2022年高中数学必修公式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 2 学问点一、直线与方程1直线的倾斜角定义： x 轴 正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角；特殊地,当直线与 x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度；因此,倾斜角的取值范畴是 0 1802直线的斜率定义：倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜率常用k 表示；即 k tan；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当 0 , 90 时,k 0；当 90 , 180 时,k 0；当 90 时, k 不存在；y 2 y 1过两点的直线的斜率公式：k x 1 x 2 x 2 x 1留意下面四点

2、：1 当 x 1 x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90 ；2 k 与 P1、P2 的次序无关； 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到；3直线方程点斜式：y y 1 k x x 1 直线斜率 k,且过点 x 1,y 1留意： 当直线的斜率为 0 时, k=0,直线的方程是 y=y1；当直线的斜率为 90 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1；斜截式：y kx b,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b两点式：y y 1 x

3、 x 1x 1 x 2 , y 1 y 直线两点 x 1, y 1,x 2, y 2y 2 y 1 x 2 x 1x y截矩式：1a b其中直线 l 与 x 轴交于点 ,0 ,与 y 轴交于点 0, b ,即 l 与 x 轴、 y 轴的 截距 分别为 a b ；一般式：Ax By C 0A,B 不全为 0留意： 1各式的适用范畴2特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：y b b 为常数；平行于 y 轴的直线：x aa 为常数；5直线系方程：即具有某一共同性质的直线一平行直线系平行于已知直线A 0xB 0yC00A 0,B0是不全为0 的常数的直线系：A 0xB 0yC0C 为常数二过定点的直线系

4、 斜率为 k 的直线系：yyy 0C 1kx,x 0:,直线过定点x 0, y 0； 过两条直线l1:A 1xB 10l2A 2xB2y的交点的直线系方程C20为名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 1 xB 1yC 1A 2xB 2yC20为参数,其中直线2l不在直线系中；6两直线平行与垂直当l1:yk 1xb 1,l2:ylk2xl2b 2时,21l 1/l2k 1k 2,b 1b 2；1k 1k留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否；7两条直线的交点l1:A 1xB 1yC 10l2:A 2

5、xB2yC20相交dAx0ABy02C交点坐标即方程组A 1xB 1yC120的一组解；A 2xB2yC0方程组无解l1/ l2；方程组有很多解1l 与2l重合8两点间距离公式：设A x y 1,（B x 2,y 2）是平面直角坐标系中的两个点,就|AB|x 2x 12y 2y 129点到直线距离公式： 一点Px 0, y0到直线l1:AxByC0的距离2B10两平行直线距离公式 在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解；二、圆的方程 1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径；2、圆的方程1标准方程xa2yb2r2,圆心a,b,半径为

6、 r；F2一般方程x2y2DxEyF0D,E,半径为r1D2E24当D2E24F0时,方程表示圆,此时圆心为222当D2E24F0时,表示一个点；当D2E24F0时,方程不表示任何图形；3求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求； 确定一个圆需要三个独立条件,假设利用圆的标准方程,需求出 a,b, r；假设利用一般方程,需要求出 D,E,F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形,基本上由以下两种方法判定：名师归纳总结 1设直线l:AxByC0,圆C:xa2yb2r2,圆心Ca ,b

7、到 l 的距离第 2 页,共 7 页；drbl与 C 相切；drl与C相交为dAaA2BbC,就有drl与 C相离B22y2r2,先将方程联立消元,得到2设直线l:AxByC0,圆C:xa,就有r2l与 C相交一个一元二次方程之后,令其中的判别式为0l与 C相离；0l与C相切；0注：假如圆心的位置在原点,可使用公式xx0yy0去解直线与圆相切的问题,其中- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x0, y0表示切点坐标,r 表示半径；3过圆上一点的切线方程：圆 x2+y 2=r 2,圆上一点为 x 0,y 0,就过此点的切线方程为 xx 0圆 x-a 2+y-

8、b 2=r 2,圆上一点为 x0,y0,就过此点的切线方程为课本命题的推广 yy 0 r 2课本命题 2x 0-ax-a+y 0-by-b= r4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和差 ,与圆心距 d之间的大小比较来确定；2 2 2 2 2 2设圆 C 1 : x a 1 y b 1 r,C 2: x a 2 y b 2 R两圆的位置关系常通过两圆半径的和差,与圆心距 d之间的大小比较来确定；当 d R r 时两圆外离,此时有公切线四条；当 d R r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当 R r d R r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；当 d R

9、r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当 d R r 时,两圆内含；当 d 0 时,为同心圆；三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特点1棱柱：定义 ：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体；分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；表示 ：用各顶点字母,如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱AD几何特点 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；2棱锥定义 ：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共

10、顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母,如五棱锥PABCDE其相像比等于顶点到几何特点 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像,截面距离与高的比的平方；3棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母,如五棱台PABCDE侧棱交于原棱锥的顶点几何特点 ：上下底面是相像的平行多边形侧面是梯形4圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 何体,其余三边旋转所成的曲面所围成的几名师归纳总结

11、 几何特点 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面绽开图第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是一个矩形；5圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 体,旋转一周所成的曲面所围成的几何几何特点 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面绽开图是一个扇形；6圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特点： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面绽开图是一个弓形；7球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特点： 球的截面是圆；球面上任意一点到球

