概率论与数理统计必会ppt课件.ppt-得力文库

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1、1概率论与数理统计总复习一、内容提要二、典型例题2随机试验可能结果基本事件Ai不含任何Ai任何组合iiA事件A不可能必然完备事件组Ai0)(ijiApjiAAiiA等概完备事件组nAPi1)(ni,2 , 1 贝努利试验独立试验概型只有两个可能结果n次重复古典概型条件： n次试验中 A发生k次nkqpCkXPknkkn, 2 , 1pAP)(B由其中m个事件组成公式nmBP)(（一）概念之间的关系（一）概念之间的关系一、一、随机变量与概率随机变量与概率31、运算关系、运算关系包含包含： A 则 B 相等相等： A = B和和：至少有一个发生 AUB积积：同时发生 ABBAABBA且AB

2、SABA、B不相容BAA、B 对立记为AB 差： ABB =SA（二）事件的关系（二）事件的关系4除与一般代数式运算相同的法则以外，注意1）对偶律对偶律 2）其他其他3）独立性独立性事件的独立性是由概率定义的；n个事件的独立性要求:ABABABAB()()ABCAB AC21nn个等式成立。（三）（三）解题方法解题方法1、一般概率、一般概率1）利用两种概型10 古典20 n重贝努利概型2）利用事件间的运算2、运算法则、运算法则AAAAAAA5化为事件的和利用对立事件A、B相互独立分解到完备组中：全概公式利用随机变量及其分布计算。()P AB)()()(ABPBPAP)()(BPAP一

3、般情况AB11P ABP ABP AB 化为事件的积)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情况 1/nkkkP AP B P A B12,nB BB是完备组，62）用乘法公式1）在缩减完备组中计算，方法同 1。3）用贝叶斯公式2 2、条件概率、条件概率)()()/(APABPABP(|)kP BA (1,2, )kn()( )kP ABP A1() (|)nkkkP B P A B() (|)kkP B P A B7一实数值X(i),（一）随机变量的定义（一）随机变量的定义对于随机试验E的每一个可能结果i,的变量，则称实数变量X(i)为一个随机变量，简记为X。注意：注意：1、

4、X 是定义在随机试验结果的集合i 上按试验的不同结果而取不同的值.取值是随机的. 2、在一定的试验下，二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布都唯一地对应着因此X的可以依据我们所关心的结果的数值特征选取 X 所代表的具体意义。3、X 的引入使我们便于研究随机试验的全貌，并使用分析的工具。81、离散型随机变量随机变量 X 的取值可以一一列举（有限或无限）定义定义分布律（分布列分布列）表示法称X 为离散型随机变量离散型随机变量。（二）随机变量的分布及性质（二）随机变量的分布及性质, 2 , 1kpxXPkk公式法列表法nkknkpppppxxxxX2121性质性质, 2 , 10. 1kxXPk

5、nkkp11. 29定义定义对于随机变量X，若存在非负函数xduufxXPxF)()()(，使对任意实数则称X为连续型随机变量连续型随机变量， Xxf为的密度的密度.都有,xf(x)0 x1其图形：.1)(dxxf ,0 xxf(2) 归一性归一性(1) 非负性非负性密度函数的性质密度函数的性质2 2、连续性随机变量、连续性随机变量),()(xxf212121)()() 3(xxxxdxxfxxxP103、分布函数、分布函数)()(xXPxF)(x为X的分布函数. 记作设 X是一个随机变量，称 .xFX定义定义分布函数的性质分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：; 1)(lim)(, 0)

6、(lim)(xFFxFFxx000()lim ( )( ).xxF xF xF x3、右连续性右连续性：对任意实数，2、归一归一性性：若 x1x2, 则 F (x1) F (x2);对任意实数x， 0 F(x) 1，且0 x111）分布函数的值表示了X 落在2）离散型：若分布函数的几点说明分布函数的几点说明)(xF是一个普通的函数，在 )(xFx处),(x内的概率。, 3, 2, 1kpxXPkk xxkkpxFxxkkxXPx由于 xF是X 取的诸值的概率之和，故又称为累积概率函数为累积概率函数. . xF图形特点：图形特点：是一条有跳跃的上升阶梯形曲线。 xF1xkx3x2xxkp

