2022年2022年量子力学之狄拉克符系统与表象 .pdf-得力文库

资源描述

《2022年2022年量子力学之狄拉克符系统与表象 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年量子力学之狄拉克符系统与表象 .pdf（16页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、Dirac 符号系统与表象一、Dirac 符号1. 引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间 ,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax, Ay, Az)表示一样。量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。2. 态矢量（1）. 右矢空间力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右

3、 | 展开：| = a*1 Q1 | + a*2 Q2 | + . + a*n Qn | + . 展开系数即相当于Q 表象中的表示：+= (a*1, a*2, ., a*n, . ) 同理某一左矢量| 亦可按 Q 的左基矢展开：| = b*1 Q1 | + b*2 Q2 | +. + b*n 和 | 的标积为：*nnnba。显然 *= 。对于满足归一化条件的内积有：*1nnnaa。这样，本征态的归一化条件可以写为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页

6、 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 所以*()( )()qqux ux dqxx。上述讨论即本征矢的封闭性，其与完备性的区别如下：正交归一性的表示式是对坐标的积分，封闭性的表示式是对本征值的求和或积分。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。3. 算符（1）. 右矢空间X 表象下：在一般 Dirac 表象下：利用分立谱下的完备性可以得到：写成矩阵形式为：即 Q 表象下 = F 。平均值公式：?|FF。利用利用分立谱下的完备性可以得到：*?|mmnnmnmmnnmnFQQF QQa Fa

7、（2）. 共轭式（右矢空间）*?|*|*|*|()|?|mmmnnnmnnnmnnmnnnnnnmmnQQQFQQFQFQFQQQFQFQ%从而可以得到：?| F。如果?F为厄米算符，则有?| F。) ()() (*) ()() (*xxdqxuxuxxxuxuqqnnn) ()()(*)()(*qqdxxuxudxxuxuqqnmmn?( , )( ,) ( , )x tF x px t|?|FQQmm|?|nnmnQQFQ|?|F|?|,|?|,|?|,|?|,|?|2112212211121nnnQQQQFQQFQQFQQFQQFQQQQ名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

8、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。例：力学量算符x 在动量中的形式?|x?|pp xp x pdpp?|()|1|21122()iipxp xiiiipxpxpxp xp x pp xdxx x xdxxpp xdxxx xdxxpp xdxxxx dxxpp xxdxx pexedxieedxieedxppippphhhhhhhhhhhh即有：故坐标算符x 在动量表象中取如下形式：? x

9、iph4. 总结|?|?|ppdpxpxpp|)(ppippdpppi名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - （ 1）X 表象描述与狄拉克符号1)(|)(|1),(),()()(?),(?)(|),(*ttQQdxtxtxdxxuxuFirFttxmnnmmnnm本征函数归一化算符波函数Dirac 符号项目X 表象1|1|)()()()()()()(|)()()(*qdqqQQxxdqxuxuxxxux

10、uqqqqqqdxxuxunnqqnnnqq封闭性本征函数归一性正交|?|?|?)()()?,(?)(|?)(|),()?,(?),(*FFdxFFFrrprFtFttxpxFtxx平均值本征方程公式)(|?)(|),(),(?),(|?|?*tHtdtditrirHtrtiSnFmFdxFFmnnmmn方程矩阵元（2）左右矢空间的对应关系左矢空间右矢空间|FF?|?|?|FF（3）厄密共轭规则由常量C、左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则1）把全部次序整个颠倒2）作如下代换：常量C C* | | FF?例如*|?|vFuC*|?|CuFv二、态的表象到目前为止，体系的状态

11、都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态和力学量的

12、具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。1. 动量表象在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：/1( )2ipxpxehh组成完备系，任一状态可按其展开。展开系数：( , )( , )( )px tC p tx dp，( , )*()( , )pC p txx t dx 。命题：假设(x,t) 是归一化波函数，则C(p,t) 也是归一。证明：1*(, )( , )(, )( )*(, )( )(, )*( , )*()( )(, )*( , )()( , )*(, )ppppx t

13、x t dxC p tx dpC p tx dp dxC p tC p t dp dpxx dxC p tC p t dp dpppC p tC p t dpC(p, t) 的物理意义：| (x,t)|2d x 是在 (x,t) 所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在x x + d x 范围内的几率。|C(p,t)|2 d p 是在 (x,t) 所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在p p + d p 范围内的几率。(x,t) 与 C(p,t) 一一对应，描述同一状态。(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。若 (x,t) 描写的态

