, ? I?$ ? (k, (?$ I , Ls zt.)R￥ . z$Ir? k G YR t0 S H . ,I,IS H L? 3 - 0 . $ ? R ? . II?, 3R Gauss. GaussR 3,G |,Euler, Monge|.D , F GaussR 19E E3L j|. j|0,ER x .

2、 y? ?y, y A j|19E RE3 .0 ,bGauss, Gaussk G |? . Gauss3 |? R Riemann.yGaussRiemann, y A j|,cR L ? ? ? 0 SH . ?T H R i?. h 5 EinsteinD ? ? %TR ?%T , I$H ? f5 X .f5 X h l C A , Einstein 3 e C ADC ?,C A (x, y)? cf. h $ ? ? ? | z? Y ? cf0 , ? A ? uv? .D , Einstein zz? At , y8 E, u z v, ? ?c C A , ?C A c,

3、 y $C A5| , R % ? w o .o 9 R 8 E9 w.y u R Euclid 8 E Y:x 8 E? ? 8 E , % wo r? w. wI, r? 8 E9 ? ? T k GSH . y $ ?b ? ? %T ?9 . ? oi, -1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 . ￥ 1 ￥, F ? L $0 H .I$H , 3 Rj. i? ￥, G j? R4j,4j-T ,

4、x2+ 1 = 0 . j- T , b 8?, c 7j:( u,i? %T ? 8 jb .j|4j$ ? ,? !F , ( ? !F,jS D i? %T . Itjb t. ? I, j|, ? 1 Rj|, |. , %ji. y $ ,5 jX 19E H Rj|b 3 , R $ ? ? 0 H u z $ tH . 3, z0 Ej0 .jR8z $ ?0? B,c 7 ? j, i? j|u z Y.5 jX 4 5 jX Y ?. 4 5 jX? ? T , 4 |4L? ,D h 0. ? IR ? , ? 1 ? b 2 ? F $, 8 zL !I? T R 3 -

5、 ?0S .2Stokes * V ?T tI ? y ? ? ,0?o ? ?baf (x)dx =f (x)|ba L (f (x)dx) = f (x),(2.1)y? B |5. in c, h 5 9I, ?,1R ? y ? ? , A a? . is, ( L%? ,. 0, ? (% $ ? , A a? , D i? 5 ,w (2.1) h R ? y ? ? .R y(2.1)I|I? .? B | , $ 0 R ? ? I, R $ ? ,0 RI5 ? ? , ? I0 IR $ ? I, |, R $ ? j, ? IR f (x).R, ? 8 0 R I,0

6、RI.? ? y ? ? I|I ? y ? . LT,IR I $ ? ? , R s $ ? j, 8 z ? BF jI. % R , t? ? ? y ? ? R $ ? 5 j . % 4 ? 5 j, ? R2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - ? 5 jI.? n 8 E , n￥u ?Q . ? 5 jI? y9 R ? -I, 2 T R $- I, 8 E R ?- I. T , I? I u

7、- , IR $ ? u - p I,l? ? |, ? X 1,$ ? jR1. T ? ? |R $ ? iI, iIR dx, dytI? ? u .D? ?R u , ? . y, $ ? dx!? ,y (dx)2= 0. $ ? R1w dx,?v,? u v.?R1R $ ? jI. 4 ? dxR h ?, . Idx5 j￥$ ? ? IB ,? ? IB ?R ,?IB w iIB , iIB RI$ ? T , $ ? u -? iI.,IB $ ? (pair),? u - ,? I,8 $ ? , I?,?R $ ? j,? R B .? - I9, ? 5 jI?

8、y ? ? , R?Stokes? ? . Stokes? ? R $ ? ? %T|$?I? %T B . 0, ?n8 E , 4 8 ? $ ? k u -, ? ,IRc u - .?$ ? ku - , ?2 T $u - , 8 E ￥$ ? w , i#,?u? 0. u09 R S j$ ? ? y9 , (? ? ? 0? , $ ? y /? ?t? ? ￥? Q ? k (homology).Q ? k R S j? ? 8 E u3 ? y $ ?9 . %? ku- ?, ? 0? ?.i? (k - 1)I, iIB | R k - 1,IIk. ? Stokes?

