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八年级阅读理解题专项练习
1.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90.若△BOC的面积为1, 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.
A
D
C
O
B
E
B
O
C
D
A
图1 图2
小明是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图2).
I
H
G
F
A
B
C
D
E
请你回答:图2中△BCE的面积等于 .
请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题:
如图3,已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形
ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长
度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为
三边长的三角形的面积等于 .
图3
解:△BCE的面积等于 2 ………1分
(1)如图(答案不唯一)…2分
以EG、FH、ID的长度为三边长的
一个三角形是△EGM . …………3分
(2) 以EG、FH、ID的长度为三边长的三角
形的面积等于 3 . …………5分
2.定义:到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1,,,则点就是四边形的准内点.
(1)如图2,与的角平分线相交于点.
求证:点是四边形的准内点.
第12题图
(2)分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点(作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明).
3.如图所示,圆圈内分别标有1,2,…,12,这12个数字,电子跳蚤每跳一步,可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈,若电子跳蚤所在圆圈的数字为,则电子跳蚤连续跳()步作为一次跳跃,例如:电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳步到标有数字2的圆圈内,完成一次跳跃,第二次则要连续跳步到达标有数字6的圆圈,…依此规律,若电子跳蚤从①开始,那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ;第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 .
4.△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,
若<∠PBC<180,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA,
(1)当BP与BA重合时(如图1),∠BPD= ;
(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;
(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形.
5.请阅读下列材料:
已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB = AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90,得到△ABE′,连结E′D,
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数
量关系式,并对你的猜想给予证明;
图(1)
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线
段CB延长线上时,如图(2),其它条件
不变,(1)中探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明. 图(2)
6.(石景山二)25.(1)如图1,四边形中,,,,请你 猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,四边形中,,,若点为四边形
内一点,且,请你猜想线段、、之和与线段的
图2
数量关系,并证明你的结论.
图1
7.问题:如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数.
小娜同学的想法是:不妨设PA=1, PB=2,PC=3,设法把PA、PB、PC相对集中,于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90得到△BAE(如图2),然后连结PE,问题得以解决.
请你回答:图2中∠APB的度数为 .
请你参考小娜同学的思路,解决下列问题:
如图3,P是等边三角形ABC内一点,已知∠APB=115,∠BPC=125.
(1)在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 .
图1 图2 图3
8.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:如图1,在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。
小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解(如图2).
请你回答:AP的最大值是 .
参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,等腰Rt△ABC.边AB=4,P为△ABC内部一点,
则AP+BP+CP的最小值是 .(结果可以不化简)
9.如图,在△ABC中,,M是AB的中点,动点P从点A出发,沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动到终点B。已知P,Q两点同时出发,并同时到达终点,连结MP,MQ,PQ。在整个运动过程中,△MPQ的面积大小变化情况是( )
A. 一直增大 B.一直减小
C. 先减小后增大 D.先增大后减少
10. (2012山东省青岛市,23,10)(10分)问题提出:以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点为顶点,可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形?
问题探究:为了解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手:
探究一:以△ABC的三个顶点和它内部的一个点P,共4个点为顶点,可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形?
如图①,显然,此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形.
探究二:以△ABC的三个顶点和它内部的2个点P、Q,共5个点为顶点,可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形?
在探究一的基础上,我们可看作在图①△ABC的内部,再添加1个点Q,那么点Q的位置会有两种情况:
一种情况,点Q在图①分割成的某个小三角形内部,不妨假设点Q在△PAC内部,如图②;
另一种情况,点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上,不妨假设点Q在PA上,如图③;
显然,不管哪种情况,都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形.
探究三:以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R,共6个点为顶点可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形,并在图④画出一种分割示意图.
探究四:以△ABC的三个顶点和它内部的m个点,共(m+3)个顶点可把△ABC分割成
个互不重叠的小三角形。
探究拓展:以四边形的4个顶点和它内部的m个点,共(m+4)个顶点,可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形。
问题解决:以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个顶点,可把△ABC分割成 个互不重叠的小三角形。
实际应用:以八边形的8个顶点和它内部的2012个点,共2020个点,可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形?(要求列式计算)
23. 【解析】观察图形发现:内部每多一个点,则多2个三角形,从而得到一般规律为n+2(m-1)或2m+n-2.根据根据规律逐一解答.
【答案】探究三:7
分割示意图.(答案不唯一).
