第一节-引言-二分法与迭代法ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二章 方程求根 本章主要内容：本章主要内容：1 1、二分、二分法法2 2、简单迭代法（、简单迭代法（重点重点）3 3、牛顿迭代法（、牛顿迭代法（重点重点）4 4、割线法、割线法本章难点：本章难点：分析迭代法的收敛性分析迭代法的收敛性我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物历史背景历史背景 代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理代数方程的求根问题是一个古老的数学

2、问题。理论上，论上， 次代数方程在复数域内一定有次代数方程在复数域内一定有 个根个根( (考虑重考虑重数数) )。早在。早在1616世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到但直到1919世纪才证明大于等于世纪才证明大于等于5 5次的一般代数方程式不次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如能用代数公式求解，而对于超越方程就复杂的多，如果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。果有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方一般也不存在根的解析表达式。因此需要研究数值方法求得满足

3、一定精度要求的根的近似解。法求得满足一定精度要求的根的近似解。 nn我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )0f x 11100nnnna xaxa xa31 cos0 xx ( )f x若函数 可表示成( )f x00( )()( ) ()0mf xxxg xg x，( 2.1 )则称 是方程 ( 2.1 ) 的 重根。m0 x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物根的存在性根的存在性连续函数介

4、值定理连续函数介值定理则这样的 在 内唯一。 , a babx*( )yf x oxy( )f x , a b( ) ( )0f a f b 若函数 在 上连续，且( )0f ( )f x则至少有一个数 ，使得 ，若 还单调，定理：定理：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物有根区间：方程在这样的区间内有且只有一个实根。1. 描图法描图法将方程 f (x) = 0 化为 g (x) = h (x) 的形式，画出 g (x)和h (x) 的简图，从两条曲线的交点的横坐标的位置例例2.1 求方程 3x

5、 1 cos x = 0 的有根区间。解：解：用描图法，将方程变形为31cosxx 令 g (x) = 3x - 1, h (x) = cos x, 做出两个函数的简图确定有根区间。注：注：g (x) 和 h (x) 的图形比较容易作出。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物131( )31g xx21( )cosh xx由图可知，方程仅有一个实根，有根区间为1 ,.3 2xyo我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里

6、边有一个活的生物例例2.2 求函数 的有根区间。sincos40 xxx解： 令 , 并对其求导数得( )sincos4f xxxx( )cossin4fxxx0单调减少的。所以函数 在 上是( )f x(,) 又11()0, ( )0,22ff根据连续函数介值定理，方程 在 内有且仅有一个实根。( )0f x 1 1, 2 2所以 是方程 的有根区间。( )0f x 1 1, 2 2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第一节第一节 二分法二分法若 f (x) 在 a, b 上连续，且 f (a

7、) f (b) 0，o( )yf xabxyx1b2a3a 1a2b3b11,a b22,a b33,a b以此类推以此类推上至少有一实根。则 f (x) 在 (a, b)原理：原理：基本思想：基本思想：逐步将区间分半，通过判别区间端点函数值的符号，进一步搜索有根区间，将有根区间缩小到充分小，从而求出满足精度的根的近似。32abx1122abx12abx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（1）找出方程 的有根区间 。( )0f x , a b若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进

8、（3）判断：若 则 是方程的根, 0(),f x0 x (a) 若 , 则根属于 ，置： 0( ) ()0f a f x0 ,a x0011,axa b0011,x ba b行下去。计算结束；否则：0() ( )0f xf b 0, x b(b) 若 , 则根属于 ，置： 注：注：上述过程中 常取做机器零，当小于此数时认为是零！（2）计算 f (x) 在区间中点 的值 ；0()f x02abx如 。1210我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物误差分析：什么时候停止计算？误差分析：什么时候停止计算

9、？按上述过程反复进行, 可得一系列有根区间套当 n 时, 区间长度趋近于零，因此区间必将最终收缩为1122 , ,nna ba ba ba b1() 0,1,2,., ,.2nnnbabann由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间 的长度,nna b一点 , 显然 就是所求的根。*x*x若取区间 的中点,nna b1()2nnnxab作为 的近似值，*x*111()()22nnnnxxbaba则 ，从而有下述误差估计式*11,nnnx xab我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 22lnlnl

10、nban 112nnxxba 只要根据误差估计式，对于预先给定的精度 ，即可由此确定最大对分次数便有：nxx 因此， 就是满足精度要求的近似解。nx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二分法算法实现二分法算法实现问题：给定区间a, b ，求 f (x)=0 在该区间上的根 x.输入: a 和 b; 容许误差 TOL; 最大对分次数 Nmax.输出: 近似根 x.Step 1 令 k = 1;Step 2 计算 x = (a+b)/2 和 y = f (x)Step 3 若 k Nmax，做 St

11、eps 4-6Step 4 若 | y | TOL , 停止; 输出 x.Step 5 若 y * f (a) 0 , 置 b = x;否则，置 a = x;Step 6 置 k = k+1; 计算 x = f (a+b)/2); 转 Step 3；Step 7 输出方程的近似解 x; 停止.算法过程: 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解：3111 5102,.,ab ，22ln()lnlnban 31 5 1102ln( .)lnln 8.97例例2.3 用二分法求方程 在区间 上的根，

