2022年考研数学三真题和详解.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1992年全国硕士争论生入学统一考试数学三试题一、填空题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分 , 把答案填在题中横线上. , 假如商品需_. SCIENCE的1 设商品的需求函数为Q1005P , 其中Q P 分别表示为需求量和价格求弹性的肯定值大于1, 就商品价格的取值范畴是_. 2 级数n1xn22n的收敛域为 _. n 43 交换积分次序1dy2y2f x y dx_. 0y4 设 A 为 m 阶方阵 , B 为 n 阶方阵 , 且Aa Bb C0A, 就 CB05 将C C E E

2、 I N S 等七个字母随机地排成一行, 那么 , 恰好排成英文单词概率为 _. 二、挑选题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分. 在每道题给出的四个选项中, 只有一项 第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - 是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在题后的括号内. 1 设F x xx2axf t dt, 其中f x 为连续函数 , 就 lim x aF x 等于 aA 2 a B a f a 2 C 0 D 不存在2 当x0时, 下面四个无穷小量中, 哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量. A 2 x B 1 cosxC 12 x1 D xtanx3 设

3、 A 为 mn 矩阵 , 齐次线性方程组Ax0仅有零解的充分条件是 A A 的列向量线性无关 B A 的列向量线性相关C A 的行向量线性无关 D A 的行向量线性相关4 设当大事 A 与 B 同时发生时 , 大事 C 必发生 , 就 A P CP A P B1 B P CP A P B 1C P CP AB D P CP AB5 设 n 个随机变量X1,X2,Xn独立同分布 ,D X12,X1in1Xi,n细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -S2n11inX

4、iX2, 就 1A S 是的无偏估量量 B S是的最大似然估量量的相合估量量 即一样估量量 D C S 是S与 X 相互独立三、 此题满分 5 分设函数ln cosx1 ,x1,问函数f x 在x1处是否连续 .如不连续 , 修f x 1sin2x改函数在x1,. x1.1处的定义使之连续四、 此题满分 5 分运算Iarccotexdx .x e五、 此题满分 5 分设zsinxy ,x, 求2z, 其中 , u v 有二阶偏导数 . x yy六、 此题满分 5 分 求连续函数f x , 使它满意f x 2xf t dtx2. 0七、 此题满分 6 分 求证 : 当x1 时,arctanx1a

5、rccos 12x4. 22 x八、 此题满分 9 分 设曲线方程 y e x x 0 . x1 把曲线 y e , x 轴 , y 轴和直线 x 0 所围成平面图形绕 x 轴旋转一周 ,得一旋转体 , 求此旋转体体积 V ; 求满意 V a 1 lim V 的 a . 22 在此曲线上找一点 , 使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大 , 并求出该面积 . 九、 此题满分 7 分细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

6、- - - - - - - -设矩阵 A与 B 相像 , 其中A200B100. 2x2 ,02031100y1 求 x 和 y 的值 . 2 求可逆矩阵 P , 使得P AP 1B . 十、 此题满分 6 分已知三阶矩阵B0, 且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解: 1 求的值 ; 2 x 12x 22x 30,2x 1x 2x 30,3x 1x2x30.证明B0. 十一、 此题满分 6 分 设 A、B分别为 m、n阶正定矩阵 , 试判定分块矩阵CA0是否是正定矩阵. 0B十二、 此题满分 7 分 假设测量的随机误差XN2 0,10 , 试求 100 次独立重复测量中, 至少有三次测量误

7、差的肯定值大于19.6 的概率, 并利用泊松分布求出的近似值 要求小数点后取两位有效数字. 附表 e1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 十三、 此题满分 5 分 一台设备由三大部分构成 , 在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和0.30. 假设各部件的状态相互独立 , 以 X 表示同时需要调整的部件数 , 试求 X 的数学期望EX 和方差 DX . 十四、 此题满分 4 分 细心整理归纳 精选学习资料 设二维随机变量X Y 的概率密度为ey,0xy ,Y1. 第 3 页,共 17 页 f x y

8、 , 0,其他 ,1求随机变量X的密度fX x ; 2 求概率P X - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1992 年全国硕士争论生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分 . 1 【答案】 10,20【解析】依据Q P1005P0, 得价格P20, 又由Q1005P 得QP5, 依据经济学需求弹性的定义, 有PQP5P5P, 令5PP5P5 PQ P1001, 解得P10. 1005100所以商

