2014年数学建模国赛B题.doc

-# 2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 27027006 所属学校（请填写完整的全名）： 宝鸡文理学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李思怡 2. 甘功伟 3. 史少阳 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李晓波 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014年 09 月 15 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 对创意平板折叠桌的最优化设计 摘 要 本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。 对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。 对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积为cm。 对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728;“曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。最后，给出了两种桌面的动态变化图。 关键字：曲线拟合最优化设计几何模型 折叠桌 桌脚边缘线 一、问题重述 问题背景 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。 目标任务 建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 二、问题分析 针对问题一，对于给定某些参数的平板，要建立模型来描述折叠桌的动态变化过程，就必须确定未知参数，如，折叠桌的各个桌腿长以及所穿钢筋所活动区域的卡槽长。根据题意，可以了解到长方形平板的宽度即为圆桌桌面的直径，因此，可以建立相应的空间直角坐标系，利用一定的数学方程通过桌面直径以及桌腿（各木条）的宽度计算出每个桌腿的长度，进而利用其长度和已知的桌高求出个木条的开槽长度。另外，折叠桌的动态变化过程可由钢筋在卡槽中的运动轨迹来描述。 针对问题二，为了达到最优的加工方案，我们可以将多目标优化做一转化，选择以用材最少为目标函数，即选择的木板所用的体积最少为目标，以稳固性好和加工方便为约束条件，利用受力和几何图形分析，将所需考虑的平板尺寸、钢筋位置、开槽长度三个设计参数用未知量表示，采用和问题一类似的数学方法计算未知量为何值时，目标函数的最小值。 针对问题三，为了满足客户对于折叠桌样式与尺寸的需求，我们可以采用与问题一与问题二中类似的分析方法，给出其算法思想，最后可以通过程序得出相应的设计参数和某些创意桌面的动态图。 三、符号说明与问题假设 符号说明 符号 意义 桌腿最外侧向内的顺序描述 第根桌角边缘线的长度 第根桌腿的长度 平面时第根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离 立体时第根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离 第根桌腿的卡槽长度 第根桌腿底端到圆桌平面的高度 平板体积大小 模型假设 1. 假设桌子的高度包括桌子的厚度。 2. 假设问题二中桌腿宽度为2.5cm，木板厚度为3cm。 3. 假设在此问题中，忽略钢筋自身的直径。 4. 假设桌脚与地面完全接触并且忽略各个木条间的缝隙。 四、模型建立与求解 问题一：模型建立 根据问题首先我们可以建立几何模型对问题一进行求解。 （1）计算每根桌腿的长度 根据题目所给条件，组成桌腿的每根木条的宽度为2.5cm，另外，我们知道所给木板的宽度等于折叠后圆形桌的直径，即桌面直径为50cm，也就是说，该圆桌左右两边共有20根木条。 由于折叠后的圆桌关于平行于长方形木板的宽的一条直径对称，因此折叠桌的相关性质我们只需考虑圆桌的左半边或右半边，又由于，折叠后的圆桌的一边也是互相对称的，故本文中只以圆桌的1/4为研究对象，即只研究10根木条的相关变化趋势。 结合以上分析，我们做出折叠前的长方形木板的俯视图，并且以圆桌的圆心为坐标原点，以垂直于桌面的为z轴，平行于长方形宽的直径为y轴，垂直于该直径的为x轴，建立空间直角坐标系，如图1所示： 图1 空间直角坐标系 对于以上的坐标系，可以得到第根木条宽度的中点落在轴的坐标，由于每根木条的宽度相同，显然，为等差数列。 由图1及已知条件可知，每根木条的宽度的中点在圆上，所以，，……， 由于位于圆周上，因此有 将代入上述圆的方程中便可以得到的值 已知木板长120cm,即两边分别长60cm，则第条桌腿长，因此，只需要求出各点在圆上的坐标即可求出各个腿长。 （2）计算每根桌腿的槽长大小 由于钢筋在旋转过程中不发生任何形变，因此，通过对折叠过程的分析可以知道，每根桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，圆桌高度是53cm，厚度是3cm，所以实际桌高应该是50cm 因为钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，所以钢筋固定点到圆桌边缘的距离 根据三角形相似和勾股定理可得，最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离，并且满足，由上式即可解出 具体分析图如图2： 图2 立体分析图 最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为，则 平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离： 立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离： 