9、 ? , R R $ ? k -1IB , ? iId? T I2 ? 0TpI, y?d=?, R iIB .(2.2)? R?Stokes? ? .R ? 5 jI$ ? ? y ? ? . ?￥,? G?.? ? y ? ? h Y iT ? ?y ? ? BG o . 4 8? 8 E R 1, 1 o , u - R 4 ? , ? 0R 4 ?, ?. p ?(￥? I)R T ? y ? ? B 0 jbba, 3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，

10、共 10 页 - - - - - - - - - R 0T I,8 0 R ? 4 ?I, R ,atb?I.? I,? u Stokes? ? 4 (1) o RI ? y ? ? .2 o2R i? ? Green? ? :(Px- Qy)dxdy =P dx + Qdy(2.3)2o 0 , u -R 2, ? 0R w 4 .R (2.3) R 2 Green? , ( ?w , ? i? .? IStokes? ? 2 T ? G o R Green? ? .Stokes? ?Q ? ? ,( y $ y.D % v G q w Stokes? ? .i $ ? ? G o : ?8

11、 E , 4 $ ? w , ?R$ ? ?u - 0,CI $ 0 Storkes? ? ?(Px+ Qy+ Rz)dxdydz =P dydz + Qdxdz + Rdxdy.(2.4)( |IF 2t, $B 0(w )T -I? ? B u - b ? - I.R StokesB i$ ? Y . r? Y ? .? ? y u, R iId $0. 48 ?mega R $ ? iIB ,d(d( ) = 0.(2.5)?0? :R y . , iIB # lR 4u, ? I(2 h ? $ ?Iu y q ,R y($ I d20.R I Y ,IR $ ( d? T $ ? j

12、. # l,y $ ? j d,? $0,I. ￥ ? $ ￥: $ ? n8 E ￥, ? C AR (x1, ,xn).? jRf R xi j, d$ , R G I,R?f?xidxi. I$ , zt?I, ? dxjdxi.IfijR ,R ypI|? . y $? ? jR ,? dxi,dxj?R , # lI0, yd(d f ) = d(fidxi) = fijdxjdxi= 0.(2.6), y? ? i|j , ztdfij- dfji, b R yf R ?A R , ? IR 0. y $ T y j d2= 0,I. Stokes?4名师资料总结 - - -精品资

13、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - ?,Iu -|iIR $ ? , 8 z p 0? ? d? ? |R adjoint, R ? |,R ? zB . yp 0, R $ ? ? ? ,4 p $ ? u - 0R $ ? q ? ? , R r ? u -$ ? u. p iIdR $ ? ?, I? ? ? , R q? ,|$ ? , ? I$? R r? |. $ ? R ?I? ? |, ? R. Stokes? ?R , ? I

14、R $ ? - ? ? . ,I￥ ?z?$. 8 E$ ? R G Euclid 8 E ,8 E xAC A? o . 4 8 E R $ ?o ,I? X ? iIB ,?kiIB . $ ? kiIB (i$ ? kiIB R $? kiIB ,R? kiIB ?$ ? ? 7 T8E (vector space), ￥ ,Iq (b. % ? X ?d = 0iIB , y iI0tiIB . j|T , iIBRU(close) .tU iIB ? 7 T8E , y? closeiI5 (U . k= |R k iIB , Ck= |k,d= 0 .(2.7) , R $ ?U

15、iIB . % 2 Ckh ? $ ? k ,? k?|k ,? |k R1? R? k -1 iIB | du B .yd2= 0, ? I? $ ? R close . y $ ?U kiIB ? Ck￥, ?d? T $ ? k - 1iIB ?$ ? |k .R r? k |k $ ? , k X b$ ? ?k(quotient).? k? ? ? w de Rhamgroup:Hk= Ck/d k.(2.8)T :-, R, iIB ?zz , close iIB?zz ,(? d, i? o￥, 5?$ ?37 T8E .?38 E jR8 E $ ? - u, GwA Bett

16、inumber,R S j￥ 3 | $ ? ? y9 .R ? X iIB ,I ? ? ? tB .5名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3jj j% i$ ?. T |, ? 1th, t?$ ? , ? I(B $ ?h, 8$ ?G ? , ? I$ ? s ? k G . % |? .IlR ? j u, Iu D C?u,jR?zz . j? u,tj, vY, y $ v - c 7?Tt.? ?

