2019秋高三数学上学期期末试题汇编：16.平面向量的数量积及其应用 1 .doc

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1、（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）7.设，若，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cos， 可得结果.【详解】由（1，），（1，0），则（1+k，），由，则0，即k+10，即k1，即（0，），设与的夹角为，则cos，又0，所以，故选：A【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）14.边长为6的正三角形中，点满足，则的值为_【答案】30【解析】【分析】本道题利用向量表示,结合向量运算,即可.【

2、详解】,所以【点睛】本道题考查了向量的线性运算,难度较小.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）11.中，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用向量数量积的运算，求得的大小，由余弦定理计算的长度，由此判断三角形为直角三角形.利用向量加法的平行四边形法则，判断点的位置，从而确定取得最大值时点的位置，由此计算出的长.【详解】依题意，.由余弦定理得，故，三角形为直角三角形.设，过作，交于，过作，交于.由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，点位于线段上，由图可

3、知最长时为.由于，所以.所以.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理解三角形，考查平面向量加法的平行四边形法则，综合性较强，属于中档题.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）14.已知向量 ()，则夹角的余弦值为_ .【答案】【解析】【分析】设，根据向量共线和向量垂直的条件得到的值，进而得到向量的坐标，然后可求出夹角的余弦值【详解】设，则，()，即又，,由，解得，设的夹角为，则，即夹角的余弦值为故答案为【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量的坐标是关键，同时也考

4、查转化和计算能力，属于基础题（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）5.设是互相垂直的单位向量，且（）（2），则实数的值是（ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出【详解】依题意，有：ab1，且ab0，又（ab）（a2b），所以，（ab）（a2b）0，即a22b2（21）ab0，即20，所以，2故选B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）14.已知向量，满足，则向量在方向上的投影为_【

5、答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出，再代入投影公式计算【详解】解：，在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查投影的计算公式，属于基础题（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）7.在中，且是的外心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，分别计算出B,A,O坐标，代入，结合向量数量积坐标表示，即可。【详解】建立坐标系，以C为原点，,则所以，故选D。【点睛】本道题考查了向量数量积坐标表示，难度中等。（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）10.在中，且是的外心，则 （ ）A. 16

6、B. 32 C. -16 D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）13.已知向量，向量，若，则向量与的夹角为_【答案】 【解析】【分析】由向量的夹角公式可得，从而可得夹角.【详解】，则向量的夹角为.【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题型.（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）5.已知，且，则向量与向量的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B

7、【解析】【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解【详解】 ，即：又， 向量与向量的夹角的余弦为，向量与向量的夹角为：故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）16.已知两个单位向量，的夹角为，若，则_【答案】4【解析】【分析】由向量的数量积运算得t（2t）0，即t（2t）20，又|1，且，代入可计算得解【详解】因为t（2t），当0，则t（2t）0，即t（2t）20，又|cos60，|1，所以2t0，解得：t4，故答案为：4【点睛】本题考查了向量的

8、数量积运算，考查了运算能力，属于简单题（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）11.圆 ：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，可知，设的坐标为，根据向量的关系列方程求解即可。【详解】由题意知，设的坐标为,则,因为，所以，即，又，联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.故答案为B.【点睛】本题考查了单位圆的性质，考查了向量的坐标表示，向量的数量积，考查了方程思想，属于基础题。（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）8.在中，为的中点，则（ ）A. B

9、. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，求得，代入计算，即可求解.【详解】由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，可得，故选B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中利用平面向量的基本定理，转化为向量和是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）6.设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（ ）A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A【解析】【分析】用表示,在利用向量数量积的运算，求得的值.【详解】 ，故选A.【点睛】本

10、小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题.（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）3.下列命题中是假命题的是（ ）A. ，函数都不是偶函数B. ，C. ，使D. 若向量，则在方向上的投影为2【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等对四个选项逐一进行判断，可以得到正确的结论【详解】选项A,当时，f（x）sin（2x+）cos2x是偶函数，故A错误；选项B,由0，可得sin、tan都是正实数,设f（）=-sin，求导f（）=1-cos0,f（）=-sin在（0，）上是增函数，则有f（

11、）=-sinf（0）=0，即sin同理，令g（）=tan-，则g（）=,所以，g（）=tan-在（0，）上也是增函数，有g（）=tan-g（0）=0，即tan综上，当（0，）时，sintan故B正确；选项C，当0时，sin0，cos（+）cos=cos+sin，故C正确；选项D,根据向量数量积的几何意义知，向量在上的投影为，故D正确；故选：A.【点睛】本题考查正弦函数的奇偶性，单调性，向量投影概念等知识的综合考查，属于基础试题（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）12.设，是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则以下结论恒成立的结论个数为（ ）；直线过定点；到直线的距