9、品价格的取值范畴是10,20 . 2 【答案】 0,4细心整理归纳 精选学习资料 【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数, 故可直接用比值判别法争论其收敛性. 第 4 页,共 17 页 第一当x20即x2时级数收敛 . 当x2时, 后项比前项取肯定值求极限有 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -lim nx2 2n1xn 4n2nx2 2lim nnn1x22,nn 141244当x4221, 即当 0x220x2或 2x4时级数肯定收敛. p11时发散

10、 . 又当x0和x4时得正项级数n11, 由 p 级数：n11当p1时收敛； 当nnp所以正项级数n11是发散的 . ntnn的收n综合可得级数的收敛域是0, 4 . 注： 此题也可作换元x22t 后, 按如下通常求收敛半径的方法争论幂级数n4敛性 . 【相关学问点】 收敛半径的求法： 假如nlima n1, 其中a n,an1是幂级数n0n a x的相邻a n两项的系数 , 就这幂级数的收敛半径1 , 0.,f x y dxdy .R,0,0, 3 【答案】1dxx 2f x y dy12dx02x2f x y dy00, 先表成：原式【解析】这是一个二重积分的累次积分, 改换积分次序时D由

11、累次积分的内外层积分限确定积分区域D ：D , 0y1,yxx2y2, 第 5 页,共 17 页 即 D 中最低点的纵坐标y0, 最高点的纵坐标y12Dy1, D 的左边界的方程是xy , 即Oy2 x 的右支 , D 的右边界的方程是x2y2即x2y22的右半圆 , 从而画出 D 的图形如图中的阴影部分, 从图形可见DD1D , 且细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -D 1 , 0x1,0yx2,所以1dy2y2D 2

12、, 1x 2x2,0y220x2.f x y dx1dxf x y dy1dx2x 2f x y dy .0y004 【答案】 1 mnab【解析】由拉普拉斯绽开式, C0Amn 1A Bmn 1ab. B0【相关学问点】两种特别的拉普拉斯绽开式：设A是 m 阶矩阵 , B 是 n 阶矩阵 , 就AOA*AB,OA*A1mnAB. *BOBB*BO5 【答案】1 1260. , 将给出的七个字母任意排【解析】按古典概型求出基本领件总数和有利的基本领件即可设所求概率为P A , 易见 , 这是一个古典型概率的运算问题7., 而有利于大事A的样本点成一行 , 其全部的等可能排法为7. 种, 即基本

13、领件总数为n数为 2. 2. , 即有利大事的基本领件数为4, 依据古典概型公式P A 2. 2.1. 7.1260二、挑选题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分 . 1 【答案】 B 【解析】 方法1: lim x aF x 为“0” 型的极限未定式, 又分子分母在点0 处导数都存在,0所以可应用洛必达法就. x af t dtlim x aF x lim x axx2axf t dta2lim x aaxalim x a2 a f 2 a f a . 1故应选 B. 方法 2: 特别值法 . 取f x 2, 就lim x aF x lim x axx2ax2 dt2a2

14、. a明显 A,C,D均不正确 , 应选 B. 【相关学问点】对积分上限的函数的求导公式：细心整理归纳 精选学习资料 如F t f x dx, t, t 均一阶可导 , 就f . 第 6 页,共 17 页 F t f - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 【答案】 D 【解析】由于x0时 ,1cosx1x2, 1x 211x2, 故x2,1cos , 12 x122是同阶无穷小 , 可见应选 D. 3 【答案】 A 【解析】齐次方程组Ax0只有零解

15、r A n . r An , 即 A 的列向量线性无n 矩阵 ,由于r AA 的行秩A的列秩 , 现A是m关. 故应选 A. 【相关学问点】对齐次线性方程组1Ax0, 有定理如下 : 对矩阵 A按列分块 , 有A,n, 就Ax0的向量形式为,2,那么 , Ax0有非零解x 11x 22xnn0.1,2,n线性相关r1,2,nnr An.4 【答案】 B 【解析】依题意：由“ 当大事 A 与 B 同时发生时 , 大事 C 必发生” 得出 AB C , 故P AB P C ；由概率的广义加法公式 P A B P A P B P AB 推出P AB P A P B P A B ；又由概率的性质 P