17、G - jRj j(exponentialfunction) |jj(logarithmfun ction).? j1u?R :- j,? e z b $ ? IB .xn +1IR(n + 1)xn, y $ xn IR1n+1xn +1,4 8 n + 1 = 0, yddxxn +1= (n + 1)xnxndx =1n + 1xn +1, n + 1 = 0.(2.9)B n- 1, G |t? 0e . y(w? BR10? ,? B n = - 10,.R il .D ,B0B, (t jI -? , yn = - 10 ,? I. ? I, 4 8 n = - 1, dx/x I

18、. yx = 0, ? I? I4 ? ? ,1tx,? IR ? ,?. y? I, w ? log x:x1dxx= log x,(2.10)R jj. ￥ ? X j j3 -u. 4 8 2 xja, log ax pI.logI1/x ,R log axR1/x , ? I? j$ ?jC:ddxlog(ax) =1axa =1x=?log ax = log x + C.(2.11)4 8 x = 1 S(2.11), $ 0 log1 = 0,R y IR ,1tx, ? I,1t1 Ih lR 0.R y tjCR log a, y $ ztlog? j ? y u:logj t

19、axlog x + log a:log( ax) = log a + log x.(2.12)6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - |, jR8z ?5(,R , jD? $ ? ? yu. % y? ? , LL .D log? j:, y t? ? y u(2.12).? j j/ jj,j jRjj j. 4 8 y = log x, ? f,x = ey, yy = log x ?x = ey.(2.13)

20、y $ ? 5 R 5 j. eyR ?j j, |log x$ ?(|? B : log x2 ?5(,jj2 (5?. $ ?2 ?5(, $ ? p D u , ? 2 (5?,R $ ? Y B :ex + y= exey.(2.14)? y :ex + y= elog u+logv= elog uv= uv, u = ex, v = ey.(2.15)t? R iR ? .% y jj?I R? ,y eyypIey.? y dy =dxx?exp ydy=dxdy= x = exp y,(2.16)2jj? exp y, h l,? ey.0 4 ? ?j? R t , ? I1l

21、og? | d .R ,jjIR?,T ? $ ? y . L z , ? jg R? ? |, $ ?R logx u - ￥x = 0? u ? f? u , t? e . j jR$ ? j(increasing funct ion),D ?z :z .j jz iO , ? ?R t.R ? Y g (graph). F ( I?tD? j g .j j|j jRX $ j, $ ? Ri$ ? j,? uR :,? u.$ ,jjIR?, y $ , ? iY ? e ? j.? ? e? jR Talyor B H . 2 Taylor B$ ￥?f (b) = f (a) +f

22、(a)1!(b- a) +f(a)2!(b- a)2+ + Rn,(2.17)7名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - Rn=baf(n )(t)(b- t)n- 1(n - 1)!dt.(2.18)Ft( ? 9 D t.? Taylor B 2c jH ? $ ? ? e? j, aR $, bRi$,? ,IH ? (b - a)$ ? ? IB ,$ ?I,?IRI(2.18) ? . Taylor B $ ?