12、离不大于1.A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意，根向量的运算，求得，得到，再根据向量的模的计算公式，化简得到正确；直线的斜率求得直线方程，可判定直线不一定过点，错误；利用点到直线的距离公式，可判定正确，即可得到答案.【详解】设， ，正确；直线的斜率，方程为，过定点，错误；原点到直线：的距离，正确故选C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积和向量模的运算，以直线的方程及点到直线的距离公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用向量的运算公式和直线方程的相关知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.（广东省广州市天河区

13、2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）7.在中，则( )A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得：，展开得：，又因为，所以可得：，因为所以 .故本题正确答案为（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）14.已知向量，则在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】先求出， ，再代入向量的投影公式计算即可【详解】因为-1 ， ， 向量在向量方向上的投影 故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积和模长及投影公式，属于基础题（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）16.在ABC中，AB5，AC3，BAC60，点D是BC的中点，E是

14、线段AD的中点，则BE_【答案】【解析】【分析】运用向量数量积的定义和中点向量表示，以及向量数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算可得所求值【详解】AB5，AC3，BAC60，得53，D是边BC的中点，（），E是线段AD的中点，（），又（），代入中得到，平方得=，BE=，故答案为.【点睛】本题考查向量中点表示，以及向量数量积的运算和应用，考查了向量法解决几何问题的方法，考查运算能力，属于中档题（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）4.设向量，若与垂直，则实数k的值等于（ ）A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】B【解析】分析：由两个向量垂直得向量的数量积为

15、0，利用向量的坐标表示计算即可.详解：向量，则若与垂直，则.解得.故选B.点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）13.已知向量，若，则 _【答案】0【解析】【分析】可求出，根据即可得出，这样进行数量积的坐标运算即可求出x【详解】；解得故答案为：0【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）3.已知向量，若，则的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A.【点睛】求平面向

16、量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）11.在锐角三角形中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数基本关系可得，结合两角和差正余弦公式可知 ，利用余弦定理可得，最后利用平面向量数量积的定义求解数量积即可.【详解】由同角三角函数基本关系可得，则 ，由余弦定理可得,则，结合平面向量数量积的定义可得：.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算

17、律的应用（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）7.如图，在中，若在边AC上存在点D，使成立，则（ ）A. B. 12C. D. 8【答案】D【解析】 ,选D（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）13.已知向量与的夹角为，则_【答案】1【解析】【分析】根据题意，设|t，（t0），由数量积的计算公式可得，进而由|，平方可得9+3t+t213，解得t的值，即可得答案【详解】根据题意，设|t，（t0），向量与的夹角为60，|3，则，又由|，则（）22+229+3t+t213，变形可得：t2+3t40，解可得t4或1，又由t0，则t1；故答案为1【点睛】本题考查向量数量积

18、的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）9.已知扇形，扇形半径为，是弧上一点，若，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.【详解】由，两边同时平方得=，则有3=4+1+2=5+22cos，cos，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）13.已知，则向量与夹角的正弦值为_【答案】【解析】

19、【分析】由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值，然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可.【详解】，【点睛】本题主要考查平面向量的夹角，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）13.已知向量，则向量在上的投影为_.【答案】【解析】【分析】求出利用投影公式计算即可.【详解】，则向量在上的投影为故答案为【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）15.已知的两个单位向量，且，则_.【答案】1【解

20、析】【分析】由题意，向量的两个单位向量，且，求得两向量的夹角满足，再由模的计算公式和向量的数量积的公式，即可求解.【详解】由题意，向量的两个单位向量，且，则，所以，所以.【点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）9.在中，是所在平面上的一点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据题

21、意，用表示出，然后再利用数量积的运算求得结果即可.【详解】由题可知， 所以 故选A【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理和数量积的运算，易错在于用表示出，属于较为基础题.（山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）13.已知向量与满足，则则与的夹角为_。【答案】【解析】试题分析:有题意得，考点：求平面向量的夹角.【此处有视频，请去附件查看】（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）13.已知平面向量与的夹角为，且，若，则_【答案】 1【解析】【分析】由已知求出的值，再由（m），得（m）=0，展开后得答案【详解】向量与的夹角为1

22、20，且|=2，|=4，又（m），（m）=，解得m=1故答案为：1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是基础题（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）13.已知向量满足,且,则向量与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】由向量夹角公式求得向量夹角的余弦，结合向量夹角的范围，即可得解.【详解】由题cos, ,所以故答案为【点睛】本题考查向量夹角公式，准确计算是关键，是基础题.（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）6.已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求

23、出，再根据投影的定义可得所求结果【详解】=2，=5，向量与的夹角为，在方向上的投影为故选B【点睛】解答本题的关键利用投影的定义求解，其中先求出两个向量的数量积是必须的步骤，考查数量积的定义和数量积的运算，属于基础题（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）6.两个非零向量满足，则向量与夹角为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平方，将已知等式平方，可得，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角.【详解】两个非零向量，满足，两边平方可得，化简得，则，由，可得向量与夹角为，故选A.【点睛】本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角，考查了学生的计算能力，属于中档题.