14、是具有确定动量p 的自由粒子态，即：则相应动量表象中的波函数：所以，在动量表象中，具有确定动量 p 的粒子的波函数是以动量p 为变量的 - 函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个函数。x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值x 本征函数是(x -x)。这可有本2)(),(2/pEextxptiEppdxtxxtpCp),()(*),(dxexxtiEppp/)()(*dxxxepptiEp)()(*/)(/ppetiEp名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，

15、共 16 页 - - - - - - - - - 征方程看出：()()xxxxxx( )()xxxx2. 力学量表象推广上述讨论：x, p 都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量Q 都建立一种表象，称为力学量Q 表象。（1）. 具有分立本征值的情况设算符 Q 的本征值为：Q1, Q2, . , Qn, .，相应本征函数为：u1(x), u2(x), . , un(x), .。将 (x,t) 按 Q 的本征函数展开：( , )( )( )( )*()( . )nnnnnx tat uxa tuxx t dx若 , un都是归一化的，则an(t) 也是归一化的。证明：1

16、*(, )( . )( )( )*( )( )*( )( )*()( )*( )( )*( )( )mmnnmnmnmnmnmnmnmnnnnx txt dxat uxa t ux dxat a tux ux dxat a tat a t根据矩阵形式归一化可写为：（2）. 具有连续本征值的情况)()()(21tatatan*)(*)(*)(21tatatan1212( )( )( )*( )*( )*( )( )*( )1nnnnna ta ta tatata tata tLLMM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

17、名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 设力学量 Q 的本征值和本征函数为：Q1, Q2, ., Qn, ., q u1(x), u2(x), ., un(x), ., uq(x) 则有：归一化：其中：在这样的表象中，仍可以用一个列矩阵表示：12( )( )( )( )nqa tatatatMM12( )*( )*( )*( )*nqa ta ta ta tLL3. 讨论有上述讨论可以知道，我们可以把状态看成是一个矢量态矢量。选取一个特定力学量Q 表象，相当于选取特定的坐标系，u1(x), u2(x), ., un(x),

18、. 是 Q 表象的基本矢量简称基矢。波函数12( )( )( )( )nqa tatatatMM是态矢量在 Q 表象中沿各基矢方向上的“ 分量” 。Q 表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert 空间。三、算符的矩阵表示1. 力学量算符的矩阵表示Q 表象：( , )( )( )( )( )nnqqnx ta t uxa t ux dq*( )( )*( )( )1nnqqnat a tat a t dqdxtxxutadxtxxutaqqnn),()(*)(),()(*)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

19、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - ( , )( )( )( , )( )( )mmmmmmx tat uxx tbt ux代入坐标表象：?( , )( ,)( , )?( ,)( , )xx tF x px tF xix th得到：( )( )mnmnmmmmbtFat即( )( )nnmmmb tFat。其中利用了下式：?*()( ,)( )nmnmxFux F xiux dxh从而得到 Q 表象的表达方式：( )( )1,2,nnmmmb tFatnL写成矩阵形式为简写为F例：求

20、 Lx在 L2, Lz共同表象，=1 子空间中的矩阵表示。令：u1 = Y11u2 = Y10, u3 = Y1-1，则 Lx的矩阵元计算如下：?()*,1,2,3xijixjLuL u di j利用12,1?()(1)(1)xlml mLLLL Yl lm mYh可得：)()(),(?)()(xutaixFxutbmmmxmmm)()(),(?*)(*)(tadxxuixFudxxuutbmmxnmmnmm)()()()()()(2121222211121121tatataFFFFFFFFFtbtbtbmnmnnmmn1111102101111?1)(21)?(2121)?(21YYYLLu

21、LYYLLuLxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 写成矩阵：由此可得 Lx的矩阵元为(Lx)11= (Lx)22= (Lx)33= 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12= (Lx)21= (Lx)23= (Lx)32= /21/2 2. Q表象中力学量算符F 的性质（1）.力学量算符用厄米矩阵表示?*()( )?( )( )*?*()( )*()nmnmnmmnmnnmnmFux Fux d

22、xux Fuxdxux Fux dxFFF%所以厄米算符的矩阵表示是厄米矩阵。例：在例 1 中给出了Lx, Ly在 L2, L 表象中的矩阵形式，下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。（略）（2）.力学量算符在自身表象中的形式?( )( )nnnQuxQ u x ，则 Q的矩阵元为：?*()( )*()( )nmnmmnmmnmQux Qux dxQux ux dxQ结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。3 .Q有连续本征值的情况讨论只有连续本征值的情况如果 Q 只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b的角标从可数的 n, m 换成连续变化的q，求