16、A B 1 , 我们得出P C P AB P A P B P A B P A P B 1 , 因此应选 B. 5 【答案】 C 【解析】依据简洁随机样本的性质, 可以将X1,X2,X 视为取自方差为2 的某总体 第 7 页,共 17 页 - - - - - - - - - X 的简洁随机样本, X 与2 S 是样本均值与样本方差. 由于样本方差2 S 是总体方差的无偏估量量, 因此ES22,ES, 否就如 ES,就ES22,DSES2ES20. 故不能选 A. 对于正态总体, S 与 X 相互独立 , 由于总体 X 的分布未知 , 不能选 D. 同样因总体分布未知 , 也不能选 B. 综上分析

17、 , 应选 C. 进一步分析 , 由于样本方差2 S 是2 的一样估量量 ,其连续函数S2 S肯定也是的一样估量量 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三、 此题满分 5 分【解析】函数f x 在xx 处连续 , 就要求x lim xf x 0 f x 0. , 又分子分方法 1: 利用洛必达法就求极限lim x 1f x , 由于lim x 1f x 为“0” 型的极限未定式0, 有母在点 0 处导数都存在 , 所以连续应用两次洛必达法就sinx1lim

18、 x 1f x lim x 1ln cos x1lim x 1cos x12lim x 1tan x11sinx2cosxcosxx . 2 1222lim x 1cos 2x14. x2 sin22而f11, 故lim x 1f x 1, 所以f x 在x1处不连续 . 如令f14, 就函数f x 在x1处连续 . 2方法 2: 利用变量代换与等价无穷小代换,x0时,cosx112 x ； ln1x2求极限lim x 1f x, 令x1t , 就有lim x 1f x lim x 1ln cos x1lim t 01ln cos tlim t 0ln1cos t11sinxcost 21co

19、st 22lim t 0cos t1lim t 01t24. 2 212t2t22248以下同方法1. 四、 此题满分 5 分【解析】用分部积分法: 第 8 页,共 17 页 - - - - - - - - - Iarccotx e dexexarccotexex1exxdx2 eexarccotex11e2xx dxe2exarccotx ex1ln12 exC , 其中 C 为任意常数 . 2注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题, 假如挑选不当可能引起更纷杂的计算, 最终甚至算不出结果来. 在做题的时候应当好好总结, 积存体会 . 【相关学问点】分部积分公式：假定uu x 与v

20、v x 均具有连续的导函数, 就细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -uvdxuvu vdx ,或者udvuvvdu .五、 此题满分 5 分【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数 合的 . , 重要的是要分清函数是如何复由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关y, 所以此题可以先求, z, 再求yz. xx由复合函数求导法, 第一求xz , 由题设zxcosxy 112y再对 y 求偏导数 , 即得1 1z xy cos xy xy sin xy

21、 1 y 2 y 2 2y yx 1 x 1cos xy xy sin xy 12 22 2 2y y y y y yx x 1cos xy xy sin xy 2 12 3 22 2 2 . y y y【相关学问点】多元复合函数求导法就：假如函数 u , , v , x y 都在点 , x y 具有对 x 及对 y 的偏导数 , 函数 z f u v 在对应点 , u v 具有连续偏导数 , 就复合函数z f , , , 在点 , x y 的两个偏导数存在 , 且有z z u z v f 1 u f 2 v；x u x v x x xz z u z vf 1 uf 2 v . y u y v

22、 y y y六、 此题满分 5 分 【解析】两端对x 求导 , 得f 2 2x . 记P x 2,Q x 2x , 有通解1 2, 第 9 页,共 17 页 f x eP x dxQ x eP x dxdxCe2x 22 xxe dxCCe2xx其中 C 为任意常数 . 由原方程易见f00, 代入求得参数C1. 从而所求函数f x 1e2xx1 2. 22【相关学问点】一阶线性非齐次方程yP x yQ x 的通解为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

23、 - - - - - - -yeP x dxQ x eP x dxdxC, 其中 C 为任意常数 . 七、 此题满分 6 分 【解析】 方法 1：令 f x arctan x 1arccos 2 x2 , 就2 1 x 42 2f 12 2 12 x 1 x2 2 0 x 1 . 1 x 2 x 11 x 由于 f x 在 1, 连续 , 所以 f x 在 1, 上为常数 , 由于常数的导数恒为 0. 故 f x f 1 0 , 即 arctan x 1arccos 2 x2 . 2 1 x 4方法 2：令 f x arctan x 12 arccos1 2 xx 2 4 , 就 f x 在

