2022年高中数学知识点总结大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全高中数学学问点总结1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互异性、无序性” ；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,A、B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；如：集合Ax x22x30,Bx ax1如BA,就实数 的值构成的集合为（答：1, ,1）33. 留意以下性质：（ ）集合a 1,a 2, ,an的全部子集的个数是2n；（2）如ABABA,A

2、BB；（3）德摩根定律：CUABC UACUB,C UABCUAC UB4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax50 的解集为M,如3M且5M,求实数ax2a的取值范畴；（3M,a350a1,59,25）,“ 且” 和2 3a5M,a550352a 5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”“ 非”.如pq为真,当且仅当p、 均为真如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p为真,当且仅当p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - -

3、 学问点大全（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；7. 对映射的概念明白吗？映射f：A B,是否留意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应 B 中有元素无原象；）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例 ： 函 数 y2x4x2的 定 义 域 是lgx3（答：0,2,33,4）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fxf x fx 的定义域是 _；（答：a,a）11. 求一个

4、函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？如：fx1exx,求f x .令t0xx1,就txt2110et21t2f t x e21x2f x 112. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x x1xxx00 0的反函数x2x（答：f1 1x1）x13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线 yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；名师归纳总结 设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 a第 2 页,共 38 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

5、 - - - - - 学问点大全f1f a f1 a,f f1 f a b14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（yf u ,u ,就yf 为增函数,否就f 为减函数；）（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时f 如：求ylog 1x22 x的单调区间2（设uux22x,由u20就0x2x且log 1,u11,如图：2u O 1 2 x 当x 0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）15. 如何利用导数判定函数的单调性？名师归纳总结 在区间a,b内,如总有f 0就f x 为增函数；（在个别点上导数等于第 3 页

6、,共 38 页零,不影响函数的单调性）,反之也对,如fx0 呢？如：已知a0,函数f x x3ax 在1,上是单调增函数,就a 的最大值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 fx3 x2a3xaxa033就xa或xa33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全由已知f x 在1,上为增函数,就a1,即a33a 的最大值为 3）16. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数留意如下结论：

7、（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇 函数的乘积是奇函数；求（2）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；时,f x 42x1,如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x1（f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a20a20,a1）201又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0,1 xf x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xxx42xx1,0又f 0,f x 44x11x0,1）2xx0x17. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有

8、f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周期；）名师归纳总结 如：如f xaf x ,就第 4 页,共 38 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（答：f x 是周期函数,T2a 为f x 的一个周期）又如：如 f x 图象有两条对称轴 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x 就 f x 是周期函数,2 a b 为一个周期如：18. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与fx的图象关于y轴 对称a a f x 与f x 的图象关于x轴 对称f x 与fx的图象关于 原点 对称f x 与f1 的图象关于 直

9、线yx对称f x 与f2ax的图象关于直线xa对称f x 与f2 ax 的图象关于点a,0 对称将yf x 图象左移a a0 个单位yf x右移个单位yf xa a0 上移b b0 个单位yf xa b下移b b0 个单位yf xa b留意如下“ 翻折” 变换：名师归纳总结 f x f x x1ylog2x1的图象第 5 页,共 38 页f x f| |如： f x log 2作出ylog2x1及- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0 y=b O Oa,bx x=a

10、 （ ）一次函数：ykxkb k00ybxkak0是中心O a,b （ ）反比例函数：yk推广为x的双曲线；（ ）二次函数y2 axbxc a0a x2b24 acab2图象为抛物线2 a4顶点坐标为b,4 acb2,对称轴xb2 a4 a2 a开口方向：a0,向上,函数ymin4acab4a0,向下,ymax4 acab24应用：“ 三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与x轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00 解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一

11、元二次方程根的分布问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全0如：二次方程ax2bxc0 的两根都大于kbk2 af k 0y a0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0（ ）指数函数：yaxa0,a1y=a xa1 （ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！）y 0a1 1 O 1 x 0a1 （ ）“ 对勾函数”yxkk0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？y k20. 你在基本运算上常显现错误吗？p1aO kx 指数运算：0 a1a0

