2022年高考数学一轮复习-第章-函数、导数及其应用-第节-导数与函数的单调性.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里第十一节 导数与函数的单调性 考纲 明白函数的单调性与导数的关系；能利用导数争论函数的单调性,会求函数的单调区间 其中多项式函数不超过三次 对应同学用书第 32 页 基础学问填充 函数的导数与单调性的关系函数 yf x 在某个区间内可导,就1 假设 f x 0,就 f x 在这个区间内是增加的；2 假设 f x 0,就 f x 在这个区间内是削减的；3 假设 f x 0,就 f x 在这个区间内是常数函数 学问拓展 1在某区间内f x0 f x0. 2 假如函数在某个区间内恒有 f x 0,就函数 f x 在此区间上没有单调

2、性 3 f x 0 是 f x 为增函数的充要条件 答案 1 2 3 2f x x 36x 2的单调递减区间为 A0,4 B 0,2 C4 , D , 0 A f x 3x 2 12x3x x4 ,由 f x0 ,得 0x0,应选项 D正确应选 D x1,x2,x3,且 x1,x3 是微小值点, x2 对应同学用书第 32 页 判定或证明函数的单调性已知函数 f x ln xax2 2 a x. 争论 f x 的单调性 解 f x 的定义域为 0 , 1f xx2ax2a2x1 ax1x . 假设 a0,就 f x 0. 所以 f x 在0 , 上单调递增假设 a0,就由 f x 0,得 x1

3、 a,且当 x 0,1 a时, f x0,当 x1 a,时, f x 0. 所以 f x 在 0,1 a上单调递增,在1 a,上单调递减综上所述,当a0 时,函数 f x 在0 , 上单调递增；当 a0 时,函数 f x 在 0,1 a上单调递增,1在 a,上单调递减 规律方法 用导数证明函数 f x在 a,b内的单调性的步骤一求：求 f x ；二定：确认 f x 在 a,b 内的符号；缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里三结论：作出结论：f x 0 时为增函数； f x0 时为

4、减函数易错警示： 争论含参数函数的单调性时,需留意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类争论 变式训练 1 2022 四川高考节选设函数 f x ax2aln x,g x1 xe e x,其中 aR,e2.718 为自然对数的底数1 争论 f x 的单调性；2 证明：当 x1 时, g x0. 【导学号： 00090064】 解1 由题意得 f x 2ax1 x2ax x 21 x0. 2 分当 a0 时, f x0 时,由 f x 0 有 x1,5 分7 分9 分12 分2a当 x0,1 2a时, f x0 ,f x 单调递增 . 2a2 证明：令 s x ex1x,就 s x e x 1

5、1. 当 x1 时, s x0 ,所以 ex 1x,从而 g x 1 x1 x 10. e求函数的单调区间2022 天津高考节选 调区间 设函数 f x x 3axb,xR,其中 a,bR. 求 f x 的单 解由 f x x3axb,可得 f x 3x2A下面分两种情形争论：当 a0 时,有 f x 3x2a0 恒成立,3a 3 . 5 分所以 f x 的单调递增区间为 , .当 a0 时,令 f x 0,解得 x3a 3或 x当 x 变化时, f x , f x 的变化情形如下表：x ,3a3a3a 3,3a3a3a 3,3333f x00缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - -

6、- - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里f x单调递增极大值3a 3,单调递减微小值单调递增,3a 3, 单 调 递 增 区 间 为,3a 3所 以f x 的 单 调 递 减 区 间 为3a 3,. 12 分 规律方法 求函数单调区间的步骤：1 确定函数 f x 的定义域；2 求 f x ；3 在定义域内解不等式 4 在定义域内解不等式f x 0,得单调递增区间；f x 0,得单调递减区间 变式训练2 已知函数 f x x22xex,x R,e 为自然对数的底数,就函数f x 的单调递增区间为_ 2,2 由于 f x x 22xex

7、,所以 f x 2x2ex x22xex x 22ex. 令 f x 0,即 x 22ex0,由于 e x0,所以 x 22 0,解得2x2,所以函数 f x 的单调递增区间为 2,2 已知函数的单调性求参数 解已知函数 f x x 3 axf x 在 R上为增函数,求实数a 的取值范畴由于 f x 在 , 上是增函数,所以 f x 3x 2a0 在 , 上恒成立,即 a3x 2 对 xR恒成立由于 3x20,所以只需a0.31 在 R上是增函数,所以a0,即实数a又由于 a 0 时, f x 3x 20, f x x的取值范畴为 , 0 母题探究 1 变换条件 函数 f x 不变,假设 f

8、x 在区间 1 , 上为增函数,求a 的取值范畴 解由于 f x 3x2a,且 f x 在区间 1 , 上为增函数,所以f x 0 在1 , 上恒成立,即3x 2a0 在1 , 上恒成立,所以 a3x 2 在1 , 上恒成立,所以 a3,即 a 的取值范畴为 , 3 母题探究 2 变换条件 函数 f x 不变,假设 f x 在区间 1,1 上为减函数,试求 a 的取值范畴 解由 f x 3x2a0 在 1,1 上恒成立,得a3x2在 1,1 上恒成立缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我

9、在这里由于 1x1,所以 3x 23,所以 aa 的取值范畴为 3 , 时, f x 在 1,1 上为减函数 母题探究 3 变换条件 函数 f x 不变,假设 f x 在区间 1,1 上不单调,求a 的取值范畴 解 f x x3ax1, f x 3x2A由 f x 0,得 x3a 3 a0 f x在区间 1,1 上不单调, 03a 31,得 0 a3,即 a 的取值范畴为 0,3 规律方法 依据函数单调性求参数的一般方法1 利用集合间的包含关系处理：yf x 在 a,b 上单调,就区间 a,b 是相应单调区间的子集2 转化为不等式的恒成立问题,即“ 假设函数单调递增,就 递减,就 f x 0”

10、 来求解f x 0；假设函数单调易错警示： 1 f x为增函数的充要条件是对任意的 x a,b 都有 f x 0,且在 a,b 内的任一非空子区间上 f x 不恒为 0. 应留意此时式子中的等号不能省略,否就漏解2 函数在其区间上不具有单调性,但可在子区间上具有单调性,如迁移 3 中利用了3a30,1 来求解1 变式训练 3 已知函数 f x ln x,g x 2ax 22x a 01 假设函数 h x f x g x 在1,4 上是削减的,求 a 的取值范畴；2 假设函数 h x f x g x 存在单调递减区间,求 a的取值范畴 . 【导学号： 00090065】1 解 1 h x ln

11、x2ax 22x, x0 , ,1所以 h x xax2,由 h x 在1,4 上是削减的得,1当 x1,4 时, h x x ax20 恒成立,1 2 1 2即 ax 2x恒成立令 G xx 2x,1所以 aG xmax,而 G x x1 21,由于 x1,4,所以1 x14, 1 ,缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 缘份让你看到我在这里所以 G x max7 16 此时 x4 ,7 7 所以 a16,即 a 的取值范畴是16,. 1 2 h x xax2,由于 h x 在0 , 上存在单调递减区间,1 所以当 x0 , 时,x ax2 0 有解,1 2 即 ax 2x有解1 2 设 G x x 2x,所以只要 aG x min即可1 而 G x x1 21,所以 G x min 1. 所以 a 1. 缘份让你看到我在这里名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页