12、310 xx 1 1 5 , . 误差限为 0.0005，问至少需对分多少次？由题意知，最大对分次数9n 所以至少需对分 次。对分 9 次后取有根区间的中点即为满足精度要求的根。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 算法简单直观，收敛性有保证; 对 f (x) 要求不高(只要连续即可) . 无法求复根及重根； 收敛速度慢。 用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将概位置。或用搜索程序，将a, b分为若干小区间，对每一分

13、为若干小区间，对每一个满足个满足 f (ak)f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区的区间调用二分法程序，可找出区间间a, b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f (a)f (b) 0 。优点优点缺点缺点我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二节第二节 迭代法迭代法f (x) = 0等价变换等价变换基基本本思思想想从一个初值 x0 出发，计算lim*nnxx1limlim()nnnnxx()xx 一、简单迭代法一、简单迭代法x f (x) 的根10(),xx21(),.,x

14、x1(),.nnxx 0nnx若数列 收敛，*x即存在 ， 使得( )xx 称为迭代函数( )x*x称为 的不动点 ( )x若函数 还是连续的，则( ) x即*()xx即方程 f (x) = 0 的一个根。这样就找到了函数 的一个不动点，( ) x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xyy = xxyy = xxyy = xxyy = xx*x*x*x*y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1几何意义几何意义我吓

15、了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2.4 已知方程已知方程 在在 上有一个根上有一个根.324100 xx 1 2 , 解：下面选取5种迭代格式：1、32410 xxxx 即即32410( )xxxx 2、 1321102xx 1321102xx 即即3、12104xxx即即 12104xxx 4、12104xx即即 12104xx 5、32241038xxxxxx即即( )( )( )f xxxfx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉

16、快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物取取01 5 .x 计算结果如下：计算结果如下：123840875673246972010275 10.xxxx 法法1 11234451113484013673813649613652613751713652251365230013.xxxxxxx 法法4 412123081650299691865086.(.)xxx 法法3 3123445112912869514025413454613751713751713751713651378211365230013.xxxxxxxx 法法2 2123413733313652613652300141365

17、230013.xxxx 法法5 5我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如何判定迭代法的如何判定迭代法的收敛性呢？收敛性呢？如何构造迭代函数 才能使迭代法收敛？( )x有如下充分条件：定理定理 2.1（压缩映射原理）（压缩映射原理）若迭代函数 满足下列两个条件：( ) x(2) 0 L 1 使得对 x a, b 有：( )1;xL(1) 当 x a, b 时，( ) , ;xa b则迭代过程 对于任意初值 均收敛于1()kkxx0 , xa b方程 的根 ，且有如下误差估计式：( )xx*x*11

18、( ) |1kkkAxxxxL*10( ) |1kkLBxxxxL我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证明：证明：先证当k 时， xk 收敛到 x* ，这是因为*|kxx*1|()()|kxx*10|.|0kkL xxLxx 再证定理中的误差估计式，利用三角不等式*11|kkkkxxxxxx*|kkxxL xx所以*11|1kkkxxxxL注：注：该定理结论表明只要相邻两次迭代值的距离1|kkxx足够小，即可保证近似值 具有足够的精度，所以可用kx1|kkxx来判断是否满足迭代精度！*11|()

19、| |kkxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )xx问题：给定初始近似值 x0 ，求 的解.输入: 初始近似值 x0; 容许误差 TOL; 最大迭代次数 Nmax.输出: 近似解 x 或失败信息.简单迭代法的算法实现：简单迭代法的算法实现：Step 1 置 i = 1;Step 2 当 i Nmax时，作 Step 3-5：0()xxStep 3 置 ;否则，置 i = i + 1;Step 4 若 | x x0 | TOL，则输出 x，停止；Step 6 输出迭代失败信息，停止计算。S

20、tep 5 置 x0 = x ，转 Step 2;我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、局部收敛性二、局部收敛性定义：（局部收敛性定义：（局部收敛性 ）,Nxx若存在 的一个闭邻域 ，对任意x (0)x于 ，则称该迭代法局部收敛。kx1()kkxx 初值 ，由迭代过程 产生的序列 均收敛0 xN()1xL定理定理 2.2关于局部收敛，有如下判定定理：x( )xx( ) xx设 为 的解， 在 的某邻域连续，且则迭代过程 局部收敛。 1()kkxx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把

21、它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、迭代法的收敛阶三、迭代法的收敛阶1limkpkkece 及常数 ，使1p 0c 的一种度量;定义： kxx kkexx 设序列 收敛到 ， ，若存在实数 kxpc则称序列 是 阶收敛的，常数 称为渐近误差常数。1p 01c 特别地，当 且 时，称为线性收敛；1p 当 时为超线性收敛；2p 当 时为平方或二次收敛. 的大小反映了迭代法收敛的快慢，是收敛速度p我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理2.2 设迭代法的迭代函数 的高阶导数( )x 1 ()( )()pxp 01 210 ( )()(),(), , ()lpxxxlpx 证明： 由Taylor公式：11111()()()()()()()()( )()()!kkppppkkxxxxxxxxxxpp kxx 介介于于、之之间间11()( )()!ppkkxxxxp 110()lim()!pkpkkexep 取极限得x在不动点 的邻域里连续，则当p1()kkxx时，迭代过程 是 阶收敛的。