23、I0R? ? ? ? ? Mean Value Theorem ? . Taylor B R? ? $ ? w.Taylor B , % ?j jY zz , yI￥? R?, ? I$? ? e ? j, iY, ex= 1 + x +12!x2+ +1n!xn+ ,(2.19)? I?jj? iY H, ? - u, F0,(? j? h lR tj,R4j,0($￥j,i( u? Q ? , w sinx|cosxi? H:sin x = x -13!x3+15!x5- ;(2.20)cosx = 1 -12!x2+14!x4- .(2.21)( % , 4 8 ex,xix , ￥i2

24、= - 1.eix? B |:eix= cosx + i sin x,(2.22)F iR(2.19)-(2.21)? u? B . ?5 jj,$ ? ,4 8 (? B ,x = ,R ei = - 1. ( ?w? B .DR ? iB |. yb? ?j. L ? c $ ? R ,i$ ? R e. eR yEuler.Euler h 0 18E ?0,0 ? % 0 E? $ ? ,? 0ER x . E) |H , R x . L ? 3Lj|, Euler R0 ?3Lj|. ? I|A A |, ? a A ?c?Lj|,R Euler b tz ? . ? i? i?.?

25、Euler R ic , L? WR|D . ? oy. ? fG , ?8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - I?R? ? fG |, G |C? y T , A ? j|. ? ?2? $ ? ? , R ? g? ? . ? ? ? L, ?oy. i?,u ? ?o . ? 4 c 7 9|, ? W ?R n ? ? ,B gEuler ? . i? ? |? ,D % Rt? ? . 0, ( B?e,

26、 ,I? . Gauss|19E 3Lj|, L ?w ? j|!? . ? I,B |Db ? , Q ? ? $ ?D,D0? f ?, Gaussh l!.Gauss f? X ? ? ,R i .tR e? ,$.AA? f ? ? , ? f? ? ? i, ,I ? u$? W. isR? WR n ? ? , R y ? ,R y ? . Euleri? .? BR$ , ? 2 ? ? j? ? u . e,i, ? ? : ei = - 1.R : . a (i$ ? B ,( ? l. Q ? ? H, ,Itarctg x. arctg xIR11+ x2.? Iarct

27、g? j? u, R $p ? I,B |vY.y $t z $ ? B |, y ,I? $ ? ? e ? j4= 1 -13+15-17+ (2.23)R $ ? ? $ ?B .? 2 $ ? 1,3,5,7,9? $ ? , ($ ? R / 4 ? ? I,R ? $ ? B ? S$ ? jXSelberg, ?Rsj|,?$ ? ? W,? jX? ly?t? B . ? 9% Rj L $, F ? ,I80?, |.4?T a ? I, ￥$ $?.I?T . ?T , h lR 8 E?3 R w ?w ?.w? |?o B ?Q u0 Gauss9名师资料总结 - -

28、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - B , Rds2= dx2+ dy2+ dz2= Edu2+2 F dudv + Gdv2, x = x(u, v),y = y(u, v), z = z(u, v)(2.23)? w G k jD C ? ? ?8 E ￥, C A R (x, y, z),R 2?8 E C ADC? 5 jj, ? Ix, y, zR ? 5 ju, vj? k j(par ameter).R? 8 E b? ?

29、 ? ds2? R dx2+ dy2+ dz2. 2 x, y, z D C u, v j? ds25$IB , ￥ ? j, $ ? w A E, F, G. e z ?A 0Euclid ? Euclid ?L ? ?Rb $ y r ? ?, ? u? ? ztj|X R i- ? yj|X R? ? 2 D $ ? w? z u . y $ ,? R i?iB?$ ?X .7 ? 4R ?,Euclid? !? y R r ? j|. ? u? ? 0w ?X -u . 0 z in c R ? ￥ A. ? 1 Rj|, j|, ￥A ? ?-,? $ ?.? $ ? j|L I1,

30、 4 3 e ( R 3 e A $,u , c 7-, y /. IB (2.23),Gauss B R ,IaIB ,H $ ? ?,? ? Lzz . Euclid ?,I? IB R du2+ dv2,R $ ? 3 Y o .i$ ? Y￥,IH :x ?. % E, F, GRc j, (T $ tU h 0 q ,? ?9Lzz . R, ?8 E ,I5 , y 5 T ? ,I? w ?8 E ,D w T ? ?, ? Y iEuclid ? :Euclid ?z z .R ,? $% 8 z ?i? ? x ?9wt$ ? Y . ? I, ￥I?T . F!? ,q ,?10名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -