第一节-引言和牛顿柯特斯公式ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第四章第四章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分本章主要内容：本章主要内容：1、牛顿牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式2、复化求积公式、复化求积公式3、龙贝格求积公式、龙贝格求积公式4、数值微分、数值微分我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物近似计算近似计算 badxxfI)( )( )F aF b但是在许多实际问题经常遇到下列情况：但是在许多实际问题经常遇

2、到下列情况：（1）原函数存在但不能用原函数存在但不能用初等函数初等函数表示；表示； （2）原函数可以用初等函数表示，但原函数可以用初等函数表示，但结构复杂结构复杂； （3）被积函数没有表达式，仅仅是一张被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表函数表。 第一节第一节 引引 言言我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物abab取取左左端点端点矩形矩形近似近似 数值积分的数值积分的思想：思想：分割分割、近似、近似、求和求和取取右右端点端点矩形矩形近似近似( )yf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，

3、为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 数值积分公式的数值积分公式的一般形式一般形式：0( )()()nnkkkIfA f x ( )baf x dx 其中其中011nnaxxxxb 求积求积节点节点求积求积系数系数0 1 , ,kAkn ，仅与仅与求积节点求积节点有关有关求积公式的求积公式的截断误差截断误差或或余项余项：0()( )()nbnkkakRff x dxA f x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物代数精度代数精度的判别方

4、的判别方法法 求积公式的代数精度求积公式的代数精度 如果求积公式如果求积公式0()()nnkkkIfA f x 0()()nnkkkIfA f x 求积公式求积公式 具有具有m次次 代数精度的充要条件是代数精度的充要条件是 为为 时求积公式精确成立，而时求积公式精确成立，而 为为 时求积公式时求积公式 不能成为等式。不能成为等式。( )f x231mxxxx、 、( )f x1mx 定义：定义：定理：定理：对一切不高于对一切不高于m 次的多项式都次的多项式都恒精确成立恒精确成立，而对于某，而对于某个个m+1次多项式次多项式不能精确成立不能精确成立，则称该求积公式具有，则称该求积公式具有m 次代

5、数精度。次代数精度。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0nkkAba 求积系数的求积系数的特征：特征： 求积公式的求积公式的收敛性收敛性和和稳定性稳定性若若0lim()( )nbkkankA f xf x dx 则称求积公式则称求积公式（* *）是收敛的。是收敛的。设设 有有舍入舍入误差误差()kf xk ，实际计算的求积公式为：，实际计算的求积公式为： 0()()nnkkkkIfAf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的

6、猜测没有错：表里边有一个活的生物两者的误差为两者的误差为()()()nnnEfIfIf 00()()nnkkkkkkkAf xA f x 0nkkkA 0nkkkA 0nkkA ()ba 0maxkk n 其中其中00 1(, , )kAkn 求积系数求积系数全为正全为正时，公式是时，公式是稳定稳定的的我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第二节第二节 牛顿牛顿- -柯特斯柯特斯公式公式一、插值型一、插值型求积公式求积公式用被积函数用被积函数 在区间在区间 上的上的插值插值多项式多项式近似代替近似

7、代替 f (x) 计算计算. .( )f x , a b作作n次次拉格朗日拉格朗日插值多项式插值多项式: :设已知函数设已知函数 在节点在节点( )f x01naxxxb 01(),(),()nf xf xf x0( )( ) ()nnkkkLxlx f x ( )( )bbnaaf x dxL x dx 上的函数值上的函数值我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物( )( )bbnaaf x dxLx dx 0( ) ()nbkkaklx f x dx 0()( )nbkkakf xlx dx 0

8、()nkkkA f x 其中其中11( )( )()()bbnkkaaknkx dxAlx dxxxx 插值型插值型求积公式：求积公式：0( )()nnkkkIfA f x 余项余项111()( )( )()!nbnnafRfx dxn 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0()()nnkkkIfA f x 形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有证明：证明：充分性充分性设它是设它是插值型插值型求积公式求积公式21(),nfxxxx , , , ,当当时，时，1101()()()()!nbnn

9、afRfx dxn 即它对所有不超过即它对所有不超过 n 次的多项式精确成立，故至少次的多项式精确成立，故至少有有n 次代数精度。次代数精度。定理：定理：n 次代数精度的充要条件是它是次代数精度的充要条件是它是插值型插值型求积公式。求积公式。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物则对所有不超过则对所有不超过n次的多项式求积公式次的多项式求积公式精确成立精确成立0 1 2( )( ), , ,kf xlxkn 取取0( )()nbkj kjajlx dxA lx 因此求积公式因此求积公式 是是插值型

10、插值型的。的。0()()nnkkkIfA f x kA 必要性必要性设求积公式至少有设求积公式至少有n次代数精度次代数精度我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、二、 牛顿牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公式公式是是插值型插值型求积公式的特殊形式：求积公式的特殊形式：求积节点求积节点 取取等距等距分布：分布： 0nkkx 0 1 2, , , ,kxakh kn bahn 0( )nbbjkkaajkjj kxxAlx dxdxxx 00()()()()()nnjj

11、kathajhd athakhajh xath步长步长我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物00()()nnjj ktj hhdtkj h 001()()()!()!n knnjj kbatj dtknkn ( )()nkkAba C 其中其中001( )()()!()!n knnnkjj kCtj dtknkn 柯特斯柯特斯系数系数0( )( )()()( )nbnknakf x dxbaCf akhIf 牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公式：公式：( )nkC满足：满足：012( )( )( )( )

12、( ) nnnnkn kkkCCC 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物abn = 1时的求积公式时的求积公式1100110()()()()kkkIfA f xA f xA f x 2()( )( )baT ff af b 梯形梯形公式公式1次次代数精度代数精度用用梯形梯形面积近似面积近似( )yf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物abn=2时的求积公式时的求积公式220011220( )

13、()()()()kkkIfA f xA f xA f xA f x 462( )( )()( )baabS ff aff b 3次次代数精度代数精度辛蒲生辛蒲生公式公式用用抛物形抛物形面积近似面积近似( )yf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物abn = 4 时的求积公式时的求积公式20011223344( )()( )()()()IfA f xA f xA f xA f xA f x 73212290()( )()()baC ff af ahf ah 3237()( )f ahf b

14、柯特斯柯特斯公式公式5 次次代数精度代数精度近似近似等于等于曲边梯形的面积曲边梯形的面积( )yf x 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 2()( )( )baT ff af b 梯形梯形公式公式辛蒲生辛蒲生公式公式462( )( )()( )baabS ff aff b 柯特斯柯特斯公式公式 73212290()( )()()baC ff af ahf ah 3237()( )f ahf b 0( )( )()()()nbnknakf x dxbaCf akhIf 牛顿牛顿-柯特斯柯特斯公

15、式：公式：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1 1：分别利用分别利用梯形公式、梯形公式、 辛蒲生辛蒲生公式、公式、 柯特斯柯特斯公式公式计算积分计算积分 的近似值。的近似值。1011Idxx 解：解：1011,( )abf xx 10012()( )( )T fff 110 50 752. 1 0104162()( )( )( )S ffff 0 69444444. 1113703212327190424()( )( )( )( )( )C ffffff0 69317460. 0 69314718.