2022年许昌大学线性代数期末试题及答案解析.docx

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1、许昌高校线性代数期末试题 +答案解析一、填空题 每空 3 分,共 15 分 得分评阅人05010 2 2 61、D -72 . 3 3 0 70 4 0 82、设 1 2,3,5, 2 3,7,8, 3 1, 6,1,如 2 1 2 3 3 , 就 -2,17,-1 . 1 2 3 1 2 33、设 A 为三阶可逆矩阵,且 A 10 1 2 , 就 A 0 1 2 . 0 0 1 0 0 14、如 n 阶方阵 A 有一个特点值 2,就 2E A 0 . 5、假如二次型 f x x x 3 x 1 2x 2 25 x 3 22 tx x 2 2 x x 3 4 x x 是正定的,就 t 的取值范

2、畴是 4t 0 .5二、挑选题 每道题 3 分,共 15 分 得分评阅人kx 1x 2x 30名师归纳总结 1、如齐次线性方程组x 1kx 2x 30仅有零解,就 C 第 1 页,共 8 页A k4或k2x 1x 2x 30B k4或k11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C k4且k1D k4且k12、1,2,ss2线性无关的充分必要条件是 D A都不是零向量 B任意两个向量的重量不成比例 C至少有一个向量不行由其余向量线性表示 D每一个向量均不由其余向量线性表示3、A B 均为 n 阶方阵,以下各式中成立的是 D A BAB0, 就A0或AAB2

3、2 A2ABB2B ABEC 设AB0, 就A0或B0D 如AB04、设 n 阶方阵 A的秩 rn,就在 A 的 n 个行向量中 A A必有 r 个行向量线性无关 C任意 r 个行向量均线性无关 性表示B 任意 r 个行向量均可构成最大无关组D 任一行向量均可由其它r 个行向量线5、 n 阶方阵 A可与对角矩阵相像的充分必要条件是 A A A 有 n 个线性无关的特点向量 B A 有 n 个不同的特点值C A的 n 个列向量线性无关 三、运算题 每道题 9 分,共 63 分 得分 评阅人D A 有 n 个非零的特点值1、设 A 为 4 阶方阵,A1, 3求3A4A1. 2解：AA A11A1,

4、3分名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3A4A131A14A13A135 分 3 41811A1 38 分243.9 分2、运算 n 阶行列式D111n1101n1 21101r n10110111解：Dr 1r 2nn110110110111分r 1n1n11111 3110110110111分r2r 1n11111 60010r3r1rnr 101001000分名师归纳总结 n11n11n n11n1n2n1 . 9 分第 3 页,共 8 页22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

5、- - 所以X02 31 31131912 31 32020 .01 31 35311分13、已. 知1向,量组,12 ,1,311 求1,2,3,4的一个最大无关组；2 将其余向量用此最大无关组线性表示解：用这些向量作为列向量得矩阵A,并对其施行初等行变换A1,2,3,411111131111111312 分10205011000010000分因此：11,2,4是向量组1,2,3,4的一个最大线性无关组7 分2321204.9 分01011名师归纳总结 4、设AXBX 其中A111,B203,求X.第 4 页,共 8 页1015- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

6、- - - 解：由AXBX 得EA XB .2 分故XEA 1B .3 分 而EA 1021,73312 31 301 31 3分5、线性方程组72x 12x 2x 3x41a,当a b 为何值时有解？在有解的情形下,x 1x2x 3x 42x 1x22x 34x 4b7x 1x 2x35x4求其解 . 解：对增广矩阵施行初等行变换B21111r 1r 211112r 22 r 11111a2111122111103313r 37r 17224a7224a099314r 47 r 17115b7115b0662b14 2 分r 33 r21002 3a14r 42r 21 30111r2300

7、005r1r 20000b8分当a5且b8时,R AR B2,方程组有解；6 分 此时,方程组的一般解为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 112 3x4x 21x 31 3x47x 3x 3x 4x 4分令x 3k x 1 4k ,并写成向量形式即得方程组的通解 2x 11023xx21k 11k21,k k2R . 9 分3x 3010x40016、已知矩阵110000A110与B030相像 . 00300x1 求 .x2 求可逆矩阵P 使P1APB .E3B ,可得：x2.解：由于 A 与 B 相像,就EA1

8、因此,矩阵 A的特点值为0,3,2.22 分对于10, 对应的特点向量为11, 1,04 分对于23, 对应的特点向量为20,0,16 分对于32, 对应的特点向量为31,1,08 分 令名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 101P1,2,3101 ,010就 0P1AP3B . 9 分27、化二次型f x x 1 2,x 3x 1 22 x x 1 22 x x 1 32 x 224x x 为标准形,并写出对应 2 3的可逆线性变换 . 解：对二次型f 进行配方得x 2x 32x 2x 322x 32f x x 2,

9、x 3x 13 分令y 1x 1x2x 3,即x 1y 1y2,y 2x2x3x 2y2y3y 3x3x 3y36 分取P110P10 ,0110017 分于是通过可逆变换xPy , f 化为标准形f2 y 12 y 222 y 3. 9 分四、证明题 7 分 名师归纳总结 得分评阅人第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 11a 12a 13已知实矩阵Aa21a22a23满意条件 : 1a ijA i ja31a32a 331,2,3,其中ijA 是ija 的代数余子式；2a 110. 1,2,3,AA.证明：A1.证明：a ijA i j ij1 分从而AAAA.2 分A3 1A2 ,又A3 分A2 ,所以4 分因此,A0或A1.5 分将 A 按第一行绽开得：Aa A 11 11a A 12 12a A 13 132 a 112 a 122 a 13.6 分又已知a 110,所以A0.故可得：A1.7 分名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页