2010届中考-数学相似形复习材料.doc

* 中考复习教案——相似形 中考要求及命题趋势 1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段、黄金分割； 2、通过具体实例认识图形 的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方； 3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件； 4、了解图形 的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小； 5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题； 6、认识并能画出平面直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点位置写出它的坐标； 7、能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置； 8、在同一直角坐标系中，感受图形变换后的坐标 的变化； 9、灵活运用不同的方式确定物体的位置。 每年中考都考查相似三角形的判定和性质，试题更加贴近生活；考查运用不同的方式确定物体的位置，以及感受在同一坐标系中，图形变换后的坐标的变化。 应试对策 1、要掌握基本知识和基本技能； 2、运用相似形的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模的思想； 3、在综合题中，注意相似形的灵活运用，并熟练掌握等线段、等比代换，等代换技巧的运用，培养综合运用知识的能力； 4、会画直角坐标系，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标，会灵活运用不同的方式确定物体的位置，由点的位置写出它的坐标， 5.在坐标系描述物体的位置。 6.感受图形变化后的坐标的变化 一、图形的相似与位似 【回顾与思考】 【例题经典】 辨别图形相似与位似 例1．下列说法中不正确的是（ ） A．位似图形一定是相似图形; B．相似图形不一定是位似图形; C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比; D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 点评:本题考查了位似图形的性质及相似图形与位似图形的关系，A、B、C正确，因为一对位似对应点与位似中心共线，所以D错误． 会用定义判定相似多边形 例2．在AB=20m，AD=30m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路． （1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由． （2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由． 点评：因为矩形每个角都为90，所以判断矩形A′B′C′D′和矩形ABCD是否相似关键在它们的长和宽之比是否相等．灵活应用相似与位似的性质． 例3．（2006年河北省）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮． （1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）； （2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM． 点评：位似形的图形必相似但相似的图形不一定位似，位似对应点与位似中心共线． 二、相似三角形（1） 【回顾与思考】 相似三角形 【例题经典】 会判定两三角形相似 例1．如图在44的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC与△DEF是否相似？ 点评：注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断． 例2．如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC． 点评：结合判定方法补充条件． 例3．（2006年德州市）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y． （1）如果∠BAC=30，∠DAE=105，试确定y与x之间的函数关系式； （2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由． 点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系． 三、相似三角形（2） 【回顾与思考】 【例题经典】 相似三角形性质的应用 例1．（2006年深圳市）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ） A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米 【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”． 例2．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答． 图形的放大与缩小 例3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为2m2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？ 解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答． 点评：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质． 例题精讲 图9 图8 例1.三角形的两条边长分别为3cm和4cm，第三边的长度量数是奇数，那么这个三角 是形的周长 （ ）B A、8cm或10cm B、10cm或12cm C、12cm或14cm D、12cm 答案：B 例2.如图8，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD、CE分别 为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中 的等腰三角形有 （ ）C A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 答案：C 例3.已知：如图9，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四 个条件中： ① ∠ACP=∠B ② ∠APC=∠ACB ③ AC2=APAB ④ ABCP=APCB，能满足△APC和 △ACB相似的条件是 （ ）D A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③ 答案：D 例4.如图7，在正方形网格上有6个三角形 △ABC，② △BCD，③ △BDE， ④ △BFG，⑤ △FGH，⑥ △EFK，其中 ②～⑥中与三角形①相似的是 （ ）B A、②③④ B、③④⑤ C、④⑤⑥ D、②③⑥ 答案：B 图7 例5.如图，在．△ABC中，AC>AB，点D在AC边上(点D不与A、C重合)，若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件可以是 答案：∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC AD/AB=AB/AC 例6.如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似． 答案：/5或2/5 例7. 如图3，在△ABC中，如果AB=30cm，BC=24cm， CA=27cm，AE=EF=FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC， 图中阴影部分的三个三角形周长的和为 cm； 答案：81； 例8.在△ABC中AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相 交所得的锐角为50，则底角B的大小为 。 答案：70或20 例9. 如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边三角形ADB，连结DC， 以DC为边作等边三角形DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，求：BE的值。 . 解：∵∠ADC=60－∠BDC，∠BDE=60－∠BDC， ∴∠ADC=∠BDE， 再由AD=BD，CD=ED，∴△ADC≌△BDE ∴AC=BE，在等腰三角形ABC中，AB=，∴AC=1，即BE=1 例10. 如图，△ACB、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AE的延长线与BD交 于F， 请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。 解：△ACE≌△BCD；证明过程如下： ∵△ACB、△ECD都是等腰直角三角形 ∴AC=BC，∠ACE=∠BCD=90，CE=CD ∴△ACE≌△BCD 例 11. 如图，已知：AD=AE，DF=EF；求证：△ADC≌△AEB 证明：连结AF AD=AE DF=EF △ADF≌△AEF AF=AF ∠ADC = ∠AEB AD=AE △ADC≌△AEB ∠DAC = ∠EAB 例12. 如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR∥BE； 求证：△PQR是等腰三角形 证明：∵ BF=CE ∴ BC=EF 又∵ ∠B=∠E，AB=DE ∴ △ABC≌△DEF ∴ ∠ACB=∠DEF 又∵ QR∥BE ∴ ∠ACB=∠Q，∠DFE=∠R ∴ ∠Q=∠R ∴ △PQR是等腰三角形 例13. 如图，在△ABC中，∠A=90P为AC边的中点，PD⊥BC，D为垂足； 求证：BD2－CD2 = AB2 证明：连结BP，在Rt△BPD中，BD2= BP2－PD2 ① 在Rt△CDP中，CD2= PC2－PD2 ② 由①－② 得： BD2－CD2 = BP2－PC2 ∵ AP=PC ∴ BD2－CD2 = BP2－AP2 又∵ ∠A=90 ∴ 在Rt△ABP中，AB2= BP2－AP2 ∴ BD2－CD2= AB2 例14. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E为DC中点，直线BE交AC于F，交AD的延长 线于G；求证：EFBG=BFEG 证明：∵ AB∥DC ∴ △EFC∽△BFA，△GDE∽△GAB ∴ EF/BF = EC/AB， EG/BG = DE/AB 又∵ DE = EC ∴ EC/AB = DE/AB ∴ EF/BF = EG/BG 即EFBG = BFEG