2022年第六章功率谱估计电子教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案第六章 功率谱估量的经典方法6.1 引言从其次章的争论中, 我们已经知道一个随机信号在各时间点上的值是不能先验确定 的,它的每个实现 样本 往往是不同的,因此无法象确定信号那样可以用数学表达式或 图表精确地表示它,而只能用它的各种统计平均量来表征它；其中,自相关量作为时移 的函数是最能较完整地表征它的特定统计平均量值；而一个随机信号的功率谱密度 函 数,就是自相关函数的傅立叶变换；对于一个随机信号来讲,其能量通常为无限大,它本身的傅立叶变换是不存在的,经常需要争论其功率在频域上的分布；因此,功率谱 密度是一个随机信号的一种最重

2、要的表征形式；我们要在统计意义下明白一个随机信 号,就要求知道 或估量 它的功率谱密度；假如我们用R xxm 表示随机信号xn的自相关函数,P xx表示它的功率谱密度 以下简写成 PSD,就有：P xxmR xxm ejm6.1 而其中R xxm E x n x nm 6.2 即为滞后积的数学期望；依据各态历经假设, 零均值广义平稳随机过程的集合的平均可以用一个样本序列的 时间的平均代替,于是上式可写成R xxmlim N211nNNx n xnm 6.3 N实际上,第一不行能获得样本序列的全部数据,即很多个xn,其次通常检测到的数据都是含有噪声或者干扰；因此,只能依据有限个含有噪声的检测数据

3、估量随机信号 的自相关序列,进而估量功率谱；将式 6.3代入式 6.1得名师归纳总结 令lnmP xxlmlim N21N1Nx n xnm ej mjm第 1 页,共 24 页nNN,就 ml i m N 211nNx n xnmeNmn ,上式可写成- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P xxlim N2名师精编精品教案x l ejl1Nx n ejnlN1nNN lim211nNNx n ejn26.4 它N式6.4在 N的极限情形下是不行能收敛的, 这是由于对于无限时域的随机信号,的傅氏变换是不存在的；实际上只有将式6.4求平均,成为P xxN

4、limE211nNNxn ejn26.5 N才有意义；以后我们仍将会看到,只有将式6.4经过求平均 或平滑 ,即只有式 6.5才能满意一个正确的估量必需满意的一样估量的条件；由于实际得到的随机信号只能是它的一个实现或一个样本序列的片段,因此问题是如何依据它的有限个样本序列来估量信号的自相关函数或功率谱密度；这是本章要争论的中心内容；当我们用一个样本的记录的有限个数据 x 0 , x 1 , , x N 1 来估量自相关函数和功率谱密度时,有Rxxm 1N1x n x nmm 6.6 Nn0P . 1xNn x NnNn m ejmRxx6.7 m这里x N wN m x nm 6.8 x Nn

5、m wNnwN 为矩形函数,w N1, 0 0, nn N0 及 nN或按式 6.4 名师归纳总结 这里XNP . xx1N1n ejn21XN26.9 第 2 页,共 24 页x NnN0是有限长序列X Nn n,0,1,N1 的傅氏变换；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案一个好的估量应当是无偏估量,最小方差估量；假如我们用 表示某个随机变量的真值,.表示它的估量值,就期望满意：1 无偏估量无偏估量,即 .的偏差 Bias为零,所谓偏差 用 B 表示 定义为B Bias . E .无偏估量即 B0,E . 的估量；图 6.1 中的估

6、量 1 和估量 2 都属于无偏估量；2 最小方差估量最小方差估量,即方差为最小的估量；图.Var .E.E.26.1 中,估量 2 较之估量 1 方差小；图 6.1 二种估量的概率密度分布但是经常发生这种情形,一种估量的偏倚较小,而方差较大；另一种估量偏倚较大而方差较小；此时很难定哪一种估量好；因此也经常用均方误差的大小来衡量估量的优劣；在其次章中我们已经争论到均方误差定义为Ee2E.2不难证明均方误差为Ee2Ee2B22 .2 .之和最小；与偏差和方差均有关,要E2 e最小就要求 B 2 与由于,当 N时式 6.6就成为式 6.3；因此应有NR xxR xx这就是说,当观看到的样本的数据有无

