2016年北京地区高考-文科数学试题及其答案解析.doc

+- 绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，则 （A） （B） （C） （D） （2）复数 （A）i（B）1+i（C） （D） （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）8 （B）9 （C）27 （D）36 （4）下列函数中，在区间 上为减函数的是 （A） （B） （C） （D） （5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 （A）1 （B）2 （C） （D）2 （6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 （A） （B） （C） （D） （7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为 （A）−1 （B）3 （C）7 （D）8 （8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 （A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）已知向量 ，则a与b夹角的大小为_________. （10）函数的最大值为_________. （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________. (12) 已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=_______；b=_____________. (13)在△ABC中， ，a=c，则=_________. (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种. 三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分） 已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和. （16）（本小题13分） 已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间. （17）（本小题13分） 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： （I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ （II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费. （18）（本小题14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD， （I）求证：； （II）求证：； (III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得?说明理由. （19）（本小题14分） 已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点. （I）求椭圆C的方程及离心率； （II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值. （20）（本小题13分） 设函数 （I）求曲线在点处的切线方程； （II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)(北京卷)参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10）2 （11） （12）1 2 （13）1 （14）16 29 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I）等比数列的公比， 所以，． 设等差数列的公差为． 因为，， 所以，即． 所以（，，，）． （II）由（I）知，，． 因此． 从而数列的前项和 ． （16）（共13分） 解：（I）因为 ， 所以的最小正周期． 依题意，，解得． （II）由（I）知． 函数的单调递增区间为（）． 由， 得． 所以的单调递增区间为（）． （17）（共14分） 解：（I）由用水量的频率分布直方图知， 该市居民该月用水量在区间，，，，内的频 率依次为，，，，． 所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%． 依题意，至少定为． （II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： （元）． （18）（共13分） 解：（I）因为平面， 所以． 又因为， 所以平面． （II）因为，， 所以． 因为平面， 所以． 所以平面． 所以平面平面． （III）棱上存在点，使得平面．证明如下： 取中点，连结，，． 又因为为的中点， 所以． 又因为平面， 所以平面． （19）（共14分） 解：（I）由题意得，，． 所以椭圆的方程为． 又， 所以离心率． （II）设（，），则． 又，，所以， 直线的方程为． 令，得，从而． 直线的方程为． 令，得，从而． 所以四边形的面积 ． 从而四边形的面积为定值． （20）（共13分） 解：（I）由，得． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （II）当时，， 所以． 令，得，解得或． 与在区间上的情况如下： 所以，当且时，存在，， ，使得． 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点． （III）当时，，， 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点． 当时，只有一个零点，记作． 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递增． 所以不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有． 故是有三个不同零点的必要条件． 当，时，，只有两个不同 点， 所以不是有三个不同零点的充分条件． 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．