2022年平面解析几何.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载平面解析几何圆的方程圆的定义与方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆圆心 a, b 标准xa 2yb2r2r0 半径为 r方程一般x 2y2DxEyF0充要条件： D2 E 24F0 圆心坐标： D 2, E 2 半径 r1 2D2E 24F【学问拓展】1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为1依据题意,挑选标准方程或一般方程；2依据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组；3解出 a、b、 r 或 D、E、 F 代入标准方程或一般方程2点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三

2、种圆的标准方程 xa 2 yb 2r 2,点 Mx0,y0 1点在圆上： x0a 2y0 b 2r 2；2点在圆外： x0a 2y0 b 2r 2；3点在圆内： x0a 2y0 b 20. 4方程 x22axy 20 肯定表示圆 5如点 Mx0,y0在圆 x2y2DxEyF0 外,就 x 2 0y 2 0Dx0Ey0F0. 1教材改编 将圆 x 2y 22x4y10 平分的直线是 Axy 10 Bxy30 Cxy10 Dxy30 答案 C 解析 圆心是 1,2,所以将圆心坐标代入检验选项 C 满意2已知圆 C：x3 2 y4 21 和两点 Am,0,Bm,0m0,如圆 C 上存在点 P,使得

3、APB90,就 m 的最大值为 A7 B 6 C5 D4 答案 B 解析 依据题意,画出示意图,如下列图,就圆心 C 的坐标为 3,4,半径 r1,且 |AB|2m. 由于 APB90,连接 OP,易知 |OP|1 2|AB|m. 要求 m 的最大值,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离由于 |OC|3 24 25,所以 |OP|max|OC |r6,即 m 的最大值为 6. 32022 北京 圆心为 1,1且过原点的圆的方程是 Ax1 2y1 21 B

4、x1 2y1 21 Cx1 2y1 22 Dx1 2y1 22 答案 D 解析 圆的半径 r1 21 22,圆的方程为 x1 2y1 22. 4教材改编 圆 C 的圆心在 x 轴上,并且过点答案 x2 2y 210 解析 设圆心坐标为 Ca,0,点 A1,1和 B1,3在圆 C 上,|CA|CB|,即a121a 129,解得 a 2,圆心为 C2,0,半径 |CA|2 1 2110,圆 C 的方程为 x2 2y 210. A1,1和 B1,3,就圆 C 的方程为 _52022 浙江 已知 aR,方程 a2x2a2y24x8y5a0 表示圆,就圆心坐标是_,半径是_名师归纳总结 答案2, 45

5、a2 a2,第 3 页,共 15 页解析由已知方程表示圆,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解得 a 2 或 a 1. 当 a2 时,方程不满意表示圆的条件,故舍去当 a 1 时,原方程为 x2y24x8y50,化为标准方程为 x2 2y4 225,表示以 2, 4为圆心,半径为 5 的圆 . 题型一 求圆的方程例 1 12022 天津 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M0,5在圆 C 上,且圆心到直线 2xy0的距离为4 5 5,就圆 C 的方程为 _2 222022课标全国 一个圆经过椭圆 16y 41 的三个顶点,

6、且圆心在 x 轴的正半轴上,就该圆的标准方程为 _答案 1x2 2 y 2 9 2 x3 2 2y 2254解析 1由于圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,设 Ca,0,且 a0,所以圆心到直线 2xy0 的距离 d2a54 5,5解得 a 2,所以圆 C 的半径 r|CM|453,所以圆 C 的方程为 x 2 2y 29. 2由题意知圆过 4,0,0,2,0, 2三点,4,0, 0, 2两点的垂直平分线方程为y1 2x2,令 y0,解得 x3 2,圆心为 2,0 ,半径为 5 2. 思维升华 1直接法：依据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程2待定系数法名师归纳总结 - - -

7、 - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如已知条件与圆心精品资料欢迎下载依据已知条件列出关于a,b,r 的方程组,a,b和半径 r 有关, 就设圆的标准方程,从而求出 a,b, r 的值；如已知条件没有明确给出圆心或半径,就挑选圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D、E、F 的方程组,进而求出 D、E、F 的值2022湖北八校联考 已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点 A1,0 ,且被 x 轴分成两段弧,弧长之比为 1 2,就圆 C 的标准方程为 _答案x 2y3 3 24 3即直线与圆相切时在y解析圆 C 关于 y 轴对称, 可设 C0,b,

