知识材料讲解复数(学习基础).doc

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1、+高考总复习：复数【考纲要求】1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件；2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义.【知识网络】 【考点梳理】考点一、复数的有关概念1.虚数单位:（1）它的平方等于，即；（2）与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）的周期性：，（）.2. 概念形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。说明

2、：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示；复数集与其它数集之间的关系：4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数（），当且仅当时，复数是实数；当且仅当时，复数叫做虚数；当且仅当且时，复数叫做纯虚数；当且仅当时，复数就是实数0.所以复数的分类如下:（）5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果，那么.特别地: .应当理解:（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.一般地，两个复数只能说相

3、等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数和（）互为共轭复数。考点二：复数的代数表示法及其四则运算1.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。2.四则运算；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：。考点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上

4、的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。2.复数的几何表示（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.向量的长度叫做复数的模，记作.即.要点诠释:（1）向量与点以及复数有一一对应；（2）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小。3

5、.复数加法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量。4.复数减法的几何意义：两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。要点诠释:1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行；2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题；3.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用；4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。【典型例题】类型一：复数的有关概念【例1】设复数，试求实数取何值时，复数分别满足：(1)是纯虚数； (2)对应的点位于复平面的第二象限

6、。【思路点拨】利用复数的有关概念易求得。【答案】 (1)当即时，复数是纯虚数；(2)当即或时，复数对应的点位于复平面的第二象限.【总结升华】复习中，概念一定要结合意义落实到位，对复数的分类条件要注意其充要性，对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样；对一些概念的等价表达式要熟知。比如：()；是纯虚数（）； 举一反三：【变式1】复数为纯虚数，则实数a为()A2 B2 C D. 【答案】A【解析】，由纯虚数的概念知：0，a2.【变式2】求当实数取何值时，复数分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。【解析】 （1）当即或时，复数为实数；（2）当即且时，复数为虚数；（3）当即时，复数为纯虚数

7、.【变式2】已知复数满足且,则复数（ ）A.必为纯虚数 B.是虚数但不一定是纯虚数C.必为实数 D.可能是实数也可能是虚数【答案】法1 设（），有,.则，故应选C。法2 ,.法3 ， .类型二：复数相等【例2】已知集合M=（a+3）+（b2-1）i,8,集合N=3，（a2-1）+(b+2)同时满足MNM，MN，求整数a,b【思路点拨】先判断两集合元素的关系，再列方程组，进而解方程组，最后检验结果是否符合条件。【解答】或或由得a=-3,b=2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去。a=-3，b=2由得a=3, b=-2.又a=-3,b=-2不合题意，a=3,b=-2;由得,此方程组无整数解。

8、综合得a=-3，b=2或a=3,b=-2。【总结升华】1、a+bi=c+di.2、利用复数相等可实现复数问题实数问题的转化。解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式。注：对于复数z，如果没有给出代数形式，可设z= a+bi(a,bR)。举一反三：【变式】已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.【解析】设z2=a+2i(aR)，由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数，则虚部4-a=0，即a=4，则复数z2=4+2i.类型三：复

9、数的代数形式的四则运算【例3】计算：【思路点拨】复数除法通常上下同乘分母的共轭复数。【解析】 【总结升华】复数除法关键是把分母实数化，通常上下同乘分母的共轭复数，利用进行运算。举一反三：【变式1】【答案】：原式= 【变式2】复数( ). B. C. D.【解析】选C 解法一： 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案.【例4】已知z1，z2为复数，(3i)z1为实数，且|z2|求z2.【思路点拨】可不设代数形式利用整体代换的思想求解.z1z2(2i)，(3i)z1z2(2i)(3i)z2(55i)R，|z2|z2(55i)|50，z2(55i)50，【总结升华】1、(

10、1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)2=2i；i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(nN).2、复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟透i的特点及熟练应用运算技巧。举一反三：【变式1】设，（为虚数单位），则的值为 【解析】因为，所以【答案】8【变式2】设i为虚数单位，则复数A. B. C. D. 【解析】选D. .类型

11、三：复数的几何意义【例5】已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.【思路点拨】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。【解析】 ，解得.的取值范围为.【总结升华】每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。举一反三：【变式1】若所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】：所对应的点在第二象限且，且，故选D【变式2】在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82i C24i D4i【答案】C【

12、解析】复数65i对应的点为A(6,5)，复数23i对应的点为B(2,3)利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为24i.类型四：化复数问题为实数问题【例6】已知互为共轭复数，且,求.【思路点拨】设（）代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得、的两个方程。【解析】设（），则, 代入原等式得：，解得：或或或， 或 或 或。【总结升华】复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究是解决复数问题的常用方法。举一反三：【变式1】已知复数，求实数使【答案】：,

13、, ，解得或【变式2】令,求使方程成立的复数.【答案】：令()，则原方程化为:即， ，解之有或(舍去）当时，复数.【例8】求使关于的方程至少有一个实根的实数.【思路点拨】 根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。【解析】设为方程的一个实根，则有即，解得.【总结升华】设出实根，化虚为实，再利用两复数相等。 举一反三：【变式】已知方程有实根，求实数.【答案】：设实根为, 则,即 ，解得 为所求.【变式2】已知，方程的两根为、，求.【答案】：， 方程的实系数一元二次方程可以用来判定方程有无实根。 (1)当，即时，方程的根、为实数根， 由韦达定理 又 当时，, 当时，. (2)当,即时，方程的根、为虚根。