2022年高中数学公式及知识点速记.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学公式及学问点速记1. 元素与集合的关系xAxC A ,xC AxA .2. 德摩根公式C UABC AC B CUABC AC B . 3. 包含关系ABAABBABC BC AAC BC ABR4. 容斥原理名师归纳总结 card ABcardAcardBcard AB第 1 页,共 27 页card ABCcardAcardBcardCcard AB 5集合a a 2,card ABcard BC card C A card A B C . 个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n 1,an的子集个数共有n

2、 2个；非空的真子集有2n 2 个. 6. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式f x ax2bxc a0; 2 顶点式f x a xh2k a0; 3 零点式f x a xx 1xx 2a0. 7.解连不等式Nf x M 常有以下转化形式Nf x Mf x Mf x N0|f x M2N|M2Nf N0Mf x 1NM1N. f x 8. 方程f x 0在k1k2上有且只有一个实根, 与fk1fk20不等价 , 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特殊地 , 方程ax2bxc0 a0有且只有一个实根在k1 k2内 , 等价于fk1fk20, 或f1k0且k 1bk12k2, 或fk20且2

3、ak 12k2bk2. 2 a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数fxax2bxca0 在闭区间p,q上的最值只能在xb处及区2a间的两端点处取得,详细如下：1 当 a0 时,如xbp,q,就f x nmfb, f x2 ax m x m , f p f q；2 axbp,q,f x maxmaxf ,f q ,f x minminf p ,f q . 2 a2当a0 | 2 a ,就（1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxfxa0,或fxaf1fx0,x或f xa 1 0, f x 或1f x f2 f xa,f x 0,1 , 就fx的周期 T=2a；23fx1f1afx 0,

4、就fx的周期 T=3a；x4fx 1x2fx 1x 1fx2且f a 1f x 1f x21,0|x 1x 21ffx2fx的周期 T=4a；5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就fx的周期 T=5a；6fxa fx fxa,就fx的周期 T=6a. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载30. 分数指数幂1amn1m（a0,m nN ,且n1）. na2am1（a0,m nN ,且n1） . nma n31根式的性质（1） n a na . na na

5、 ；（2）当 n 为奇数时,当 n 为偶数时,nn aa a00. |a|a a32有理指数幂的运算性质1 arasarsa0, , r sQ. 上述有理指数幂的运算性2 r asarsa0, , r sQ . 3 abrr a bra0,b0,rQ . 注： 如 a 0,p 是一个无理数,就ap表示一个确定的实数质,对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式logaNbabN a0,a1,N0.34. 对数的换底公式logaNlogmN aa0, 且a01,m0, 且m1,N0. n1,N0. logma推论logamn bnlogba, 且a1,m n0, 且m1 ,m35对

6、数的四就运算法就如 a0,a 1,M 0,N0,就1 log aMNlogaMlogaN ; , 记,且b24 ac. 如fx的定义域为2 logMa Nn MlogaMlogaN; 3 loganlogaM nR . 36. 设函数fxlogmax2bxc a0R , 就a0,且0 ; 如fx的值域为 R , 就a00 . 对于a0的情形 , 需要单独检验 . 名师归纳总结 ,37.对数换底不等式及其推广logaxbx第 5 页,共 27 页如a0,b0,x0,x1, 就函数ya 1当 ab时, 在0,1和1 a,上ylogaxbx 为增函数 . a2 当 ab 时, 在0,1和1 a,上y

7、logaxbx 为减函数 . a推论 :设nm1,p0,a0,且a1,就（1） logmpnplogmn .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）logamloganloga2学习必备欢迎下载p ,就对于时间x 的总产值y ,有m2n.38.平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为yN1px . s na 1a2a . 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系a ns 1,s nn12 数列 an的前 n 项的和为s n1,n40. 等差数列的通项公式ana 1n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为s nn a 12a n

8、na 1n n1d2d n 22a 11d n . ；2N*41. 等比数列的通项公式a na qn1a 1qnnq其前 n 项的和公式为s na 11qn ,q1qand a 1b q0的通项公式为1qna q1或s na 1a q q q1 . 1na q142. 等比差数列a n:an1bn1 , d q1d q1；a nbqndn b q1q1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn q1. bd1qnd1qq1143.分期付款 按揭贷款 每次仍款xab1bn元贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1b n144常见三角不等式名师归纳总结 （1）如x0,2,就 s

9、inxxtanx . 第 6 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如xx0,2,就 1sinx学习必备欢迎下载cosx2. 3 | sin| cosx| 1 . 45. 同角三角函数的基本关系式sin22 cos1 , tan=sin, tancot1. cos46. 正弦、余弦的诱导公式ncosinn 1 sin,n 为偶数 n1s ,n 为奇数 2 12cos n2n,n 为偶数 1 cosn 为奇数 n1,1 2si n47. 和角与差角公式sinsincoscossin; 的 象 限 决.coscoscossinsin; ta

10、ntantan. 1tantansinsinsin2sin2 平方正弦公式 ; coscoscos2sin2. asinbcos=a2b 2 sin 辅 助 角所 在 象 限 由 点 , 定, tan b .a48. 二倍角公式sin 2sincos. cos2cos2sin22cos2112sin2. tan 212 tan2. tan49. 三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin3sin3. cos34cos33cos4coscos3cos3tan 33tantan3tantan3 tan3. 13tan250. 三角函数的周期公式名师归纳总结 函数ysinx,xR及函数yc