7、限多个时,依据无穷多个这样的样本数据估量到的自相关函数应当就是自相关函数的真值各态历经假设 ；换句话说,一个正确的估量名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案应有N Bias . 0及 N V ar . 0 6.10 满意式 6.10的估量称为一样估量；一个正确的估量应当满意一样估量的条件 这是正确估量的必要条件,不是充分条件 ；反之,假如某种估量方法不能满意式 6.10一样估量的条件,就这种估量方法肯定是不正确的；下面我们在争论各种估量方法时,经常以此作为估量正确与否的主要准就之一；功率谱估量有着极其

8、广泛的应用,不仅在熟悉一个随机信号时,需要估量它的功率谱；它仍被广泛地应用于各种信号处理中；下面我们举三个应用的例子； 在信号处理的很多场所, 要求预先知道信号的功率谱密度 或自相关函数 ；例如,在正确线性过滤问题中,要设计一个维纳滤波器就第一要求知道 或估量出 信号与噪声的功率谱密度 或自相关函数 ；依据信号与噪声的功率谱 或 R xx m 才能设计出能够尽量不失真的重现信号,而把噪声最大限度抑制的维纳滤波器 见其次章 ； 经常利用功率谱估量来得到线性系统的参数估量；例如,当我们要明白某一系统的幅频特性 H 时,可用一白色噪声 n 通过该系统；再从该系统的输出样本 yn估量功率谱密度 P y

9、y ；由于白色噪声的 PSD用 P 表示 为一常数即 P 2,于是有 Pyy 2H 2故通过估量输出信号的 PSD,可以估量出系统的频率特性 H 模特性 ；在第七章将要争论到用自回来模型法估量 参数估量与 PSD 估量间的关系；PSD 的一节中,我们将要详细争论系统 从宽带噪声中检测窄带信号；这是功率谱估量在信号处理中的一个重要用途；但是这要求功率谱估量有足够好的频率的辨论率,否就就不肯定能够清晰地检测出来；所谓谱估量的辨论率可以粗略地定义为能够辨论出的二个分立的谱重量间的最小频率 间隙 距；谱估量问题无论从熟悉一个随机信号或从其它应用方面来讲都是重要的；因此对谱估量方法的争论引起了国内外学者

10、的广泛留意与重视；分活跃的课题；它是当前在信号处理中的一个十功率谱估量总的来讲可以分为经典谱估量方法和现代谱估量方法；经典谱估量为线 性、非参数化方法,需采纳经典的傅里叶变换及窗口截断；经典谱估量方法包括周期图 法,相关图法等,对长序列有良好估量；现代谱估量为非线性、参数化方法,包括最大似然估量,最大熵法, AR 模型法,猜测滤波器法, ARMA 模型等；对短序列的估量精名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案度高,与经典法相互补充； 现代谱估量是融合经典变换理论、统计估量理论、 系统辨识、信息论、时间

11、序列分析及运算方法等理论与技术的一门新学科；目前应用广泛,进展迅 速；功率谱估量的经典方法以傅立叶变换为基础,到了广泛的应用；本章内容为经典谱估量方法；很早就被提出, 在 FFT 算法显现后得6.2 自相关序列的估量 功率谱的估量要求运算自相关序列,下面争论自相关序列的估量方法；6.2.1 自相关序列的无偏估量设观看到 N 个样本序列x n的值：x 0 ,x 1 ,xN1；现在要由此N 个数据来估量自相关函数R xxm ；由于nx 只能观看到0nN1的 N 个值,而n0 与nN1时的x 值是不知道的,那么滞后积序列y m x n * x nm 是一个长为N |m|的序列,因此,式 6.6成为R