探究四:3+2(m-1)或2m+1
探究拓展:4+2(m-1)或2m+2
问题解决:n+2(m-1)或2m+n-2
实际应用:把n=8,m=2012代入上述代数式,得2m+n-2=22012+8-2=4024+8-2=4030.
【点评】本题考查规律型中的图形变化问题,解题关键是结合图形,探寻其规律,发现规律才能顺利解题,体现特殊到一般的数学思想.
11.在由mn(mn>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,
(1)当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
4
7
3
5
7
猜想:当m、n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是______________________________(不需要证明);
解:
(2)当m、n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立,
17:解析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m、n的关系式.
(2)根据题意,画出当m、n不互质时,结论不成立的反例即可.
解:(1)如表:
1
2
3
2
1
3
4
3
2
3
5
4
2
4
7
6
3
5
7
6
f=m+n-1
(2)当m、n不互质时,上述结论不成立,如图24
24
点评:本题是操作探究题,根据操作规则得出数据,并归纳总结其中规律,对于错误结论的证明,只要举出反例即可.
12.操作与探究:
(1)对数轴上的点进行如下操作:先把点表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点的对应点.
点在数轴上,对线段上的每个点进行上述操作后得到线段,其中点的对应点分别为.如图1,若点表示的数是,则点表示的数是 ;若点表示的数是2,则点表示的数是 ;已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合,则点表示的数是 ;
(2)如图2,在平面直角坐标系中,对正方形及其内部的每个点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数,将得到的点先向右平移个单位,再向上平移个单位(),得到正方形及其内部的点,其中点的对应点分别为。已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合,求点的坐标。
【解析】(1)–3+1=0;设B点表示的数为a,a+1=2,a=3;设点E表示的数为a, a+1=a,解得a=
(2)由点A到A’,可得方程组;由B到B’,可得方程组,解得,设F点的坐标为(x,y),点F’与点F重合得到方程组,解得,即F(1,4)
【答案】(1)0,3, (2)F(1,4)
【点评】本题考查了根据给出的条件列出方程或方程组,并解方程组的知识。
13.如图,长方形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图:
第一步:如图①,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用);
第二步:如图②,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分;
第三步:如图③,将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片.
(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为________cm,最大值为________cm.
解析:通过操作,我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形,其上下两条边的长度等于原来矩形的边AD=6,左右两边的长等于线段MN的长,当MN垂直于BC时,其长度最短,等于原来矩形的边AB的一半,等于4,于是这个平行四边形的周长的最小值为2(6+4)=20;当点E与点A重合,点M与点G重合,点N与点C重合时,线段MN最长,等于,此时,这个四边形的周长最大,其值为2(6+)=12+。
答案:20;12+.
点评:本题需要较好的空间想象能力和探究能力,解题时可以边操作边探究。将最终的四边形的一周的线段分成长度不变的和可以变化的,然后研究变化的边相关的边的变化范围,这是一种转化思想。
14.邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作,在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第二次操作,……依次类推,若第n次余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图1,□ABCD中,若AB=1,BC=2,则□ABCD为1阶准菱形.
(1)判断现推理:
①邻边长分别为2和3的平行四边形是____阶准菱形;
②小明为了得剪去一个菱形,进行如下操作:如图2,把□ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点落在边上的点F,,得到四边形,请证明四边形是菱形.
(2)操作、探究、计算:
①已知的边长分别为1,a(a﹥1)且是3阶准菱形,请画出□ABCD及裁剪线的示意图,并在下方写出的a值
②已知□ABCD的邻边长分别为a,b(a﹥b),满足a=6b+r,b=5r,请写出□ABCD是几阶准菱形
【解析】(1)①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形,即可得出答案;②根据平行四边形的性质得出AE∥BF,进而得出AE=BF,即可得出答案;(2)①如图所示:
②∵a=6b+r,b=5r,∴a=65r+r=31r;
如图所示:故□ABCD是10阶准菱形.
(2)①利用3阶准菱形的定义,即可得出答案;②根据a=6b+r,b=5r,用r表示出各边长,进而利用图形得出□ABCD是几阶准菱形.
【答案】(1) ①2,②由折叠知:∠ABE=∠FBE,AB=BF
∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥BF
∴∠AEB=∠FBE,∴∠AEB=∠ABE,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴四边形ABFE是菱形,
(2)a=4,a=,a=,a=.(图同解析)
【点评】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定,根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键.