7、3p2p1p1kx123 3） X为连续性随机变量为连续性随机变量f (x)0 xx)(xF 1221)(xFxFxXxP21)(xxtdtf21xx 在的连续点处，xf xFxff (x)x01x2xxdttfxXPxF)()()(133）把Y的分布用表（离散型）或Y的密度（连续性）1、问题：若YX,之间的事件等价关系。关系和分布函数关系。是随机变量，表述出来。其中已知X 的分布，求的分布。2、基本方法4、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布).(XY)(xy是 x的函数。)(XY研究1）由)(XYYX,2）由YX,之间的事件的关系再求YX,之间的分布3、具体讨论14则当若若X的分布律的

8、分布律., 2 , 1nkpxXPkk).(XY)(kkxYyY)(jiyyji)(kkxXyYkkpyYPllkkyxxy)()(当则)()(lkkxXxXyYlklKkppxXPxXPyYP)()(lk 1）离散型离散型 kiyxgikpyYP)()(推广得：15及有关函数表述出来。求)()(yhXyXgyY其为等价的事件).(YhX 将( )F y用 ( )F h y利用求出Y的密度函数。2 2）连续性连续性设 X是一个取值于区间ba,具有概率密度其他0)(bxaxxf的连续型随机变量， XgY )(yf)()(yfyF其他0)()()()(yyhyhyhFyf16性质：性质：（一

9、）二维随机变量（一）二维随机变量（X,Y) 的分布函数的分布函数yx,定义定义对于任意实数二元函数称为二维随机变量（X,Y)的分布函数的联合分布函数。或称为X和Y 三、二维随机变量及其分布三、二维随机变量及其分布,),(yYxXPyxF,1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF2.且yxF,. 1是变量的不减函数。yx,2121yXyxXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，17YX,（二）离散型（二）离散型的所有可能取值为, 2 , 1,),(jiyxji设则jijipyYxXP,2,1,ji和Y的联合分布列联合分布列。),(YX称为二维随机

10、变量的分布列分布列，或随机变量X：性质 10jiijyYxXPp，有：性质 2，对任意的21jiji（非负性）（非负性）（归一性）（归一性）1jijip xxyyijiipyYxXPyxF,),(的联合分布函数为，则YX18二维离散型随机变量的联合分布列二维离散型随机变量的联合分布列下表表示的联合分布列也可以由，YXX Y y1 y2 yj p11 p12 . P1j . p21 p22 . P2j . pi1 pi2 . Pij . .x1 x2xi关于Y的i边缘分布1()PY y()jP Yy关于X的边缘分布j11()p X xp()iip Xxp19（X,Y ) )的边缘分布的边缘分布

11、),(YXjijipyYxXP,2,1,ji1jjiipxXP,2,1i设的分布列为 :),(YXX则则关于关于的边缘分布列为1ijijpyYP,2,1j1jjiipp,2,1i1ijijpp,2,1j),(YXY关于的边缘分布列为：分别记20( (三）连续型三）连续型总有 ),(YX, ),(yxF),(yxfyx, yxdvduvufyxF),(），（的联合概率密度。),(yxfXY),(YX其具有以下性质：定义定义设二维随机变量的分布函数为，对任意实数为的概率密度，或称为随机变量和对于非负可积的函数0),() 1 (yxf（非负性）（非负性）（归一性）（归一性）),(),()3(2yx

12、fyxyxFGdxdyyxfGYXP）（ ,),()4(1),(),()2(Fdyyxfdx21的关于X 和Y 的边缘概率密度。定义定义设),(YX),(yxf是的联合密度函数，则分别是),(YX边缘概率密度边缘概率密度 dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(22均有),(YXyx,yYPxXPyYxXPXY（四）两个随机变量的独立性（四）两个随机变量的独立性若二维随机变量对任意的实数成立，则称随机变量与是相互独立相互独立的。若记yYBxXA且 BPAPABP成立，可见X，Y 相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。判断X，Y 相互独立的办法：,jijiyYPxXPyY

13、xXP)()(),(yfxfyxfYX23),(222121N),(YX其的概率密度为2222212121212)()( )(2)()1 (21221121),(yyxxeyxf 的边缘概率密度分别为YX,21212)(121)(xXexfx22222)(221)(yYeyfy)()(),(yfxfyxfYX024四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征（一）数学期望（一）数学期望 E X定义定义EX1nkkkx pX为离散型X为连续型若)(XYEY1()nkkkxpX为离散型( ) ( )x p x d xX为连续型., 2 , 1nkpxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数