12、xxm 1Nm1x x nmmN1n0Nm6.11 式中 m 取肯定值是由于1Nm1y m n0Nmm ,m 为负值时上式仍适用；式 6.11规定的求和R xxR xx m 上下限的原就是保持充分利用全部N 个数据；这种估量方法的成效如何,我们第一需要看它的偏差与方差是否满意一样估量的条件；由式6.11,得E R xxm 1Nm1E x n x nm N1mNnm1R xxm Nmn00R xsm mN1上面 Rxsm是自相关函数的真实值；所以名师归纳总结 Bias R xxm R xxm E Rxx 0 mN1第 5 页,共 24 页故这种估量,当mN1时,属于无偏估量；m 现在来求VarR

13、xxm ,按定义VarRxxmE R2m E2Rxxxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E名师精编R2精品教案mN6.12 1R2mmxxxx又按式 6.11 当随机序列2 E R xxm N12Nnm1k0E x n x nm x k x km 6.13 m0x n是零均值,实、高斯序列时,有所以x 4Ex 1x 4Ex 2x 3Ex 1x2x 3x 4Ex 1x 2Ex 3x 4Ex 1x 3Ex2Ex n x nm x kx km Ex n x nm Ex kx km Ex n x kEx nm x km Ex n x km Ex nm x k

14、n 2 R xxm 2 R xx knR xxkmn R xxkm代入式 6.13,得2 E R xx 2 R xx m N1m2Nnm1k02 R xxkn R xxkmn R xx kmn0代入式 6.12,得名师归纳总结 Var R xxm N12Nnm1k02 R xxkn R xxkmn R xxkmn 第 6 页,共 24 页m0令rkn,明显 r 的最小值为Nm1,最大值为Nm1,且r0 即kn 的情形将显现Nm次,r1的情形将显现Nm1次以此类推,对不同 r 值的情形,显现的次数将为Nmr,于是上式可写成Var R xxm N12rrNm1Nmr2 R xxR xx rm R

15、xx rm mNm1N1m2 rNNm11 1mNr2 R xx rR xxrm R xxrmmN1m2 rNNm11 2 R xxrR xxr m R xxrm6.14 m当 Nm 时,上式以 1/ N 趋于零,即 lim NVar R xx m 0；故Rxx m 的方差满意一致估量的条件；假如x n不是高斯过程,在上式中需要再加一项,但此项往往是可以忽- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案略的,因此,式 6.14仍近似适用；式6.11这种估量自相关函数的方法,虽然当m 很小于 N 时能得到一样估量,但当N 肯定, |m|接近于 N 时

16、,即mN时,Var R xx m 就变得很大,因而不能得到有用的估量；6.2.1 自相关序列的有偏估量因此很多学者如 Jenkins-Watts和 Parzen等都主见按下式估量R xxm ,我们用R xxm 表示R xxm 1Nm1m N1 6.15 n0x n x nNNNm Rxxm ,m同时名师归纳总结 E Rxxm NNmR xxm 第 7 页,共 24 页这相当于它的均值等于真值R xxm 用三角窗函数加权；故R xxm 是有偏的,其偏差为Bias R xxm R xxm E R xx m R xxm NNmR xxm m R xxNm因此,R xxm 是R xxm 的渐进无偏估量

17、；同时Var R xxm NNm2VarRxxm（Var R xx m ）1rNNm11 1mNr2 R xx rR xxrm R xxrmN2m事实上,将R 用三角窗函数加权后,不仅使方差减小,而且有利于钝化R xxm 的截断边界,从而改进对 P的估量；争论：虽然R xxm 的 Bias 和 Var 都不等于零, 但当 N时Bias0 Var0,说明R xxm 是R xxm 的渐进无偏估量和有效估量,因此,R xxm 是R xx m 的一样估量；且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Var R xxm Var Rxx 名师精编精品教案Rxxm 的,以及

18、可改,同时可以证明R xx m 的均方误差小于进对 P的估量,所以今后我们仍是用R xx m 作为自相关函数的估量,即6.16 R xxm 1Nnm1x n x nm N0此外, m 越大,辨论率越高,但是自相关序列估量的偏差也相应增大,通常取mN10 N5,成效较好；BT PSD 法；通过将自相关函数的估量进行傅氏变换求得功率谱估量的方法即为6.3 周期图作为功率谱的估量功率谱估量的经典法实质上就是传统的傅立叶分析法,它又可分成二种；一种是间接法,它先通过式 6.6对自相关函数进行估量 一般都需要窗函数将自相关值加权,以减小自相关序列截断的影响 ,然后再通过式 6.7作傅立叶变换得功率谱估量