15.如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;…;设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn-1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),则AP6的长为( )
第1次折叠 第2次折叠 第3次折叠
第7题图
A. B. C. D.
【解析】先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度,然后可发现规律推出ADn的表达式,继而根据APn=ADn即可得出APn的表达式,也可得出AP6的长.
【答案】
【点评】此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律,注意培养自己的归纳总结能力.难度中等.
16.右图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:= .
考点:数学归纳法,规律探索题
【解析】当时:
当时:
当时:
猜想:=
【点评】在求解规律探索问题时,常常通过特殊到一般,通过特殊值时的结论,总结一般的结论。
17.观察图形,解答问题:
y
x
(1)按下表已填写的形式填写表中的空格:
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1(-1)2=-2
(-3)(-4)(-5)=-60
三个角上三个数的和
1+(-1)+2=2
(-3)+(-4)+(-5)=-12
积与和的商
-22=-1,
(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.
【解析】⑴模仿图①中的第三格(三个角上三个数的积与三个角上三个数的和的商)图②的第三格:(-60)(-12)=5图③的第三格17010=17,模仿前面的得到图③的第一格(三个角上三个数的积)(-2)(―5)17=170第二格(三个角上三个数的和)(-2)+(―5)+17=10;
(2)发现的规律是:中间的数 所以图④
图⑤中: 解之得:
【答案】解: ⑴图②:(-60)(-12)=5 ……………………………………………1分
图③:(-2)(―5)17=170,………………………………………2分
(-2)+(―5)+17=10, ………………………………………3分
17010=17 . ………………………………………4分
⑵图④:5(―8)(―9)=360……………………………………………5分
5+(―8)+(―9)=-17……………………………………………6分
y=360(-12)=-30.……………………………………………7分
图⑤:, ……………………………………………9分
解得 ……………………………………………10分
【点评】本题主要考查考生对所给图形的观察、理解和模仿能力,同时也考查了有理数的加减乘除运算能力。难度中等.
18.某班级为筹备运动会,准备用365元购买两种运动服,其中甲种运动服20元/套,乙种运动服35元/套,在钱都用尽的条件下,有 ▲ 种购买方案.
【答案】2。
【考点】二元一次方程(不定方程)的应用。
【分析】设甲种运动服买套,乙种买套钱都用尽,根据题意列出方程:20+35=365得=,根据,必须为整数,化为=。要使为整数,要被4整除。同时考虑到35≤365,即≤10,所以只能取3,7。故在钱都用尽的条件下,有2种购买方案:甲种运动服买13套,乙种买3套;甲种运动服买6套,乙种买7套。
19.两个全等的梯形纸片如图(1)摆放,将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图(2).已知AD=4,BC=8,若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的,则图(2)中平移距离A′A= ▲ .
【答案】3。
【考点】平移的性质,一元一次方程的应用(几何问题)。
【分析】设A′A=x,则根据平移的性质,得A′D=4+x,B′C=8+x,AD′=6-x,BC′=8-x。
设梯形的高为a,四边形A′B′CD的面积为,阴影部分的面积为。
由阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的,得,解得x=3。
20.一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30,∠B=90,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= ▲ 米时,有DC2=AE2+BC2.
【答案】。
【考点】一元二次方程的应用,含30度角直角三角形的性质,勾股定理。
【分析】根据已知,∵坡角∠A=30,∠B=90,BC=6米,∴AC=12米。∵正方形DEFH的边长为2米,即DE=2米,设AE=,可得EC=12﹣,利用勾股定理得出DC2=DE2+EC2=4+(12﹣)2,AE2+BC2=2+36,∵DC2=AE2+BC2,∴4+(12﹣)2=2+36,解得:米。
21.(2011辽宁营口14分)已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P的运动而运动,PE=PD总成立.
