12第12章弯曲应力.ppt

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1、 第一节第一节 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力 第二节第二节 梁弯曲时的应力强度条件梁弯曲时的应力强度条件 第三节第三节 梁弯曲时截面上的切应力梁弯曲时截面上的切应力 第四节第四节 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施第十二章第十二章 弯曲应力弯曲应力v本章在梁的剪力和弯矩知识基础上讨论梁的应力问本章在梁的剪力和弯矩知识基础上讨论梁的应力问题，主要介绍梁弯曲时截面上的正应力和切应力，题，主要介绍梁弯曲时截面上的正应力和切应力，学习时要了解弯曲的平面假设和弯曲正应力公式及学习时要了解弯曲的平面假设和弯曲正应力公式及弯曲切应力公式的推导过程及公式的适用范围。要弯曲切应力公

2、式的推导过程及公式的适用范围。要熟练利用弯曲的正应力公式和切应力公式对梁的弯熟练利用弯曲的正应力公式和切应力公式对梁的弯曲进行强度校核，了解提高梁承载能力的措施。曲进行强度校核，了解提高梁承载能力的措施。教学目的和要求教学目的和要求v梁纯弯曲时横截面上的正应力；梁纯弯曲时横截面上的正应力；v矩形、工字形和圆形梁的切应力；矩形、工字形和圆形梁的切应力；v最大正应力及切应力；最大正应力及切应力；v梁弯曲时的强度校核。梁弯曲时的强度校核。教学重点教学重点v梁弯曲时截面正应力公式推导过程；梁弯曲时截面正应力公式推导过程；v梁弯曲时截面上的切应力；梁弯曲时截面上的切应力；v梁弯曲时的强度校核；梁弯曲时的

3、强度校核；v实际工程中提高梁承载能力的措施。实际工程中提高梁承载能力的措施。教学难点教学难点 某段梁的内力只有弯矩没某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，其横截面上只有正有剪力时，其横截面上只有正应力没有切应力，该段梁的变应力没有切应力，该段梁的变形称为纯弯曲。如形称为纯弯曲。如DE段。段。PPaaDEQMxx纯弯曲纯弯曲第一节第一节 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力AB 某段梁的内力既有弯矩某段梁的内力既有弯矩又有剪力时，其横截面上既又有剪力时，其横截面上既有正应力又有切应力，该段有正应力又有切应力，该段梁的变形称为横力弯曲。如梁的变形称为横力弯曲。如AD、EB段。段。横力弯曲

4、横力弯曲 （1 1）横向线横向线( (ab、cd）变形）变形后仍为直线，但有转动；后仍为直线，但有转动；梁的纯弯曲实验变形特点梁的纯弯曲实验变形特点bdacabcdMM （2 2）纵向线变为曲线，纵向线变为曲线，且上缩下伸；且上缩下伸； （3 3）横向线与纵向线变横向线与纵向线变形后仍正交；形后仍正交；（4 4）横截面高度不变。横截面高度不变。一、变形几何关系一、变形几何关系1.变形现象和假设变形现象和假设（2 2）单向受力假设单向受力假设：纵：纵向纤维间无挤压、只受向纤维间无挤压、只受单向拉伸和压缩。单向拉伸和压缩。（1 1）平面假设：）平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生横截面

5、变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。转动，距中性轴等高处，变形相等。两个假设两个假设两个概念两个概念（1 1）中性层中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。（2 2）中性轴中性轴：中性层与横截面的交线。：中性层与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴2.几何关系几何关系 横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性轴距离成正横截面上任一点的纵向线应变与该点到中性轴距离成正比（中性轴上应变为零，一侧拉应变，一侧压应变）。比（中性轴上应