每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示 （3）桌角边缘线的数学描述 由（2）求得立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离，每根桌腿钢条所在位距离圆桌的高度为，每根桌腿长为，每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度为，如图所示利用相似三角形原理，可得即 图3 每根桌腿所在位置距离圆桌的垂直高度示意图 为了研究桌角边缘线的相关形式，我们对，即对桌角边缘点的三维坐标进行多项式拟合，其形式如下： 问题一模型求解 （1）由于桌腿的宽度为2.5cm，且圆形桌的直径等于木板的宽，即为50cm，所以以圆形桌两边对称，一边有20条桌腿，我们以桌面的1/4为研究对象，即共10条桌腿。 根据所建立的直角坐标系，利用等差数列下不同的求解不同的圆桌边缘长，进而利用求得桌腿长。在MATLAB中进行编程得到10条桌腿的长度分别为（单位：厘米）(具体程序见附录1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52.19 46.83 43.46 41.00 39.12 37.67 36.58 35.79 35.28 35.03 表1 桌腿的长度表 因为桌高cm,由表1可知最外侧的桌腿长为52.19cm，而最外侧桌腿一定与垂直方向存在夹角，故最长腿长度一定大于垂直高度，即52.19>50，所以所得结果符合题意。 （2）由题意可知立体时最外侧桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离 最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度，可以得到最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离 最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是 根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，通过计算得到立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差，在MATLAB中对10条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到10条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米）(具体程序见附录2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 4.35 7.66 10.36 12.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87 表2 桌腿卡槽长度表 （3）求解桌脚边缘点的坐标 在MATLAB中解出对每根桌腿所在位置距离圆桌的高度为，即20根桌腿边缘点的三维坐标如下表3所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22.77 17.13 14.38 12.99 12.34 12.12 12.11 12.18 12.27 12.32 -23.75 -21.25 -18.75 -16.25 -13.75 -11.25 -8.75 -6.25 -3.75 -1.25 -50 -46.66 -43.41 -40.55 -38.17 -36.26 -34.78 -33.71 -33.01 -32.66 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.32 12.27 12.18 12.11 12.12 12.34 12.98 14.37 17.13 22.77 1.25 3.75 6.25 8.75 11.25 13.75 16.25 18.75 21.25 23.75 -32.66 -33.01 -33.71 -34.78 -36.26 -38.17 -40.55 -43.41 -46.66 -50 表3 桌腿最底端三维坐标表 根据上述坐标，对其做散点图，图像如下：（具体程序见附录3） 图4 桌角边缘线示意图 在MATLAB中关于与进行拟合，由于三次拟合贴近度最高，所以我们采用三次进行拟合，得到拟合结果为 （4）误差分析 为了更好的说明拟合的贴近度，我们在MATLAB中作出拟合图像如下：（具体程序见附录4） 图5 拟合图像与原图的对比图 由图5明显的可以看到，原曲线和拟合曲线贴合度很高，另外，我们对其做了误差分析，利用方差的大小，来判断拟合结果是否合理，最后计算得到方差为0.0356，所以认为拟合结果是合适的。 （5）桌脚边缘线的动态描述 我们通过作出不同时刻的桌脚边缘线的图像来反映其折叠的动态过程 图6 折叠桌动态变化过程图 问题二：模型建立 我们设出木板长为cm，宽为cm，厚度为cm. 根据题目所给条件，我们知道圆形桌的直径等于木板的宽。 由于桌腿的宽度为2.5cm，所以以圆形桌的1/4为研究对象，共有16条桌腿。 （1）计算每根桌腿的长度 我们如图所建立的坐标系进行分析得，为等差数列递增 由于每根木条的宽度的中点在圆上，所以，，……， 圆的方程为 将代入圆的方程中解出 因为木板长cm,即一边长cm，则桌腿长 （2）计算每根桌腿的槽长大小 我们令为最外侧钢筋位置到桌腿底端的距离与最外侧桌腿长之比 每根桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，圆桌高度是cm，厚度是cm，所以实际桌高应该是（）cm 根据三角形相似和勾股定理可得，为最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离 图7 立体分析图 由上式解出的值 最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是，即桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离也为，则 平面时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离： 立体时每根桌腿钢条所在位置距离圆桌边缘的距离： 每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差表示 （3）列出目标函数 我们以用材最少为目标函数，即木板体积最小： （4）约束条件的确定 对最外侧桌腿和最内侧桌腿画出如图所示切面进行受力分析 图8 受力分析图 要使桌子的稳定性最好，就是使桌子所受的桌面压力在桌腿上分力的合力是竖直向下的，则两个分桌腿所受的力是相同的，根据物理学原理分析可得 图9 几何分析图 由图分析且在直角三角形中运用勾股定理我们可知，又因为即 联立上述两式得到 为了描述清晰，我们令，因为钢筋处到最短桌腿长的距离要小于其桌腿长，即约束条件为 问题二：模型求解 （1）由假设知桌腿宽度为2.5cm,圆形桌的直径等于木板的宽，即为cm，所以以圆形桌两边对称，一边有32条桌腿，我们以桌面的1/4为研究对象，即共16条桌腿。 根据所建立的直角坐标系，利用等差数列下不同的求解不同的，解得圆桌边缘长，桌腿长 在MATLAB中进行编程得到16条桌腿的长度由外侧向内分别为（单位：厘米）：80.3290、73.3409、 68.7811、65.2819、 62.4399、60.0689、 58.0646、56.3620、54.9174、53.7001、 52.6882、51.8652、 51.2194、50.7419、50.4268、50.2701 (具体程序见附录5) （2）由假设知木板高度cm，由题意可知桌高cm，最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度 因此，可以得到最外侧桌腿中的钢条到圆桌边缘对应其高度的距离.最外侧桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是 根据桌腿中的钢条到所平行的圆桌直径对应其钢条高度的距离是相同的，通过计算得到立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离，每根卡槽的长度用立体时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离和平板时钢筋与圆形桌面边缘之间的距离之差，在MATLAB中对16条桌腿的卡槽的长度计算进行编程，得到16条桌腿的卡槽长度由外侧向内分别为（单位：厘米） 0、1.4895、2.8327、 4.1484、5.4526、6.7368、 7.9831、 9.1703、10.2772、 11.2846、12.1757、 12.9369、 13.5574、14.0294、14.3470、14.5067 (具体程序见附录6) (3)在MATLAB中解得当时，即平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的体积最小为（具体程序见附录7） 问题三： 类似于前两问的分析方法，我们这里给出设计折叠桌的算法流程图： 第一步：求解木桌边缘长 第二步：求解木桌每根桌腿长 第三步：求解木桌每根桌腿的槽长 第四步：得到折叠桌的设计方案 图10 算法流程图 首先，我们以“操场形”折叠桌为例，设计其最优参数并作出其动态变化图. 图11 “操场形”折叠桌俯视图 设计加工参数：木板的长为150cm,宽为50cm,厚度为3cm,桌腿的宽度为2.5cm,每条桌腿的开槽长度如下表4： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 4.35 7.66 10.36 12.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87 表4 “操场形”折叠桌每根桌腿的槽长表 所做出的动态过程示意图如下，共8张（具体程序见附录8） 变化的过程总图如下： 对于“操场型”桌面的折叠桌，形式比较大众，特点不突出，但是可以供人数较多的时候共同使用，比如左右两端各坐一人，中间的直边的长度越长，可供使用的人数较多，实用性较强。 另外，我们还设计了如下“双曲线形”折叠桌形状 图11 “双曲线形”折叠桌俯视图 设计加工参数：木板的长为160cm,宽为50cm,厚度为3cm,桌腿的宽度为2.5cm,桌面高度为48cm,每条桌腿的开槽长度如下表5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1.57 2.89 3.98 4.90 5.65 6.26 6.73 7.07 7.25 表5 “双曲线形”折叠桌每根桌腿的槽长表 所做出的动态过程示意图如下，共8张（具体程序见附录9） 桌腿的动态变化过程总图如下： 由双曲线和直线组成的桌面，样式独特，款式新颖，但是，也有一定的缺点，由于桌面左右两边呈凹陷状态，但桌腿像外凸起，因此不能坐人，对该空间和材料造成了一定的浪费。 五、模型评价与推广 本文建立了几何模型对创意平板折叠桌的动态变化过程进行描述，将几何知识与物理知识相互融合，描述过程较为清晰；利用优化问题确定最优设计加工参数，将最优解应用于实际问题，结果较为实用；但因模型中所涉及的参数较少，所以平板折叠桌的形状会受到一定的限制。该模型可广泛应用于生活、教育、科技等方面。 参考文献 [1]姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993。 [2]马莉，MATLAB 数学实验与建模[M]，北京：清华大学出版社，2010。 [3]曹卫华，郭正.最优化技术方法及MATLAB的实现，北京：化学工业出版社，2005。 [4]柴春雷，《谈物理受力分析》，宿州教育学院学报，2002年5期：035~038,2004。