12、 ,a0 ap名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全mmn1a0 aNM0,Nb0annam a0 ,anam对数运算：logaMNloglogaMl o gMl o gMl o gN,l o gnMa1 nl o gMN对数恒等式：alogaxxlogcbnlogalogmbn对数换底公式：logablogcam21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1）x R,f x 满意 f x y f x f y ,证明 f x 为奇函数；（先令 x y 0 f 0 再令 y x, ）（2）x R,f

13、 x 满意 f xy f x f y ,证明 f x 是偶函数；（先令 x y t f t t f tt f t f t f t f t f t f t ）（ ）证明单调性：f x 2 f x 2 x 1 x 2 22. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值：名师归纳总结 （ ）y2x3134xcos,0,第 8 页,共 38 页（ ）y2x4x3（ ）x3,y2x2x3（ ）yx49x2设x3（ ）y4 x9,x 0,1 ,半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？x23. 你记得弧度的定义

14、吗？能写出圆心角为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（lR,S 扇1lR1R2）22R 1 弧度O R 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义s i nMP,cosOM,tanATy B S T P 如：如80,就sin,cos,tanx O M A 的大小次序是又如：求函数y12cos2x的定义域和值域；（ 12c o s2x）12si n x0sin x2,如图：4kZ,0y1222 k5x2k4名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全25.

15、 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？s i n x1,cosx1y yt g xx 2O 20,kZ对 称 点 为 k2,名师归纳总结 ys i n 的增区间为2k2,2 k2kZZAcosx第 10 页,共 38 页减区间为2 k2,2 k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kyc o s 的增区间为2 k,2kkZZ减区间为2 k,2k2kZ图象的对称点为k2,0,对称轴为xkkyt a n 的增区间为k2,k2kZ或 y26. 正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；- - - - - - -精选学习资料 - - - -

16、 - - - - - 学问点大全（ ）振幅|A|,周期T2| |如f x0A,就xx0为对称轴；3,2,求出 与 ,依点如f x00,就x0,0为对称点,反之也对；（ ）五点作图：令x依次为0,2, ,2（x, y）作图象；（ ）依据图象求解析式；（求A、值）x10如图列出x2tan2x,T| |解条件组求、 值正切型函数yA27. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴；如：cos x6,2,x6,3 2,求 值；5,x13）2（x37x5,x626341228. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数yysinxsin|

17、 |的值域是x0 时,y0,y2,2）2,2,（x0 时,2sinx29. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：名师归纳总结 （ ）点 （ , ）ah,k P （x,y）,就xxh第 11 页,共 38 页平移至yyk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（ ）曲线f x,y0 沿向量ah,k平移后的方程为f xh,yk0如：函数y2sin2x41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？（y2sin2 x41横坐标伸长到原先的2倍y2sin2 1 2x412sinx41左平移4个单位1上平移1个单位y2sinxy2

18、sinx纵坐标缩短到原先的1 2倍ysinx）30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：12 sin2 cos2 sec2 tantancotcossectan4sin2cos 0 称为 的代换；“k2” 化为的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,“ 奇” 、“ 偶” 指k 取奇、偶数；如： cos9tan7sin2146又如：函数ysintan,就 的值为coscotA. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值（ysinsinsin2cos10,0）cos coscos2 cossin1sin31. 娴熟把握两角和、差、倍、懂得公式之间的联系：降幂公式 及其逆向应用了吗？

19、名师归纳总结 s i ns i n coscossin令sin22sincos第 12 页,共 38 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全c o sc o s c o ssinsin令cos22 cossin2t a nt ant a n,tan22 c o s1112sin21t a nt a nt a n 22t a n2 c o sc o s 2212 t a n2 s i n1c o s 2as i nbcosa 2b2sin2basi nc o s2s i n4si n3c o s2si n3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求

20、：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能 求值,尽可能求值；）详细方法：（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；tan2的值；11）如：已知sincos1,tan2,求1cos 231（由已知得：sincoscos1,tan2 22 sin2sin221又 t a n3t a n2t a n1t a nt a n13 22t a nt a n83232. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bccosAcosAb2c2a22bc（应用