24、1, x 上连续 , 在 1, x 内可导 ,由拉格朗日中值定理知 , 至少存在一点 1, x , 使得f x f 1 f x 1.2 2由复合函数求导法就 , 得 f 12 2 12 x 1 x2 2 0 x 1 , 1 x 2 x 11 x 所以 f x f 1 . 由 f 1 0 可得 , 当 x 1 时, arctan x 1 arccos 2 x2 . 2 1 x 4【相关学问点】复合函数求导法就 : 假如 u g x 在点x可导 , 而 y f x 在点 u g x 可导 , 就复合函数 y f g x 在点 x 可导 , 且其导数为dyf g x 或dydy du. dxdxdu

25、 dx八、 此题满分 9 分 【解析】对于问题1, 先利用定积分求旋转体的公式求V , 并求出极限limV . 问题 第 10 页,共 17 页 2 是导数在求最值中的应用, 第一建立目标函数, 即面积函数 , 然后求最大值 . 1 将曲线表成 y 是 x 的函数 , 套用旋转体体积公式V 02 y dx0e2xdx21e2,V a 21e2a,limV lim21e22. 由题设知21e2a4, 得a1 ln 2 2. 2 过曲线上已知点x0,y0的切线方程为yy 0k xx0, 其中当y x 0存在时 , 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

26、- - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ky x 0. 设切点为 , a e a , 就切线方程为 y e ae a x a . 令 x 0 , 得 y e a 1 a , 令 y 0 , 得 x 1 a . 由三角形面积运算公式 , 有切线与两个坐标轴夹的面积为 S 1 1 a e 2 a. 2因 S 1 a e a 1 1 a 2e a 1 1 a e 2 a, 令 S 0, 得 a 1 1, a 2 1 舍去 . 2 2由于当 a 1 时, S 0；当 a 1 时 , S 0 . 故当 a 1 时, 面

27、积 S有极大值 , 此问题中即为最大值 . 故所求切点是1, e1, 最大面积为S1 2 22e12 e1. x 轴旋【相关学问点】由连续曲线yf x 、直线xa xb 及 x 轴所围成的曲边梯形绕转一周所得的旋转体体积为：Vbf2 x dx. a九、 此题满分 7 分【解析】由于 A B , 故可用相像矩阵的性质建立方程组来求解参数 x 和 y 的值 . 如1P AP , 就 是 A 的特点向量 . 求可逆矩阵 P 就是求 A 的特点向量 . 1 由于 A B, 故其特点多项式相同 , 即 E A E B , 即2 2 x 1 x 2 1 2 y . 由于是 的多项式 , 由 的任意性 ,

28、令 0, 得2 x 2 2 y . 令 1, 得3 2 21 y . 由上两式解出 y 2 与 x 0 . 2 0 0 1 0 02 由1 知 2 0 2 0 2 0 . 3 1 1 0 0 21由于 B 恰好是对角阵 , 所以立刻可得出矩阵 A的特点值 , 矩阵A的特点值是1, 2 2, 3 2 . 1 0 0 1 0 0当 1 1时, 由 E A x 0 , 2 1 2 0 1 2 , 3 1 2 0 0 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -

29、- - - - - - - - - - - - - -得到属于特点值1的特点向量1T 0, 2,1. 当22 时, 由 2EA x0,400100, . 222011得到属于特点值2的特点向量3110001T 0,1,1. 211000当32 时, 由 2EA x0,222010313000得到属于特点值2的特点向量31,0, 1 T . 001, 有P AP 1B . 那么令P1,2,3210111十、 此题满分 6 分【解析】 对于条件AB0应当有两个思路：一是 B 的列向量是齐次方程组Ax0的解； 另 第 12 页,共 17 页 一个是秩的信息即r Ar B n . 要有这两种摸索问题的

30、意识. A0, 否就 A1221 方法 1：令A21, 对 3 阶矩阵 A , 由AB0,B0知必有311Ax0有非零可逆 , 从而BA1ABA100, 这与B0冲突 . 故122A210, 311用行列式的等价变换, 将第三列加到其次列上, 再按其次列绽开, 有102A21510. 301解出1 . 方法 2：由于B0, 故 B 中至少有一个非零列向量. 依题意 , 所给齐次方程组解, 得系数矩阵的列向量组线性相关, 于是细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -122A2110, 31以下同方法一 . 2 反证法：对于AB0, 如B0, 就 B 可逆 , 那么AAB B10B10. 与已知条件A0冲突 . 故假设不成立 ,B0. 【相关学问点】对齐次线性方程组Ax0, 有定理如下 : 对矩阵 A按列分块 , 有A1,2,n, 就Ax0的向量形式为x 11x 22xnn0.那么 , Ax0有非零解1,2,n线性相关r1,2,n