19、值； 这种方法是 1958 年由 Blackman 与 Tukey 提出的,简称 BT PSD 估量法,也称为相关图法；另一种是直接法,它是将观看到的有限个样本数据 x 0 , x 1 , , x N 1 利用 FFT 算法作傅立叶变换直接按式 6.9进行功率谱估量 不通过自相关函数的估量 ,这种方法称为周期图法；本章的经典法中主要争论周期图法；用周期图 包括平滑后的周期图 作为功率谱估量的方法可利用 FFT 进行运算,因而有运算效率高的优点,在谱辨论率要求不高的地方常用这种周期图法进行谱估量；它的一个主要缺点是频率辨论率低； 这是由于周期图法在运算中把观看到的有限长的 N 个数据以外的数据认

20、为是零； 这明显与事实不符合； 把观看不到的值认为是零, 相当于将 xn在时域里乘上了一个矩形窗口函数,在频域里相当于与一个 sinc 函数卷积,由于 sinc函数与 函数比较有二方面的差别,其一是其主瓣不是无限窄,其二是有旁瓣,因此卷积的结果必定造成失真；由于主瓣不是无限窄,假如原先真实的功率谱是窄的,与主瓣卷积后将使功率向邻近频域扩散,使信号模糊,降低了辨论率,主瓣愈宽辨论率愈差；由于存在旁瓣,又将产生两个后果,一是PSD 主瓣内的能量“ 泄漏” 到旁瓣将使谱估计的方差增大,二是与旁瓣卷积得到的信号功率谱完全属于干扰；在严峻的情形下,强 信号与旁瓣的卷积可以大于弱信号与主瓣的卷积,使弱信号

21、埋没在干扰的强信号中,而 无法检测出来；这正是周期图作为功率谱估量的二个主要缺点；对于 BT PSD 估量法,由于它是按式 6.7将功率谱用有限个自相关函数值的傅氏变 换代表按式 6.1用无限个自相关函数值的傅氏变换求得的真实功率谱；这相当于将序列R sxm 乘了一个矩形窗函数,因此也同样存在上述二个缺点；很多学者想尽方法,妄想挑选适当窗口函数的外形来提高经典法的谱辨论率,但是发觉,全部能降低旁瓣的窗口 函数都是以主瓣的增宽为代价的；反之亦然；这两个缺点只能互换而无法同时改善；因名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名

22、师精编 精品教案此,近几年来, 在提高功率谱估量的辨论率方面提出了很多新的方法,其中包括以 1967年 Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估量法,现代谱估量将在下一章阐述；6.3.1 周期图将式 6.16代入 6.7得P . xx R xx m e j mm1 N m 1x n x n m e j mN m n 01 j mx N n x N n m e N m n这里 x N n 与 x N n m 的下标 N 表示它们是有限长 长为 N的序列,令 l=n+m,有P . 1 x N n e j nx N l e j lN n l1 j j 1 2X N e X N e X N N其

23、中的 X N 为N 1j j n j nX N X N e x N n e x n en n 0即 X N 是有限长序列 xn的傅氏变换；明显 X N 是周期性的；直接将 X N 的模的平方除以 N 求得的功率谱的估量称为周期图,并用 I N 表示；于是有P . xx I N 1X N 26.17 N假如我们观看到 xn的 N 个值：x 0 , x 1 , , x N 1 ,可以通过 FFT 直接求得X N K 频率离散化的 X je ；然后依据式 6.17直接求得 P xx 不必先通过估量自相关函数 ；这种将周期图作为功率谱估量的方法的主要优点是运算便利,它可以直接用FFT 算法从 xn得到