8、设圆 C 的半径为 r,就圆 C 的标准方程为x2yb 2 r2,依题意,得1 2 b2r2,解得r24 3,|b|1 2r,b3 3,于是圆 C 的标准方程为x2y3 3 24 3. 题型二与圆有关的最值问题例 2已知点 x,y在圆 x22 y321 上求 xy 的最大值和最小值解设 txy,就 y x t,t 可视为直线y xt 在 y 轴上的截距,xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即|2 3 t| 1,221. 解得 t21 或 t21. xy 的最大值为21,最小值为引申探究名师归纳总结 1在本例

9、的条件下,求y x的最大值和最小值第 5 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解y x可视为点 x,y与原点连线的斜率,精品资料欢迎下载y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为ykx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即|2k3|1,解得k 21k 223或 k 223 3 .x的最大值为 22 3 3,最小值为 223 3 . 2在本例的条件下,求x2y22x 4y5的最大值和最小值解x2y22x4y5x12 y22,求它的最值可视为求点x,y到定点

10、 1, 2的距离的最值,可转化为圆心 2, 3到定点 1,2的距离与半径的和或差又圆心到定点1,2的距离为34,x2y22x 4y5的最大值为341,最小值为341. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略1与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般依据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形 结合求解2与圆上点 x,y有关代数式的最值的常见类型及解法形如 uyb xa型的最值问题, 可转化为过点 a,b和点 x,y的直线的斜率的最值问题；形如 taxby 型的最值问题, 可转化为动直线的截距的最值问题； 形如 xa 2y b 2 型的最值问题,可转化为动点到定点 a, b的距离平方的

11、最值问题已知实数 x,y 满意方程 x 2y 24x10.求：1y x的最大值和最小值；2yx 的最小值；3x 2y 2 的最大值和最小值解1如图,方程x 2y 24x10 表示以点 2,0为圆心,以3为半径的圆设y xk,即 ykx,就圆心 2,0到直线ykx 的距离为半径,即直线与圆相切时,斜率取得最大值、最小名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载值由|2k0|k 213,解得 k23,3. kmax3,kmin2设 y xb,就 yxb,当且仅当直线 yxb 与圆切于第四象限时,在 y 轴上的截

12、距 b 取最小值,由点到直线的距离公式,得 |20b|3,2即 b 26,故yxmin 26. 3x 2y 2 是圆上的点与原点的距离的平方,故连接 OC,与圆交于 B 点,并延长交圆于 C,就x 2 y 2 max |OC| 223 2 74 3,x 2 y 2 min|OB| 223 274 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题例 3 2022潍坊调研 已知圆 x 2y 24 上肯定点 A2,0,B1,1为圆内一点, P, Q 为圆上的动点1求线段 AP 中点的轨迹方程；2如 PBQ90,求线段 PQ 中点的轨迹方程解 1设 AP 的中点为 Mx,y,由中点坐标公式可知,P 点坐标为 2x2,

13、2y由于 P 点在圆 x 2 y 2 4 上,所以 2x2 2 2y 24,故线段 AP 中点的轨迹方程为 x1 2y 21. 2设 PQ 的中点为 Nx, y,在 Rt PBQ 中,|PN|BN|. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 O 为坐标原点,连接精品资料欢迎下载ON,就 ONPQ,所以 |OP|2|ON| 2 |PN|2|ON| 2|BN|2,所以 x2y2x12y124. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2y 2xy 10. 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,依据题设条件的不同常采纳以下方法1直

14、接法,直接依据题目供应的条件列出方程；2定义法,依据圆、直线等定义列方程；3几何法,利用圆的几何性质列方程；4代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满意的关系式等2022天津模拟 设定点 M3,4,动点 N 在圆 x 2y 24 上运动,以 OM 、ON 为两边作平行四边形 MONP ,求点 P 的轨迹解如下列图,设 Px,y,Nx0,y 0,就线段 OP 的中点坐标为x,y 2,线段 MN 的中点坐标为x 03,y042 2.2由于平行四边形的对角线相互平分,故x 2x03,y 2 y0 4 .从而x0x3,y0y4.又 Nx3,y4在圆上,故 x 3 2y4 2 4. 因此所求轨迹为

15、圆：x 3 2y4 2 4,但应除去两点9 5,12 5和 21 5,28 点 P 在直线 OM 上的情形 21利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中,曲线yx 26x1 与坐标轴的交点都在圆C 上,求圆 C 的方程名师归纳总结 思想方法指导此题可采纳两种方法解答,即代数法和几何法第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1一般解法 代数法 ：可以求出曲线yx精品资料欢迎下载设圆的方程为一般式,代入点的26x1 与坐标轴的三个交点,坐标求解析式2奇妙解法 几何法 ：利用圆的性质,知道圆心肯定在圆上两点连线的垂直平分线上