(1)如图(1),当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明);
(2)如图(2),当点P运动到CA的延长线上时,(1)中猜想的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如图(3),当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系?(直接写出结论不必证明)
(1) (2) (3)
【答案】解:(1)①PE=PB,②PE⊥PB。
(2) (1)中的结论成立。证明如下:
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,∴CD=CB,∠ACD=∠ACB。
又PC=PC,∴△PDC≌△PBC(SAS)。∴PD=PB。
∵PE=PD,∴PE=PB。
②由①△PDC≌△PBC,得∠PDC=∠PBC。
又∵PE=PD,∴∠PDE=∠PED。∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180。
∴∠EPB=360-(∠PEC+∠PBC+∠DCB)=90。∴PE⊥PB。
(3)画出图形,结论:①PE=PB,②PE⊥PB。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,多边形内角和定理,三角形外角定理。
【分析】(1) ①由△PDC≌△PBC(SAS)和PE=PD可得PE=PB。
②∠BPE=∠BPC+∠CPE=∠DPC+∠CPE(全等三角形对应角相等)
=∠DPC+∠DPC-∠DPE=2∠DPC-∠DPE
=2∠DPC-(1800-2∠PDE)(三角形内角和定理和等腰三角形底角相等)
=2(∠DPC+∠PDE)-1800
=2(1800-∠PCD)-1800(三角形内角和定理)
=2(1800-450)-1800(正方形的性质)=90。
∴PE⊥PB。
(2)①由△PDC≌△PBC(SAS)和PE=PD可得PE=PB。
②由四边形内角和为3600可证。
(3)①由△PDC≌△PBC(SAS)和PE=PD可得PE=PB。
②∠BPE=∠CPE-∠CPB=(1800-450-∠CEP)-(450-∠CBP)=90。∴PE⊥PB。
A
C
P
D
B
E
G
F
22.已知线段AB=6,C、D是AB上两点,且AC=DB=1,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为________.
解答:解:如图,分别延长AE、BF交于点H.
∵∠A=∠FPB=60,
∴AH∥PF,
∵∠B=∠EPA=60,
∴BH∥PE,
∴四边形EPFH为平行四边形,
∴EF与HP互相平分.
∵G为EF的中点,
∴G也正好为PH中点,即在P的运动过程中,G始终为PH的中点,所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN.
∵CD=6﹣1﹣1=4,
∴MN=2,即G的移动路径长为2.
故答案为2.
23.探究:如图①,在ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE,
∠FAB=∠EAD=90,连接AC、EF.在图中找一个与△FAE全等的三角形,并加以证明.
应用:以ABCD的四条边为边,在其形外分别作正方形,如图②,连结EF、GH、IJ、KL.若ABCD
的面积为5,则图中阴影部分四个三角形的面积和为 .
【答案】探究:△FAE≌△CDA,证明如下:
在平行四边形ABCD中,AB=CD,∠BAD+∠ADC=180。
等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中,AF=AB,AE=AD,∠FAB=∠EAD=90,
∴∠FAE+∠BAD=180。∴∠FAE=∠ADC。∴△FAE≌△CDA(SAS)
应用:10。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,平行四边形的性质。
【分析】首先由SAS可证明△FAE≌△CDA,则阴影部分四个三角形的面积和是ABCD的面积的2倍,据此即可求解:四个三角形的面积和为25=10。
24.如图,点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点,且BE=BC,AB=3,BC=4,点P为直线EC上的一点,且PQ⊥BC于点Q,PR⊥BD于点R。
(1)如图1,当点P为线段EC中点时,易证:PR+PQ=(不需证明)。
(2)如图2,当点P为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的
结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由。
(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的
数量关系?请直接写出你的猜想。
【答案】解:(2) 图2中结论PR+PQ=仍成立。证明如下:
连接BP, 过C点作CK⊥BD于点K。
∵四边形ABCD为矩形,∴∠BCD=90。
又∵CD=AB=3,BC=4
∴BD=。
∵S△BCD=BCCD=BDCK,∴34=5CK。∴CK=。
∵S△BCE=BECK,S△BEP=PRBE,S△BCP =PQBC,且 S△BCE= S△BEP+S△BCP,
∴BECK=PRBE+PQBC 。
又∵BE=BC,∴CK=PR+PQ。∴CK=PR+PQ。
又∵CK=,∴PR+PQ= 。
(3) 图3中的结论是PR-PQ=
【考点】矩形的性质,三角形的面积,勾股定理,等量代换。
【分析】(2)连接BP,过C点作CK⊥BD于点K。根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长,根据三角形面积相等可求出CK的长,最后通过等量代换即可证明。
(3)图3中的结论是PR-PQ= 。如图,同(2)有CK=。
∵S△BCE=BECK,S△BEP=PRBE,S△BCP =PQBC,
且 S△BCE= S△BEP-S△BCP,
∴BECK=PRBE-PQBC 。
又∵BE=BC,∴CK=PR-PQ。∴CK=PR-PQ。
又∵CK=,∴PR-PQ= 。
15.(2011黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西8分)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证EG=CG且EG⊥CG.