14、为).(xfdxxfx)(25若若（X,Y ) 有联合密度dxxxfdyyxfxdxXEX)(),()(dyyyfdxyxfydyYEY)(),()().,(yxf),(YXZdyyxfyxdxZE),(),()(26期望的性质期望的性质nEXEXEXXXXE2121)(nXXX,211()nkkkEC XbCEC . 1其中 C 为常数。2. 对于任何常数1,2, .kCkn及 b.1()nkkkC E Xnb3. 若相互独立，则27 knkkpEXx12)(定义定义2)(EXXEDX计算公式（二）方差（二）方差., 2 , 1nkpxXPkkX为离散型其分布列为X为连续型其密度函数为)

15、.(xfDXX为离散型X为连续型22)()(EXXEDXDXEXXE22)()(dxxfEXx)()(22812,nXXX2121)(DXDXXXD1()nkkkDC Xb0. 1Dk其中 k 为常数。3. 对于任何常数., 2 , 1nki及 b.21nkkkC DX相互独立，则方差的性质方差的性质DXkkXD2)(. 2DXkbkXD2)(29均匀分布泊松分布二项分布0-1分布参数范围方差均值概率分布名称kkqpkXP1)(. 1 , 0k()kknknP XkCp q., 2 , 1 , 0nk()!keP Xkk., 2 , 1 , 0nkotherbxaabxp01)(npnpq1

16、0 ppq10ppq10 ppq12ba12)(2abba ( (三三) )常用的六个分布常用的六个分布( , )XB n p),(baUX( )X 指数分布000)(xxexpx0121)(EX(1, )XBp30标准正态分布参数范围方差均值概率分布名称01( (三三) )常用的六个分布常用的六个分布) 1 , 0( NX正态分布),(2NX2任意022()21( )2xp xex 221( )2xxex 31称为标准化的随机变量，有2、正态分布随机变量函数的标准化、正态分布随机变量函数的标准化.n. 1knkknqpCkXP )(),(2NX!keknp)1 ,0(2NXX)(x表可查。注

17、意注意32COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),(YXCOV()()ijijijxEXyEY pdxdyyxfEYyEXx,)(),(YXCOV若随机变量 X, Y 为离散型.若随机变量 X, Y 为连续型.协方差协方差DYDXEYYEXXEXY)(DYEYYDXEXXE相关系数相关系数COV( X,Y )E( XY ) EXEY一般计算公式33COV( X,Y )E(XY) EXEY可见，可见，()E XYEX EY存在的必要条件为COV( X,Y ) 0 .即即0),(DYDXYXCovXY定义：定义：若0),(YXCOV可见，若X与Y 独立，(, )0.OVCX Y

18、称称X与与Y不相关。不相关。 D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ) D(X士Y) = D X + DY即即341. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ；3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常数；4. COV( X1+X2 ，Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).二、协方差与相关系数的性质二、协方差与相关系数的性质2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ；COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y )1XY5.5.35),()()(YEXEXYE2 2）, 0),( YX

20、xx之和总可以近似服从正态分布.（二）独立同分布下的中心极限定理（二）独立同分布下的中心极限定理设X1,X2, Xn , 相互独立，且服从同一分布，具有相同的期望和方差., 2 , 12nkXDXEkk则此定理表明此定理表明，无论,21nXXX原来服从什么分布，当n 充分大时，1, 01NnnXnii21,nnNXnii即38lim (1)nYnpPxnppdtext2221（三）棣莫夫拉普拉斯中心极限定理（三）棣莫夫拉普拉斯中心极限定理Y设随机变量10),( ppnB则对任意的，有x x1nkkYX)()(npqnpanpqnpb此定理的常用公式有：kkn kna k bP aYbC p

21、q P Yb1)(2npqnpb39数理统计数理统计一、一、总体和样本总体和样本一个统计问题总有它明确的研究对象.总体总体个体个体总体中每个成员（元素）称为个体.所抽取的部分个体称为样本样本.组成样本的个体称为样品样品。1、样本均值nkkXnX11设nXXX,21是来自总体X的一个样本，2、样本方差nkkXnXn122)(11nkkXXnS122)(11niiXXnSS122)(11样本标准差：40二、极大似然估计法二、极大似然估计法: :nXX,1设是的一个样本值nxx,1);,()(1 nxxLL , );(1Dxpnii),( iixpxXP nXX,1, );(1 niixp ,