6、变为零，一侧拉应变，一侧压应变）。 yx) ) ) ) )2121OOOOababababx) )yyddd)( 二、物理关系二、物理关系假设纵向纤维互不挤压。任意一点均处于单项应力状态。则假设纵向纤维互不挤压。任意一点均处于单项应力状态。则有有 EyExxM中性轴MMM max max三、三、 静力学关系静力学关系 MdAyMAz0yAdAzM0AzydASyE将将AzAyydASzdAS定义：定义：分别称为图形对于分别称为图形对于y轴和轴和z轴轴的的截面一次矩截面一次矩或或静矩静矩，单位，单位为为m3或或mm3。注：注：通过截面通过截面形心（图形几何形状的中心）形心（图形几何形状的中心）的

7、坐标轴，的坐标轴，图形对其静矩等于零。图形对其静矩等于零。说明：说明：z轴通过截面形心，即轴通过截面形心，即z轴和轴和x轴的位置确定了。轴的位置确定了。0AiydAzMyE将将0AAyzdAEdAzAyzyzdAI其中其中 是横截面对是横截面对y和和z轴的轴的惯性积惯性积。由于由于y轴是横截面的对称轴，必然有轴是横截面的对称轴，必然有Iyz=0。MdAyMAizyE将将AAdAyEdAyM2其中其中 为横截面对为横截面对z轴（中性轴）的轴（中性轴）的惯性矩（截面二次轴矩）惯性矩（截面二次轴矩）。AzdAyI211zEIM是梁轴线变形后的曲率。是梁轴线变形后的曲率。EIz称为梁的称为梁的抗弯刚度

8、。抗弯刚度。yE将将zEIM1zIMy得到得到首先要确定正应力的正负：首先要确定正应力的正负：伸长为拉应力，缩短伸长为拉应力，缩短为压应力为压应力。说明：说明：只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，该公式就适用。个平面内，该公式就适用。四、横力弯曲时的正应力四、横力弯曲时的正应力弯曲正应力计算公式的适用条件：弯曲正应力计算公式的适用条件：（1 1） 小变形。小变形。（2 2） 材料处于比例极限范围内。材料处于比例极限范围内。（3 3） 纯弯曲梁或横力平面弯曲的细长梁（纯弯曲梁或横力平面弯曲的细长梁（L5h)L5h)。 (4) (4) 直梁或小曲率梁（

9、直梁或小曲率梁（5h5h）。）。五、横截面上的最大正应力五、横截面上的最大正应力zWMmaxDdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圆环bhmaxyI Wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。d6212 23maxbhhbhyIWzz矩形322/64/ 34maxdddyIWzz圆形惯性矩弯曲截面系数12 1233hbIbhIyZ644dIIYZ)1 (64 )(644444aDdDIIyz6 622hbWbhWyz323dWWyzDdDWWyzaa, )1 (3243式中危险面与危险点分析：危险面与危险点分析： 横截面上最大拉应力和最大压应力发生在离中性轴最远的横截面上最大拉应力和最大压应

10、力发生在离中性轴最远的点处，即横截面的上、下边缘点处，为点处，即横截面的上、下边缘点处，为第二节第二节 梁弯曲时的应力强度条件梁弯曲时的应力强度条件zWMmax对全梁而言，还要考虑弯矩最大处，为对全梁而言，还要考虑弯矩最大处，为zWMmaxmax正应力强度条件为正应力强度条件为 zWMmaxmax依此强度准则可进行三种强度计算，分别为依此强度准则可进行三种强度计算，分别为、校核强度：校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：设计载荷：设计载荷： ;maxmaxmaxMWz)( ;maxmaxMfFWMz 例例12-1 图示外伸简支梁，受均布载荷作用图示外伸简支梁，受均布载荷作用，材料的许用

11、应，材料的许用应力力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 10kN / m2m4m100200解解（1）求支座反力。）求支座反力。 （2） 画弯矩图。画弯矩图。 （3）校核强度。）校核强度。Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN15kN)kN(sF202515M()kN m201125.zWMmaxmax20100102632. 30MPa 该梁满足强度条件，安全。该梁满足强度条件，安全。例例12-2 如图两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，如图两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图但放置如图(1)、(2)所示。按弯曲正应力强度条件确