12、心的距离等于半径；2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图光线从几何体的前面对后面正投影俯视图从上向下；侧视图从左向右 、注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度；3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原先与 x 轴平行的线段仍旧与x 平行且长度不变；原先与 y 轴平行的线段仍旧与 4、柱体、锥体、台体的外表积与体积1几何体的外表积为几何体各个面的面积的和；y 平行,长度为原先的一半；2特殊几何体外表积公式c 为底面周长, h 为高

13、, h 为斜高, l 为母线2rlS直棱柱侧面积1chhS 圆柱侧2rrhS正棱锥侧面积1 ch 2r2rlS圆锥侧面积S 圆台侧面积rS正棱台侧面积c 1c 2R l2S 圆柱表2rrlS圆锥表rlS圆台表RlR3柱体、锥体、台体的体积公式V 柱ShV 圆柱Sh2 r hV 锥1ShV 圆锥1r2 h2 Rh33V 台1 3S S SS hV 圆台1 S S SS h1r2rR334球体的外表积和体积公式：V 球 =43 R； S球面 =4 R234、空间点、直线、平面的位置关系1平面名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - -

14、- 平面的概念：A. 描述性说明；B.平面是无限舒展的； 平面的表示： 通常用希腊字母 、 、 表示,如平面 通常写在一个锐角内；也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC； 点与平面的关系：点 A 在平面 内,记作 A；点 A不在平面 内,记作 A点与直线的关系：点 A 的直线 l 上,记作： A l；点 A 在直线 l 外,记作 A l；直线与平面的关系：直线 l 在平面 内,记作 l ；直线 l 不在平面 内,记作 l ；2公理 1：假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是全部的点都在这个平面内；即直线在平面内,或者平面经过直线应用： 检验桌面是否平；判定直线是否在平面内l用符

15、号语言表示公理1：Al Bl A,B3公理 2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面；推论： 始终线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面；公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据4公理 3： 假如两个不重合的平面有一个公共点 线,那么它们有且只有一条过该点的公共直符号： 平面 和 相交,交线是 a,记作 a；符号语言：P A B A B l P l公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法；它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；它可以判定点在直线上,即证假设干个点共线的重要依据；5公理 4：平行于同

16、一条直线的两条直线相互平行6空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 ：既不平行,又不相交； 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、 b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a a,b b,就把直线 a 和 b 所成的锐角或直角叫做异面直线 a 和 b 所成的角；两条异面直线所成角的范畴是0 ,90,假设两条异面直线所成的角是直角,我们就说这 两条异面直线相互垂直；说明 ：1判定空间直线是异面直线方法：依据异面直线的定义；异面直线的判定定理2在异面直线所成角定义中,空间一

17、点O 是任取的,而和点O 的位置无关；求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上；B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角7等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补；8空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有很多个公共点名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三种位置关系的符号表示：aa A a 9平面与平面之间的位置关系：5、空间中的平行问题平行没有公共点； 相交有一条公共直线； b 1直线与平面平行的判

18、定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 ,就该直线与此平面平行；线线平行 线面平行 线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行；线面平行 线线平行2平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理1假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行线面平行面面平行 ,2假如在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行；,线线平行面面平行3垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理1假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行；面面平行线面平行2假

19、如两个平行平面都和第三个平面相交,7、空间中的垂直问题1线线、面面、线面垂直的定义那么它们的交线平行； 面面平行线线平行两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线相互垂直；线面垂直： 假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,直；就说这条直线和这个平面垂平面和平面垂直：假如两个平面相交,所成的二面角 从一条直线动身的两个半平面所组成的图形是直二面角平面角是直角,就说这两个平面垂直；2垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面；性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直

20、线平行；面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直；性质定理： 假如两个平面相互垂直,个平面；9、空间角问题1直线与直线所成的角那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一两平行直线所成的角：规定为 0 ；两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角；两条异面直线所成的角：过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a , b,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角；2直线和平面所成的角名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精

21、选学习资料 - - - - - - - - - 平面的平行线与平面所成的角：规定为 0 ；平面的垂线与平面所成的角：规定为 90 ；平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角；求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“ 一作,二证,三运算”；在“ 作角” 时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,留意挖掘题设中两个主要信息：1斜线上一点到面的垂线； 2过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线；3二面角和二面角的平面角 二面角的定义： 从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做

22、二面角,这条直线叫做二 面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角；直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角；在两个 面内分别作 垂直于棱的两条射两相交平面假如所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,假如两个平 面垂直,那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法：在棱上挑选有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时,二面角的平面角过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为7、空间直角坐标系, , , ,1定义 ：如图,OBCD D A B C

23、 是单位正方体 . 以 A为原点,分别以 OD,O ,A ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y 轴.z 轴 ；这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1O叫做坐标原点 2 x 轴, y 轴, z 轴叫做坐标轴 . 3 过每两个坐标轴的平面叫做坐标面；2右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置；大拇指指向为 x 轴正方向, 食指指向为 y 轴正向, 中指指向就为 z 轴正向, 这样也可以打算三轴间的相位置；名师归纳总结 3任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组 , , x y z 来表示,有序实数组第 7 页,共 7 页 , , 叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M x y z x 叫做点 M的横坐标,y 叫做点 M的纵坐标, z 叫做点 M的竖坐标4空间两点距离坐标公式：dx2x12y2y12z2z 12- - - - - - -