22、11nnxXxX 事件发生的概率为为的函数， );(ixp形式已知(如离散型) X的分布列为的联合分布列联合分布列为：为样本的似然函数样本的似然函数。121( ; )(, ) (, )(, ),ninip xp xp xp xD定义定义7.141若总体X属连续型, 其概率密度Dxf),;(的形式已知，为待估参数；则nXX,1的联合密度：niixf1);(1( ,; )( )nL xxL0)( ddL);(xf一般，关于可微，故可由下式求得：0)(lnLdd)()(l LnL与与因此的极大似然估计也可从下式解得：在同一点处取极值。42个参数，若母体的分布中包含多., 1, 0kiLi即可

23、令的极大似然估计值。个方程组求得解kk,1., 1, 0lnkiLi或43,2DXEX则.,) 1 (2nXDXE结论：设为来自总体的一个样本，nXX ,1X任何总体的样本矩都是统计量。.)()2(22SE22)3(PPSXn44的证明都可以在教材上找到.当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理. 这里我们不加证明地叙述.几个定理定理定理 1 (样本均值的分布)设 X1,X2,Xn 是取自正态总体2( ,)XN 则有),(2nNX (0,1)XZNn的样本，n取不同值时样本均值的分布X三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理45(0 , 1),ZNz设满条若足件

24、 z -1,z0 x)(xz1z, 10,12122tdeztzPZ 对于给定的算出1-,查标准正态分布表便可求得.z z 0.05,57. 2,645. 1005. 0z0.950.995 z1.6452.57.z分位点。为标准正态分布的上则称点z 221PZ, 01,2tzzed t46) 1() 1(222nSn设 X1, X2, , Xn 是取自正态总体2( ,)XN 2SX 和分别为样本均值和样本方差, 则有的样本,222) 1(Sn的分布定理定理 2 (样本方差的分布)472分布分布nXXX,212222(1)(1)nSn22分布是由正态分布派生出来的一种分布.定义定义: : 设

25、随机变量相互独立,都服从标准正态分布N(0,1), 则称统计量：所服从的分布为自由度为 n1 的分布.2分布的密度函数为122210( ; )2(2)00nxnxexp x nnx482 分布的分位点对于给定的正数10,称满足条件分位点分位点.分布的上)(2n)()(22nnp)(2n,p x nx来定义.通过积分0,)(01xdttexxt其中伽玛函数其中伽玛函数)(x的点为)(2n49 设 X1, X2 , Xn 是取自正态总体2( ,)XN 的样本,2SX 和分别为样本均值和样本方差, 则有) 1(ntnSXT（与样本均值和样本方差有关的一个分布）定理定理 3 定义定义: 设设XN(

26、0,1) , Y , 且且X与与Y相互相互独立，则称变量独立，则称变量nYXT )(2n所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布. 记为记为T .)(nt50t 分布分布的分位点的分位点对于给定的正数10,称满足条件的点为分位点”。分布的“上)(nt)(nt)(nt)(1nt)(2nt22)(2nt)()(1ntnt( )( )( )tnP Ttnp t dt51四、正态总体均值和方差的区间估计四、正态总体均值和方差的区间估计设nXXX,21为总体),(2NX的样本，2,SX分别是样本均值和样本方差。1 1、已知、已知2 2时，时，的置信区间的置信区间设),(2NX

27、),(2nNX,22unXunX2、未知知2 2时，时，的置信区间的置信区间) 1(2ntnSXT则的置信度为1的置信区间为)1(),1(22ntnSXntnSX) 1 , 0(2NnXU523、方差2 2的置信区间的置信区间2222(1)(1)nSn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn这就是2 2的置信度为1的置信区间置信区间。) 1(22n2 yfx) 1(221n253提出原假设和备择假设第一步：1、已知2 第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布) 1,0(0NnXU第三步：05.001.0查表确定临界值,使|2uUP对给定的显著性水平均值假设检验过程分为五