12、定两者所示。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比许可载荷之比 F1F2。lF1F2Fhbz(1)(2)hbz解解 梁上最大弯矩都发生在梁的左端面上，大小为 maxMF l根据弯曲正应力计算式可得由于两个梁的材料相同即许用应力相同，则两梁的强度条件为max1max 2 12FhFb若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！计算可得662222max2max2111max1maxbhlFWMbhlFWMzzC C为截面形心，试校核梁的强度。为截面形心，试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct例12-3 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。其许用拉压

13、应力为型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。其许用拉压应力为P1=10kN1m1m1mP2=4kNADBEmm42mm201202080)1060(20120cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩。的惯性矩。462323m1063. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心。）求截面形心。z1yz52解解 上下边缘距中性轴的距离为y1=52mm y2=88mm（4 4）D D截面校核。截面校核。 ttMPa3 .27Pa103 .27Pa1063. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .46Pa1063. 710

14、881046633max,（3 3）作弯矩图。）作弯矩图。kN.m3kN.m4P1=10kN1m1m1mP2=4kNADBE（5 5）B B截面校核。截面校核。kN.m3kN.m4P1=10kN1m1m1mP2=4kNADBE33283 1088 10763 1034.6BtztM yIMPa可见最大拉应力在截面可见最大拉应力在截面B的下边缘各的下边缘各点处。点处。整体上梁满足强度条件。整体上梁满足强度条件。v如图所示的矩形截面梁，横截面上如图所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力作用剪力Q。现分析距中性轴。现分析距中性轴z为为y的横线上的剪应力分布情况。的横线上的剪应力分布情况。 v经分析可以假

15、设：经分析可以假设：(1)横截面上任一点处的切应力方横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪力向均平行于剪力 。(2)切应力沿截面宽度方向均匀分切应力沿截面宽度方向均匀分布。布。第三节第三节 梁弯曲时截面上的切应力梁弯曲时截面上的切应力一、矩形截面梁的切应力一、矩形截面梁的切应力zzAzAIMSAyIMANdd11zzISMMN)d(:2同理zzzzbIQSbISxMdxbNNdd)(121由切应力互等由切应力互等zzbIQSy1)(此即为横力弯曲时此即为横力弯曲时, ,横截面上横截面上切应力的计算公式。切应力的计算公式。0)(112dxbNNX式中式中, Q, Q为所求切应力面上的剪力；为所求

16、切应力面上的剪力；I IZ Z为整个截面对中性轴的惯性矩；为整个截面对中性轴的惯性矩；S Sz z* *为过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩；为过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩；b b为所求应力点处截面宽度。为所求应力点处截面宽度。zzbIQSy1)()4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzA*zyyyc*5 . 123maxAQ)()4(222为二次抛物线所以矩yhIQzQ 方向：与横截面上剪力方向相同 (不考虑正负号不考虑正负号)； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力， 为平均切应力的1.5倍。二、工字形截面梁的切应力二、

17、工字形截面梁的切应力*2222() ()() ()22222222()()824zHhHhhhBbyySBb hHhyzzbIQS1研究方法与矩形截面相同，切应研究方法与矩形截面相同，切应力的计算公式亦为力的计算公式亦为2222()()824zQBb hHhyI b工字形截面梁由工字形截面梁由腹板腹板和和翼翼缘缘组成。组成。矩形切应力计算结果表明，矩形切应力计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化。按抛物线规律变化。v槽形截面和槽形截面和T形截面腹板，最形截面腹板，最大切应力在中性轴上，其值为大切应力在中性轴上，其值

18、为 222max()88zQBbhHhI b22min()8zQBHhI b对于腹板，对于腹板，B远大于远大于b，故最，故最大切应力和最小切应力相差很大切应力和最小切应力相差很小近似为小近似为maxQbh*zzQSI bmax()zQIbS或可以从型钢表中查得。可以从型钢表中查得。zISsFzy三、圆形截面梁的切应力三、圆形截面梁的切应力*zzQSI b132*2222111223zRAySy dAyRy dyRy24433QQRA 例例12-4 T形铸铁梁受载荷情况如图示，100cMPa50tMPa 50MPa17.5cymm4418.2 10zImm试求梁的正应力、切应力强度条件。 C A