16、,从而设圆的方程为标准式,简化运算,明显几何法比代数法的运算量小,因此平常训练多采纳几何法解题规范解答解 一般解法 代数法 曲线 yx 26x1 与 y 轴的交点为 0,1,与 x 轴的交点为 32 2,0,32 2,0,设圆的方程是 x 2y 2 DxEyF0D 2 E 24F0,1EF0,D 6,就有 3 2 2 2D 32 2 F0,解得 E 2,3 2 2 2D 32 2 F0,F 1,故圆的方程是 x 2y 2 6x2y10. 奇妙解法 几何法 曲线 yx 26x1 与 y 轴的交点为 0,1,与 x 轴的交点为 32 2,0,3 2 2,0故可设 C 的圆心为 3,t,就有 3 2

17、t1 2 2 2 2t 2,解得 t1. 就圆 C 的半径为 3 2 t1 23,所以圆 C 的方程为 x 3 2y1 2 9. 12022 南昌检测 圆心在 y 轴上,且过点 3,1的圆与 x 轴相切,就该圆的方程是 名师归纳总结 Ax2y210y0 Bx 2y 210y 0 2r2,第 9 页,共 15 页Cx2y210x0 Dx 2y 210x 0 答案B 解析依据题意,设圆心坐标为0,r,半径为 r,就 3 2r1解得 r5,可得圆的方程为x2y210y0. 22022 昆明一模 方程 |x|11 y12所表示的曲线是A一个圆B两个圆C半个圆D两个半圆- - - - - - -精选学习

18、资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载答案D 解析由题意得|x|12 y121,|x|10,即x12 y121,或x12 y121,x1,x1.故原方程表示两个半圆3如直线 ax2by20a0,b0始终平分圆 x 2 y2 4x2y80 的周长,就1 a2 b的最小值为 A1 B5 C4 2 D 32 2 答案 D 解析 由题意知圆心 C2,1在直线 ax2by 20 上,2a2b20,整理得 ab1,名师归纳总结 1 a2 b1 a2 bab3a 2a b3 2 a 2a b32 2, 第 10 页,共 15 页当且仅当b2aa b,即 b22,a2 1 时,等号成立1

19、a2 b的最小值为322. 4点 P4, 2与圆 x 2y 24 上任一点连线的中点的轨迹方程是Ax22y121 Bx22y124 Cx42y224 Dx22y121 答案A 解析设圆上任一点坐标为x0,y0,x2 0y2 04,连线中点坐标为x,y,就2xx04.x02x4,2yy02y02y2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载代入 x 2 0y 2 04 中得 x2 2 y 1 21. 252022 绵阳诊断 圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上, 且与 x 轴相切, 被双曲线 x 2y 31 的渐近线截得的弦长为 3,就圆 C 的

20、方程为 Ax 2y1 21 Bx 2y3 23 Cx 2y1 21 Dx 2y3 23 答案 A 解析 依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为 3,倾斜角为 60,结合图形 图略 可知,所求的圆 C 的圆心坐标是 0,1、半径是 1,因此其方程是 x 2 y 1 21. 62022 九江模拟 已知 P 是直线 l：3x4y11 0 上的动点, PA,PB 是圆 x 2y22x2y 10 的两条切线 A,B 是切点 ,C 是圆心,那么四边形 PACB 的面积的最小值是 A. 2 B2 2 C. 3 D2 3 答案 C 解析 圆的方程可化为 x1 2y1 21,就 C1,1,当|PC|最小时,

21、四边形PACB 的面积最小,y 1 相 切 , 就 圆C 的 方 程 是|PC|min|3411| 3 24 2 2,此时 |PA| |PB|3. 所以四边形PACB 的面积 S21 23 13,应选 C. 7 2022 南 昌 模 拟 如 圆C经 过 坐 标 原 点 与 点 4,0 , 且 与 直 线_ 名师归纳总结 答案x22y3 2 22540,0和4,0,所以设圆心为2,m第 11 页,共 15 页解析由于圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点又由于圆与直线y1 相切,所以2 2m2|1m|,解之得 m3 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