28、个步骤：0100:HH,(2u),2u或得H0否定域2uk 一、单个正态总体均值的假设检验一、单个正态总体均值的假设检验设总体),(2NX12,.nXXX其样本为54选择假设H1 表示U可能大于0，也可能小于0。这称为双边假设检验。nxU00由于取用的统计量服从 U分布，第五步：判断20|uU则否定H0，接受H120|uU则H0相容，接受H0故称其为U检验法。检验法。0 x)(x22z2z第四步：将样本值代入算出统计量nxxx,21552、未知、未知2 2，均值，均值的的假设检验假设检验未知2，可用样本方差212)(11nkkXXnS代替2检验步骤检验步骤提出原假设和备择假设 0100:HH

29、第一步：第二步：取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布) 1(ntnSXT第三步：01.0查表确定临界值) 1(2nt,使对给定的显著性水平确定H0的否定域。56即“ ”是一个小概率事件 . ) 1(|2ntT)1(,(2nt), ) 1(2nt或由于取用的统计量服从t分布，第四步：得H0否定域将样本值代入算出统计量nxxx,21nSxT00第五步：判断) 1(|20ntT则否定H0，接受H1) 1(|20ntT则H0相容，接受H0故称其为t 检验法。)1(/)1(2/02/ntnSXPnttP57提出假设20212020:HH取统计量).1(2n222) 1(Sn)(22n2 yfx)(

30、221n2当H0成立有)1(22120n)1(2220n或是小概率事件。在显著性水平条件下检验假设20221) 1(n) 1(22n则H0相容。由由上上述述2统统计计量量给给出出的的检检验验方方法法称称为为2检检验验法法二、单个正态总体方差的假设检验二、单个正态总体方差的假设检验58三、两个正态总体均值差的双侧假设检验三、两个正态总体均值差的双侧假设检验59提出原假设和备择假设第一步：第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布第三步：05.001.0查表确定临界值,使对给定的显著性水平假设检验过程分为五个步骤：211210:HH)2(212nntk1212 (2)11XYtt nnSnn

31、22112212(1)(1)2nSnSSnn其中60)2(11|21221nntnnSYXP1212 (2)11XYtt nnSnn第四步：将样本值代入算出统计量222121,;,nnyyyxxx22112212(1)(1)2nSnSSnn其中61第五步：判断则否定H0，接受H1则H0相容，接受H021212(2)11xytnnsnn21212(2)11xytnnsnn62四、两个正态总体方差比的双侧假设检验四、两个正态总体方差比的双侧假设检验63提出原假设和备择假设第一步：第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布第三步：05.001.0查表确定临界值,使对给定的显著性水平假设检验过程

32、分为五个步骤：211210:HH211222(1,1),SFF nnS1212(1,1)Fnn及212(1,1)Fnn2)1, 1()1, 1(212222121212221nnFSSPnnFSSP64第四步：将样本值代入算出统计量nxxx,21211222(1,1),SFF nnS第五步：判断若若 21121222(1,1)sFnns或或 2121222(1,1)sFnns则否定H0，接受H1若若21121221222(1,1)(1,1)sFnnFnns 则H0相容，接受H065 例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如果第一

33、次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。112123AAA AA A A112123( )()()()P AP AP A AP A A A651121121312()()(|)()(|) (|)P AP AP A AP AP A A P A AA0.600.40.80.40.20.90.992123121312( )1( )1()1() (|) (|)P AP AP A A AP A P AA P AA A 1 0.4 0.2 0.10.992 2121(|)1(|)1 0.80.2P AAP AA

34、解：设 Ai= 这人第i次通过考核，i=1,2,3 A= 这人通过考核，亦可：典型例题66例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%，若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差，则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率；(2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 ( )0.80, (|)0.20, (|)0.90P AP B AP B A已知 1 ( )()P BP ABAB66( ) ( | )( ) ( | )P A P B AP A P B A0.8 0.2 0.2 0.9 34 % ()()1682 ( | )( )()()34 17P ABP ABP

35、A BPBP ABP ABABAB与不相容Bayes公式全概率公式()()P ABP AB解：设A=甲出差，B=乙出差6767 例3：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使求k的值。解：2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt1 ( )F xP Xx2 2 ()( )4.53P XkF kk3 使160329cdtdt23c13c010103 0 01 0131 13312 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx0 03 011 3 13(23) /9 361 6xxxxxxx6868例：2(