19、 B 1m1kN1kN/m1m1m40 40 10 10 zEFA FC (a) yc E 解解 （1）求支座反力。 由静力学平衡方程可得 0.25,1.75ACFKNFKN（2）绘制梁的剪力图和弯矩图。 max1QKNmax0.5MKN mmax0.25MKN m最大剪力为最大正弯矩为最大负弯矩为。（3）正应力强度校核。 0.25KNm 0.5KNm + _ M x (c) 图1314 0.25KN 0.75KN _ + 1KN Q x （b） (0.05)44.6 24.0 48.0 (0.05)89.2 EcEtLzEcEcyzCcCtLzCcCcyzMyMPaIM yMPaIM yMP

20、aIMyMPaI，(4) 切应力强度校核，该梁上剪力最大值发生C截面右侧。所以该梁是安全的。 MPaMpaybISQczz8 . 21010102 .18102/)50(1010154923*maxmaxmaxZmaxmaxWM第四节第四节 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施梁的承载能力与其所用材料、横截面形状与尺寸以梁的承载能力与其所用材料、横截面形状与尺寸以及梁的受载情况等因素有关。及梁的受载情况等因素有关。 一、选择合适的截面形状一、选择合适的截面形状WhWb左右若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！若梁的高度大于宽度，水平时承载能力要强一些！62bhWZ左62hbWZ右合理

21、设计截面合理设计截面用用Wz /A来衡量截面形状的合理性和经济性。来衡量截面形状的合理性和经济性。max1max1max2max2ttzcczMyIyMyyI二、合理安排梁的受力情况二、合理安排梁的受力情况合理布置支座合理布置支座合理布置载荷合理布置载荷F三、采用变截面或者等强度梁三、采用变截面或者等强度梁 xh max( )( )M xW x ( )( )M xW x 2( )( )2( )6Fxb x hM xW x 23( )Fb xxh maxmaxmin33222FQAbh min34Fbh同理可得同理可得 3( )Fxh xb min34Fhb本章小结v1.梁平面弯曲时正应力计算，

22、在平面假设纵向纤维之间无梁平面弯曲时正应力计算，在平面假设纵向纤维之间无挤压的假设前提下，推导纯弯曲时横截面上的正应力公式挤压的假设前提下，推导纯弯曲时横截面上的正应力公式 最大弯曲正应力为最大弯曲正应力为 该公式可以推广到横力弯曲情况。该公式可以推广到横力弯曲情况。 zM yImaxzMW本章小结v2.梁弯曲切应力计算。以矩形截面为例推导出弯曲切应力计梁弯曲切应力计算。以矩形截面为例推导出弯曲切应力计算式为算式为 该式原则上也适用于工字形、圆形等截面梁的横力弯曲时的该式原则上也适用于工字形、圆形等截面梁的横力弯曲时的切应力计算。切应力计算。 v3.梁的正应力和切应力强度计算。梁弯曲正应力强度条件和梁的正应力和切应力强度计算。梁弯曲正应力强度条件和切应力强度条件为切应力强度条件为 根据强度条件，可以进行梁的强度校核、截面设计、许用载根据强度条件，可以进行梁的强度校核、截面设计、许用载荷计算等。荷计算等。*zzQ SI b maxmax,本章小结v4.根据梁的弯曲应力计算与强度条件，提高梁的弯曲承载根据梁的弯曲应力计算与强度条件，提高梁的弯曲承载能力的相关措施有：合理选择梁的横截面、合理布置梁支能力的相关措施有：合理选择梁的横截面、合理布置梁支座与受力状况及采用等强度梁。座与受力状况及采用等强度梁。 谢谢大家！