23、和换成积分，见下表。100000001zL000002iiiiLy0101010102xL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 分立谱连续谱)()(*xuxumn，)()(tbtamn，ndq)(),(tbtaqq)()(*xuxuqq，算符 F 在 Q 表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：?*()( ,)( )qqqqxFux F xiux dxh四、量子力学公式的矩阵表示1 .平均值公式坐标表象下：?*(, )

24、( , )Fx t Fx t dx。在 Q表象中：( , )( )( )*(, )*( )*()nnnnnnx ta t uxx tat ux?*( )*()( )( )?( )*()( )( )( )*( )mmnnmnmmnnmnmmnnmnFat ux Fat ux dxatux Fux dx atatFat写成矩阵形式为：1112112122221212( )( )*( ),*( ),*( )( )nnmmmmnnFFFa tFFFa tFatatatFFFa tLLLLLLLLLLLMLLLLLLLM即*FF2 .本征方程?( )( )FxxF写成矩阵形式为：名师资料总结 - - -

25、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 整理改写为：上式是一个齐次线性方程组：方程组不完全为零解的条件为久期方程等于零，即：求解此久期方程得到一组值：1, 2, ., n, .就是 F 的本征值。将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各i的本征矢：于是求解微分方程的问题化为求解代数根的问题。例： ? 本征函数um(x) 在自身表象中的矩阵表示。同样将 um(x) 按 ? 的本征函数展开：( )( )mnnnuxa ux，所以 um(x

26、) 在自身表象中的矩阵表示如下：nnnnnnnnaaaaaaFFFFFFFFF2121212222111211021212222111211nnnnnnnaaaFFFFFFFFF,2 ,10)(maFnmnmnn0212222111211nnnnnnFFFFFFFFFniaaaniii,2,121名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 例：求 Lx本征态在Lz表象中的矩阵表示，只讨论( =1)情况。Lx本征方程为：从

27、而有 (-2 + ?2) = 0 ，解得本征值为： = 0, ?。取 = ?代入本征方程得：解得： a1=(1/21/2) a2a3=(1/21/2) a2则 =1, Lx = ?的本征态可记为：有归一化条件得到：同理得到另外两个本征值对应的本征函数：01000010000121mmauuu3213210101010102aaaaaa0202202321aaa02022020202202321aaa22121111a221212212111111*1aa212a1|222a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

28、整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 .薛定谔方程的矩阵形式?( , )( , )ix tHx tth，按力学量算符 Q 的本征矢展开有( , )( )( )nnnx ta t ux代入薛定谔方程得到：?( )( )( )( )nnnnnnia t uxHa t uxth?( )*()( )( )*()( )nmnnmnnnia tux ux dxa tux Hux dxth( )( )nmnnmnnniatat Hth( )( ),1,2,mmnnniatHatm nthL?*()( )mnmnHux Hux dx得到：1112

29、111212222212( )( )( )( )( )( )nnnmmmnnHHHa ta tHHHa ta tita tHHHa tLLLLhMLLLLLMLLMLLLLLM简写为： iHth，其中 H，都是矩阵。四、Hellmann - Feynman定理及应用1 .引言关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数Hellmann - Feynman 定理（简称H-F 定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。（1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F 定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算；（2）利用

30、H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。2 .H-F 定理设体系的Hamilton 量 H 中含有某参量，En是 H 的本征值， n是归一21212111212110212121110名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 的束缚态本征函数（ n 为一组量子数），则?nnnEH证明：据题设， n满足本征值方程：?() |0nnHE其共轭方程为：?|()0nnHE?|() |()|0?|0?|?|nnnnnnnnnnn

31、nnnnnnnnHEHEHEEHEH3 .实例（1）证明一维谐振子 = 。证明：一维谐振子哈密顿量：方法 I：取作为参数简记为2( )2pV x222212212?2()0,1,2,ndHxdxEnnhhL0nE222122222?xdxdH)2(12221222xdxd)(212xVpnnnHE?nnxVp)(2102nnnnpxV2)(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 方法 II令 = )(21nEn

32、2?xH22221x)(2xVnnnHE?)(2)(21xVnnEnV212121)(VpHEn2?2VpV22222pV方法 III取 = )(21nEn2?2221222xdxdH22dxd22222222pdxd由HF 定理nnnHE?22)(221pnnEnp2121212)(22221Vp22pV由 HF 定理（2）证明维里定理?VrT2即nnnnrVrp)(212?2?证I. 在坐标表象)(2?22rVH将视为参数由 HF 定理22?22pHnnnHE?II.在动量表象pir?)(2?2piVpH)(?piVH由HF定理?VrEn1? Vrp1222nnp2?22rrVr)(Vr ?1? Vrp2122名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -

展开阅读全文