36、 ,) (0) ( ).YXNYaXb aYfy 设，求的概率密度( )yg xaxb ，3, 04( ) ( )80, YxxXf xYXfy。若，求其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 一般若， ( )0g xa ，( )ybxh ya1( )()YXybfyfaa222()212yabaea22(,)YN ab a13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy解：例：解：69例设随机变量的概率密度为),(YX其它, 0, 42 , 20),6(),(y

37、xyxkyxf（1）确定常数；（2）求；（3）求；（4）求k3, 1 YXP5.1XP4YXP70解：（1）由得 , 1),(dxdyyxfdyxxxxykdxyxkdy02216)6(14220422kyykdyyk824)10()2212(4228/1k 所以：dxyxdyYXP)6(813, 13210（2）dyy32211818371dxyxdyXP)6(815 . 1425 . 10（3）3227238638142dyyGdxdyyxfGYXYXP),(),(4dxyxdyy)6(8142403224)4 (61)4 (8132yy（4）在的区域：上作直线，并记则0)

38、,(yxf42 , 20yxR,42 , 20:xyxG4 yx72例例设二维随机变量设二维随机变量(X ，Y )的密度函数为的密度函数为2221( , )2xyf x ye试求随机变量试求随机变量 Z=X /Y 的密度函数的密度函数.解解由公式由公式( )(, )d .Xf zy fyz yy22(1)21( )2zyZfzyedy2222(1)(1)02201122zyzyyedyyedy732222(1)(1)022012zyzyyedyyedy0201121tte dte dtz22(1)2zyt令22121.21(1)zz74例设是相互独立的随机变量，证明YX,),(),(21p

39、nbYpnbX).,(21pnnbYXZ证：因故),(),(21pnbYpnbX, 2 , 1 , 0,)1 ()(111nkppknkXPkpknk, 2 , 1 , 0,)1 ()(222nkppknkYPkqknk而可能取的值为且相互独立，故YXZ, 2 , 1 , 021nn YX,kinkiknkikppkinppkniZP21)1 ()1 (201inniikppkinkn21)1(0212121, 2 , 1 , 0,)1 (21nnippinninni).,(21pnnbZ故：75(, )( , ) 02, 01,( ).X YGx yxyXYSf s设随机变量在矩形上

40、服从均匀分布试求边长为和的矩形面积的概率密度解解的概率密度为的概率密度为由题设知二维随机变量由题设知二维随机变量),(YX .),(, 0,),(,21),(GyxGyxyxf若若若若,)(,的分布函数的分布函数为为设设SsSPsFYXS ,0 时时则当则当 s, 0)( sXYPsF 例例76,2时时当当 s, 1)( sXYPsF,20时时当当 s)(sXYPsSPsF 1sXYP yxyxfsxydd),(1 yxxssd21d112 . )ln2ln1(2ss ., 0, 20),ln2(ln21)(其他其他故故sssf7778.,),(),(222的概率分布试求相互独立且设例n

41、YXTYXnYNX得得由定理由定理独立独立与与则则独立独立且且又又所以所以因为因为解解7 . 5,),() 1 , 0(),(2222YXYXnYNXNX)(/ )/(/ )(2ntnYXnYXT 79则统计量的样本，来自总体设例), 0(,24321NXXXX?的分布为的分布为242321XXXXT),(),(10220221221NXXNXX于是于是解解)2(),1 , 0(22242232423 XXNXX于是于是独立同分布于独立同分布于与与80)(22222423221tXXXXt分布的定义分布的定义由由)(2242321tXXXX即即81X 例例设总体设总体的分布密度为的分布密度

42、为xexp 21);() 0,(x 为总体为总体的样本的样本,求参数求参数的矩估的矩估计量计量.),(21nXXXX 解：由于解：由于只含有一个未知参数只含有一个未知参数，一般，一般只需求出只需求出便能得到便能得到的矩估计量，但是的矩估计量，但是);(xp)(XE021);()(dxexdxxxpXEx82 即即不含有不含有 ,故不能由此得到故不能由此得到的矩估的矩估计量计量.为此为此, 求求)(XEdxexdxxpxXEx|21222);()(20212dxexx 故令故令 21221niiXnniinX1221于是解得于是解得的矩估计量为的矩估计量为 83惊人的预测惊人的预测84惊人的预测惊人的预测85惊人的预测惊人的预测86惊人的预测惊人的预测87谢谢谢谢

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