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想.
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明.
【答案】解:(1) EG=CG,EG⊥CG。
(2)EG=CG,EG⊥CG。证明如下:
延长FE交DC延长线于M,连MG.
∵∠AEM=90,∠EBC=90,∠BCM=90,
∴四边形BEMC是矩形。∴BE=CM,∠EMC=90。
又∵BE=EF,∴EF=CM。
∵∠EMC=90,FG=DG,∴MG= FD=FG。
∵BC=EM,BC=CD,∴EM=CD。
∵EF=CM,∴FM=DM。∴∠F=45。
又∵FG=DG,∠CMG= ∠EMC=45,∴∠F=∠GMC。
又∵FG=MG,∴△GFE≌△GMC(SAS)。∴EG=CG,∠FGE=∠MGC。
∵∠FMC=90,MF=MD,FG=DG,∴MG⊥FD。∴∠FGE+∠EGM=90。
∴∠MGC+∠EGM=90。即∠EGC=90。∴EG⊥CG。
【考点】正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】从图(1)中寻找证明结论的思路:延长FE交DC延长线于M,连MG.构造出△GFE≌△GMC.易得结论;在图(2)、(3)中借鉴此解法证明。
25.如图(1) ,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE,它的面积为1,取△ABC和△DEF各边中点,连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如图(2)中阴影部分;取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点,连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2,如图(3) 中阴影部分;如此下去…,则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .
【答案】
26.等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
求证;等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多。
已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,BC上任意点D,DE⊥AB,DF⊥AC,BH⊥AC
求证: DE+DF=BH
证法一:
连接AD
则△ABC的面积=AB*DE/2+AC*DF/2=(DE+DF)*AC/2
而△ABC的面积=BH*AC/2
所以:DE+DF=BH
即:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二:
作DG⊥BH,垂足为G
因为DG⊥BH,DF⊥AC,BH⊥AC
所以四边形DGHF是矩形
所以GH=DF
因为AB=AC
所以∠EBD=∠C
因为GD//AC
所以∠GDB=∠C
所以∠EBD=∠GDB
又因为BD=BD
所以△BDE≌△DBG(ASA)
所以DE=BG
所以DE+DF=BG+GH=BH
证法三:
提示:
过B作直线DF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用三角函数也能进行证明
如果D在BC或CB的延长线上,有下列结论:|DE-DF|=BH
问题:这个问题的另外一个表达形式:将此结论推广到等边三角形:等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。
如果点在三角形外部,结论形式有所不同,道理是一样的
如图,已知等边三角形ABC和点P,设点P到三角形ABC三边AB\AC\BC(或其延长线)的距离分别为h1、h2、h3,三角形ABC的高为h。
解答提示:
如图,过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H,作HQ⊥AG
先证明PD+PE=HQ
(见:)
而HQ=AN,FP=MN
所以PD+PE-PF
=AN-PF
=AM+MN-PF
=AM
即h1+h2-h3=h
另外一个变式问题:
已知:如图,在△ABC中,∠C=90,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F。
(1)当∠A=30时,求证:PE+PF=BC
(2)当∠A≠30(∠A<∠ABC)时,试问以上结论是否依然正确?如果正确,请加以证明:如果不正确,请说明理由。
腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=
解:
作底边BC上的高AM,设腰上的高=h,连接PA
因为AB=AC=5,BC=6
所以BM=CM=3
所以根据勾股定理得AM=4
因为S△ABC=BC*AM/2=AB*h/2=12
所以h=24/5
因为S△ABC=S△ABP+S△ACP
=AB*PD/2+AC*PE/2
所以5*PD/2+5*PE/2=12
所以PD+PE=24/5
如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两天边长AB/BC分别为8和15,求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。
解:
设AC、BD交于O,作AE⊥BD,PM⊥AC,PN⊥BD,连接OP
因为AB=8,BC=AD=15
所以根据勾股定理得BD=17
因为S△ABC=AB*AD/2=AE*BD/2
所以可得AE=120/17
因为四边形ABCD是矩形
所以OA=OD
因为S△OAD=S△OPA+S△OPD
=OA*PM/2+OD*PN/2
=(PM+PN)*OD/2
S△OAD=AE*OD/2
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