21、：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）名师归纳总结 正弦定理：aAbBcC2Ra2RsinA第 13 页,共 38 页b2RsinBsinsinsinc2RsinC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全S1abs i n C112ABC,ABCsi n ABsi n C,A si n2BcosC2如ABC中,2sin2A2Bcos 2 C1（ ）求角C；（2）如a2b2c2,求cos2 Acos2B的值；2（ （ ） 由 已 知 式 得 ：c o s AB2c o s 2C又ABC,2cos2CcosC10cos C1或cos C1（舍）2又

22、0C,C3b212 c得：（ ）由正弦定理及2 a222 s i nA22 s i nB2 s i nC2 si n3341cos 2 A1cos 2B34cos 2 Acos 2B3）433. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反 正 弦 ：a r c s i n2,2,x1,1反余弦：arccosx0,x,1,1反正切：arctan x,2xR234. 不等式的性质有哪些？名师归纳总结 （ ）ab,c0accbcbdbd第 14 页,共 38 页c0acbc（2）ab,cda（ ）ab0,cd0ac- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（

23、）ab011,ab011a 或xaabab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a0axa,| |ax如：如110,就以下结论不正确选项（）ab2 A ab2B abb2C a .| | | | |ab |D a bb2a答案： C 35. 利用均值不等式：a2b 22 ab a,bR；ab2ab；abab2求最值时,你是否注2意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积ab或和ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：名师归纳总结 a222 ba2bab2aba,bRy max24 3）第 15 页,共 38 页ab当且仅当ab时等号成立；a2b2c2abbcca

24、a,bR当且仅当abc 时取等号；ab0,m0,n0,就bbm012anaaambnb 4 的最大值为 x如：如x,3 x（设 y23 x422 1224 3x当且仅当3x4,又x0,x2 3时,x3又如：x2 y1,就2xy 4的最小值为2 2）（2x22y2 2x2y2 21,最小值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全36. 不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩法的应用；如：证明 1 12 1212 22 3 n（1 12 12 12 1 1 1 12 3 n 1 2 2 3 n 1 n1

25、 1 1 1 1 1 12 2 3 n 1 n2 12）n37 . 解分式不等式 f x a a 0 的一般步骤是什么？g x （移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果；）38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开头如： x1x12x23039. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数的底分a1 或0a1 争论40. 对含有两个肯定值的不等式如何去解？（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）名师归纳总结 例如：解不等式|x3 |x11第 16 页,共 38 页（解集为x x|1）241.会用不等式| | |

26、 | |ab| | | | |证明较简洁的不等问题如：设f x x2x13,实数a 满意|xa |1求证： f x f a 2 | |1 证明： | f a | |x2x13 a2a13 |- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全|xa xa1 | |xa |1 |xa xa1 | |xa1 | | | |11,| | | |1又| | | | |xa | f x f a 2 | |22| |1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“ ” 问题）如：a f x 恒成立 a f x 的最小值a f

27、x 恒成立 a f x 的最大值a f x 能成立 a f x 的最小值例如：对于一切实数 x,如 x 3 x 2 a 恒成立,就 a 的取值范畴是（设 u x 3 x 2,它表示数轴上到两定点 2 和 距离之和u m i n 3 2 5,5 a,即 a 5或者：x 3 x 2 x 3 x 2 5,a 5）43. 等差数列的定义与性质名师归纳总结 定义：an1and d为常数,ana1n1dS2m1；第 17 页,共 38 页等差中项：x,A, 成等差数列2Axy前 项和Sna1annna1n n1d22性 质 ：a n是 等 差 数 列（ ）如mnpq,就amana pa q；（2）数列a2

28、n1,a2n,kanb仍为等差数列；Sn,S2nSn,S3nS 2n 仍为等差数列；（ ）如三个数成等差数列,可设为ad, ,ad；（4）如an,bn是等差数列Sn,Tn为前n 项和,就amm2m1bT- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（ ）an为等差数列S nan2bn（ , 为常数,是关于n的常数项为0 的二次函数）Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项,即：当a 10,d0,解不等式组an10可得 0S n达到最大值时的n 值；a当a 10,dnn0,由an10可得 0S n达到最小值时的n 值；an如：等差数列an,S n18,anan1an23,S 31,就（由anan1an233 an13,an11又S 3a 12a333 a 21,a213Sna 1anna2an1n121n18322n27）44. 等比数列的定义与性质定义：ann1q（ 为常数,q0）,ana