22、精品资料 欢迎下载所以圆 C 的方程为 x 2 2y3 2 225 4 . 8过点 P1,1的直线,将圆形区域 x,y|x 2y 24 分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,就该直线的方程为 _答案 xy20 解析 当圆心与点 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件圆心 O 与点 P 连线的斜率 k 1,所求直线方程为 y1 x1,即 xy2 0. x2y0,9已知 D 是由不等式组 所确定的平面区域, 就圆 x 2y 24 在区域 D 内的弧长为 _x3y0答案2解析 作出可行域 D 及圆 x 2y 24,如下列图,图中阴影部分所在圆心角 所对的弧长即为所求名师归纳总结 易知图中两直

23、线的斜率分别为2、 1 3,|1,得 tan 1 2,tan 1 3,tan tan112 31,12 1得 4,得弧长 lR 4 2 2R 为圆的半径 102022 岳阳模拟 在平面直角坐标系中,O 为原点, A1,0,B0, 3,C3,0,动点 D 满意 |CD就|OA OB OD|的最大值是 _第 12 页,共 15 页答案71 解析设 Dx,y,由 CD x3,y及|CD |1 知x32y21,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆, 又OA OB OD 1,00, 3x,yx 1,y3

24、,|OA OB OD |x1 2 y3 2. 问题转化为圆 x3 2 y 21 上的点与点 P1,3间距离的最大值圆心 C3,0与点 P1,3之间的距离为 31 2 03 27,故 x1 2 y3 2的最大值为 71. 11已知圆 C 经过 P4, 2,Q1,3两点,且在 y 轴上截得的线段的长为 4 3,半径小于 5. 1求直线 PQ 与圆 C 的方程；2如直线 l PQ,且 l 与圆 C 交于点 A,B,且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点,求直线l 的方程解1由题意知直线PQ 的方程为 xy20. 设圆心 Ca,b,半径为 r,由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y1 2x3 2,即

25、yx1,所以 ba1.由圆 C 在 y 轴上截得的线段的长为 4 3,知 r 2 12a 2,可得 a1 2b3 212a 2,由 得 a1, b0 或 a5,b4. 当 a1,b0 时, r 213,满意题意,当 a5,b4 时, r 237,不满意题意故圆 C 的方程为 x1 2y 213. 2设直线 l 的方程为 y xmm 2,Ax1,mx1,Bx2,mx2由题意可知 OAOB,即 OA OB 0,x1x2mx1mx20,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 化简得 2x1x2mx1x2m2 0.精品资料欢迎

26、下载由y xm,得x12y2132x 22m1xm 2120,x1x2m1,x 1x2m 2122,代入 ,得 m2 12m1m m20,m4 或 m 3,经检验都满意题意,直线 l 的方程为 xy40 或 xy30. 12在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在 x 轴上截得线段长为2 2,在 y 轴上截得线段长为2 3. 1求圆心 P 的轨迹方程；22如 P 点到直线 yx 的距离为 2,求圆 P 的方程解 1设 Px,y,圆 P 的半径为 r . 就 y 22r 2,x 23r 2. y 22x 23,即 y 2x 21. P 点的轨迹方程为 y 2x 21. 2设 P 点的坐标为 x0

27、,y0,就|x0 y0|22,即 |x0y0|1. 2y0x01,即 y0x01. 名师归纳总结 当 y0x01 时,由 y 2 0x2 01,得 x012x2 01. 第 14 页,共 15 页x00,r23. 2x2 01. y01,圆 P 的方程为 x 2y123. 当 y0x01 时,由 y 2 0x2 01,得 x01- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载Q 2,3x00,r23. y0 1,圆 P 的方程为 x 2y123. 综上所述,圆P 的方程为 x2y123. *13. 已知 M 为圆 C： x 2 y 2 4x14y 4

28、50 上任意一点,且点1求|MQ |的最大值和最小值；n32如 Mm,n,求 m2 的最大值和最小值解 1由圆 C：x 2y 24x 14y450,可得 x2 2y7 2 8,所以圆心 C 的坐标为 2,7,半径 r2 2. 又|QC|2 2 2 73 2 4 2. 所以 |MQ |max4 22 26 2,|MQ |min4 22 22 2. 2可知n3 表示直线 MQ 的斜率,m2设直线 MQ 的方程为 y3kx2,即 kxy2k30,就n3 m2k. 由直线 MQ 与圆 C 有交点,名师归纳总结 所以|2k72k3| 22 2,1k23. 第 15 页,共 15 页可得 23k23,所以n3 m 2的最大值为23,最小值为- - - - - - -