24、XN；从而得到Pxx；正是由于它的这个优点,使这种方法成为一种非常通用的方法；6.3.2 周期图的估量性能为了明白周期图作为功率谱估量的估量成效,让我们来争论它的偏差和方差；为此第一需要求周期图的期望值；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案按式6.16,得E R xxm 1nE xN n x Nnm m6.18 N1E w N n x n w Nnm x nNn1wN n wNnm E x n x nm Nn这里 wN 代表矩形序列；令由于m1nwN n wNnm 1w m wm6.19 NNm 是

25、二个矩形函数的卷积,因此它必是一个三角函数,经常称它为Bartlett 窗函数,用Bm 表示,不难证明Bm 1m,mNN0,其它而它的傅氏变换为W B1R N21sinN/226.20.0 NNsin/2图 6.1 所示为 Bartlett 函数及其傅立叶变换示意图；图 6.2 Bartlett 函数及其傅立叶变换示意图又E x n x nm R xxm 自相关函数的真值将上式与式 6.19代入式 6.18,并求其傅氏变换,得名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - E IN1名师精编精品教案W BP xx2由式 6.2

26、0可见,除非WB1W BP xxdP xx6.20 Px2为函数,EIN将不等于,故周期图作为的估量是有偏的：BiasINP xxEIN0S per 是渐进无偏估量；当 N时时是无偏的；Bm 1mN1N故WBNlim NEINP xxN因此,周期图作为功率谱的估量,当其次求周期图的方差；为了得到周期图的方差,第一假设序列x n0nN1 是一个实,白色,零均值过程的样本,具有高斯概率分布函数；按方差的定义应有VarINEI2E2IN6.21 N按式 6.17,周期图可表示为将x N w NIN1XNej2jxNk e jkNx Nn ejn1nNk n x n 和1nxN n x N k en

27、lNw N x N 代入上式,并求期望值：名师归纳总结 其中E IN1nkwN n wN k E x n x k ejn k6.22 第 11 页,共 24 页NE x n x k R xxnk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于我们假设xn名师精编n精品教案nk 代入上式得是白色的,所以R xxk2xE IN1n2 w N 22n2 w N EI2,为xxNN2nw2 N为了求得VarINxN,按式 6.21除了需要求得EIN以外,仍需要求得N此我们先求在频率为1及2 的IN的协方差,参照式 6.22可得6.23 E IN1IN21nkpqN N

28、k wN p wN E x n x k x p x q ej1n kej2pqN2对于白色高斯过程可以证明Ex nx kx p x q E x n x pE x k x q E x n x q E x k x pE x n x k E x p x q 矩分解定理考虑到对于白色过程有xR xxm xE x n x nm 2m 所以xEx n xp4 x,当nq 或k 及pknp 及kq或qnq 及kp0,其它代入式 6.23得E IN1IN24kp2 w N p2 w N n1k2 w N2 n w N k ej n k12xN2n2 w N2 n w N k ej n k 26.24 上式当

29、n=k 及 p=q 时只有第一项存在 其它二项为 0；当 n=p 及 k=q 时只有其次项存在；当 n=q,k=p 时,只有第三项存在；又由于n2 w N kw2 pw2p2N2NN故式 6.24成为名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - E IN1IN24N2N1名师精编12精品教案j n k126.25 N1ej nkN1N1exN2n0k0n0k0而其中N1N1jnk12N1jn112N1ejk12112/2ejN1122/2ejN122/2neek00k0n0jN12121eejN1ejN12j12/1e21e

30、j12ejN12ejNejN12/2ej12/2ej12/2ej2/2ej2/2ej/2ej1/2ejN12/2ejN12/22ej12/2ej12/2sin1N2 22 22sin1同理可得N1N1ej nk12sin112N22n0k0sin2 2代入式 6.25得EIN1IN2N42N22sin112N22sin12N222x2sin12/22sin12/2sinN2sinN41112xNsin1/2Nsin/2名师归纳总结 当12时得EI241sinN21第 13 页,共 24 页NXNsin由于上式方括号中只有一项不为0,故有VarINEI2E2IN4Nx由公式可见,当 N,VarIN40；这说明周期图不满意一样估量的条件；x不论 N 取多长,VarIN都有4 x的量级；因此周期图不是对功率谱的好的估量；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案实际上当 N 时式6.17