11、osxk,xRA, ,为常数, 且 A 0,第 7 页,共 27 页2,kZ A, ,为常数,且A 0 的周期T2；函数ytanx,x 0, 0 的周期 T. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载51. 正弦定理a b c2 R . sin A sin B sin C52. 余弦定理2 2 2a b c 2 bc cos A ; 2 2 2b c a 2 ca cos B ; 2 2 2c a b 2 ab cos C . 53. 面积定理（1）S 1ah a 1bh b 1ch （h a、h b、h c 分别表示 a、b、c 边上的高

12、） . 2 2 2（2）S 1ab sin C 1bc sin A 1ca sin B . 2 2 23 S OAB 1 | OA | | OB | 2 OA OB 2. 254. 三角形内角和定理在 ABC中,有 A B C C A B C A B2 C 2 2 A B . 2 2 255. 简洁的三角方程的通解sin x a x k 1 arcsin a k Z ,| a | 1 . co s x a x 2 k arccos a k Z ,| a | 1 . tan x a x k arctan a k Z a R . 特殊地 , 有sinsinkkk 1kkZ. coscos2Z. t

13、antankkZ . 56. 最简洁的三角不等式及其解集sinxa a| 1x2karcsina,2karcsina,kZ . sinxa|a| 1x2karcsina,2karcsina,kZ . cosxa|a| 1x2karccos ,2karccos ,kZ . cosxa a| 1x2karccos ,2k2arccos ,kZ . tanxa aRxkarctan , a k2,kZ . tanxa aRxk2,karctana kZ . 57. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a;3 其次安排律： a+b= a

14、+ b. 58. 向量的数量积的运算律：1 a b= b a （交换律） ; a b= a （b）; 2 （a）b= （a b）=3 （a+b）c= a c +b c.59. 平面对量基本定理假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 只有一对实数 1、2,使得 a=学习必备欢迎下载1e1+2e2不共线的向量e1、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底 60向量平行的坐标表示设 a=x y 1, b=x 2,y2,且 b0,就 abb0x

15、 y2x y 10.53. a 与 b 的数量积 或内积 |b|cos 的乘积ab=| a| b|cos 61. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影62. 平面对量的坐标运算1 设 a=x y 1, b=x2,y2,就 a+b=x 1x2,y 1y2. 2y 1. 2 设 a=x y 1, b=x2,y2,就 a-b=x 1x2,y 1y2. 3 设 Ax 1,y 1,Bx 2,y2, 就ABOBOAx 2x y4 设 a= , x y,R ,就a=x,y . y y2. 5 设 a=x 1,y 1, b=x2,y2,就 a b=x x 263

16、. 两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 2y y 22 y 2 a=x y 1, b=x2,y2. 2 y 12 x 264. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB AB2Ax y 1,Bx2,y2. x 2x 12y 2y 165. 向量的平行与垂直设 a=x 1,y 1, b=x 2,y2,且 b0,就0. A| bb= a x y2x y 10. aba0ab=0x x2y y266. 线段的定比分公式设 P x 1 , y 1 ,P x 2 , y 2 ,P x y 是线段 P P 的分点 , 是实数,且 PP 1 PP ,就 2x x 1 x 21 OP OP 1 OP

17、2y y 1 y 2 11OP tOP 1 1 t OP （t 1）. 167. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为 Ax ,y 、1 1 Bx ,y 2 2 、Cx ,y 3 3 , 就 ABC的重心的坐标是 G x 1 x 2 x 3, y 1 y 2 y 3 . 3 368. 点的平移公式 x x h x x h OP OP PP . y y k y y k注: 图形 F 上的任意一点 Px ,y 在平移后图形 F 上的对应点为 P x y ,且 PP 的 坐标为 , h k . 69. “ 按向量平移” 的几个结论名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 2

18、7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）点学习必备欢迎下载xh yk . P x y 按向量 a= , h k 平移后得到点P2 函数 y f x 的图象 C 按向量 a= , 平移后得到图象 C , 就 C 的函数解析式 为 y f x h k . 3 图象 C 按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 如 C 的解析式 y f x , 就 C 的函数 解析式为 y f x h k . 4 曲 线 C : f x y , 0 按 向 量 a= , 平 移 后 得 到 图 象 C , 就 C 的 方 程 为 f x h y k 0 . 5 向量 m= , x y

19、按向量 a= , 平移后得到的向量仍旧为 m= , x y . 70. 三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A B C 所对边长分别为 a b c ,就2 2 2（1） O为 ABC的外心 OA OB OC . （2） O为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . （3） O为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . （4） O为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . （5） O为 ABC 的 A的旁心 aOA bOB cOC . 71. 常用不等式：（1）a b R a 2b 22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （2

20、）a b R a b ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2（3）a 3b 3c 33 abc a 0, b 0, c 0.（4）柯西不等式2 2 2 2 2 a b c d ac bd , , , , a b c d R .（5）a b a b a b .72. 极值定理已知 x, y 都是正数,就有（1）如积 xy是定值 p ,就当 x y 时和 x y 有最小值 2 p；（2）如和 x y 是定值 s ,就当 x y 时积 xy 有最大值 1 s . 4推广 已知 x, y R,就有 x y 2 x y 2 2 xy（1）如积 xy是定值 , 就当 | x y | 最大时 , | x y