2022年幂的知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质amanm n a 其中m n 都是正整数 . 即同底数幂相乘,底数不变,指数相加. . 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂,底数可以是任意的实数,也可以是单项式、多项式（2）三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即amanapam np（m n ,p都是正整数） . （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原先的底数相同,它们的指数之和等于原先的幂的指数；即am namn a （m n 都是正整数） . 要点二、幂的乘方法就

2、a m na mn 其中 m n 都是正整数 . 即幂的乘方,底数不变,指数相乘 . 要点诠释：（1）公式的推广： a m n pa mnp a 0,m n p 均为正整数 （2）逆用公式：a mna m na n m,依据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题 .要点三、积的乘方法就 ab na n b 其中 n 是正整数 . 即积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘 n. 要点诠释：（1）公式的推广： abc na nb nc n n 为正整数 . n n n（2）逆用公式：a b ab 逆用公式适当的变形可简化运算过程,特殊是遇究竟数互为倒数时,计1

3、0 10算更简便 . 如：12 10 12 1.2 2要点四、留意事项（1）底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式. . 指数为 1,运算时不要遗漏. （2）同底数幂的乘法时,只有当底数相同时, 指数才可以相加（3）幂的乘方运算时,指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须留意,积的乘方要将每一个因式特殊是系数 都要分别乘方 . （5）敏捷地双向应用运算性质,使运算更加便利、简洁. . （6）带有负号的幂的运算,要养成先化简符号的习惯【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、运算：（1）4243n4 4 ；（2）2a3a4ma5a22a61a ；ym1（3）xyxyn

4、1xy1xy2nx【答案与解析】解：（1）原式 4 2 3 44 93 4 5 2 6 1 7 7 7 7（2）原式 2 a a 2 a 2 a a 2 a a （3）原式 x y n n 1 m 1 x y 2 n 1 m 1 x y 2 n m x y 2 n m2 x y 2 n m【总结升华】 （2）（3）小题都是混合运算,运算时要留意运算次序,仍要正确地运用相应的运算法就,并要留意区分同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法就在第（2）小题中 a 的指数是 1在第（ 3）小题中把 x y 看成一个整体举一反三：【变式】运算：（1）35 33p2 3 ；（2）xpx2x2p1（ p 为正整

5、数）；（3）32 22n 2（ n 为正整数）【答案】解：（1）原式5 33 332p5 3332 325 3 2 35p110 3第 1 页,共 8 页（2）原式xpx2px21xp2pp1x（3）原式26 2n 5 222n 225 2n1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、已知2x220,求 2x 的值x2x 22 2名师总结优秀学问点【思路点拨】 同底数幂乘法的逆用：【答案与解析】2解：由2x220得2x2 2202 x 5【总结升华】 （ 1）此题逆用了同底数幂的乘法法就,培育了逆向思维才能m n m na a a 类型二、幂

6、的乘方法就3、运算：（ 2）同底数幂的乘法法就的逆运用：（1）am2；（ 2）3 4 m ；（3）a3m2a ,（ 2）题中的底数是m,（3）题中的底数 a 的指数是 3m,【思路点拨】 此题是幂的乘方运算, （1）题中的底数是乘方以后的指数应是23m 62m 【答案与解析】解：（1）am2a2m. 幂（2）m3 412 m 12 m（3）a3m2a23ma6 2m【总结升华】 运用幂的乘方法就进行运算时要留意符号的运算及处理,肯定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆的乘方法就中的底数仍可以为单个数字、字母,也可以是单项式或多项式. 4、已知x2m5,求1x6m5的值5【答案与解析】解：x2 m

7、5,1x6m51 x2 m3a5n1a3 5m52 0555amnmn（2）此题培育了同学的整体思想和逆向思维才能【总结升华】 （1）逆用幂的乘方法就：举一反三：【变式 1】已知xax2,xb33求x3a2b的值8 972【答案】2 b3m2332a xb x2解：x3 a2 bx3a542n 的值【变式 2】已知 8m, 8n,求8【答案】解：由于83 mm 8 343n64, 82nn 8 25225. 所以83 m2n3 8m8264251600.类型三、积的乘方法就5、指出以下各题运算是否正确,指出错误并说明缘由：（1）ab22 ab ；（ 2）4ab3643 3a b ；（3） 33

8、 x296 x 【答案与解析】解：（1）错,这是积的乘方,应为：ab22 2a b （2）对（3）错,系数应为9,应为： 33 x296 x 【总结升华】 （1）应用积的乘方时,特殊留意观看底数含有几个因式,每个因式都分别乘方（2）留意系数及系数符号,对系数1 不行忽视【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、运算：名师归纳总结 1b23b25b2；第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x2 22yx3名师总结优秀学问点【答案与解析】解：（1）b232b25xb2b223 5 1b292 5（2）xxx2 2y3x2 3 2 【总结

9、升华】 （1）同底数幂相乘时,底数可以是多项式,也可以是单项式（2）在幂的运算中,常常用到以下变形：a nann 为偶数 ,abnbba nn 为偶数ann 为奇数n a n 为奇数类型二、幂的乘方法就2、运算：a2b2 3；12；（2）y32y232yy5；（1）（3）xm（ 4）x2m4x323 x4【答案与解析】解：（1）a22 b 33ayb 2 3ayb68m2y622y60（2）3 yy22y5y662y6（3）mxmxm6x2m24x12x42m221x8m210 xx2（4）3 xx34x61218 x【总结升华】 （1）运用幂的乘方法就进行运算时要留意符号的运算及处理,肯定不

10、要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆（2）幂的乘方的法就中的底数仍可以为单个数字、字母,也可以是单项式或多项式3、已知 8m4, 8n5,求3 8m2n 的值3 8m2n 变成83m82nm 8 3n 8 2,再代【思路点拨】 由于已知 8 ,8 mn的值,所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把入运算 .【答案与解析】解：由于83 mm 8 34364, 82nn 8 25225. m . 把 8 , 8n 当成一个整体问题就会迎刃而解.所以83 m2n3 8m82n64251600. 【总结升华】运用整体的观念看待数学问题,是一种重要的数学思维方法同时看到敏捷地双向应用运算性质,使运算更加便利、简洁

11、. 举一反三：【变式】已知a3m2,b2m3,就a2m3bm62 a b3 mbm【答案】 5；提示：原式3 am2b2m3a3m22 bm2 原式223 3222 3 5. 类型三、积的乘方法就4、运算：.（1）2xy24（2）a24 a b33 3 【思路点拨】 利用积的乘方的运算性质进行运算【答案与解析】解：（1）2xy24 14 2x4y24164 8x y （2）留意系数及系数符（2）a24 a b33 3 a2312 9a b3a6a36b2742 a b27【总结升华】 （1）应用积的乘方时,特殊留意观看底数含有几个因式,每个因式都分别乘方号,对系数 1 不行忽视举一反三：【变式

12、】以下等式正确的个数是 a6m3a633 a91002第 3 页,共 8 页22 x y3366 x y9a2m30.51005 5 107 7 1035 1035101 20.5 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 1个 B. 2个 C. 3名师总结优秀学问点个个 D. 4【答案】 A；提示：只有正确；22 x y3386 x y9；a2m3a6m；3a632718 a；5 10 57 10 735 10 123.5 10 13同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法就同底数幂相除,底数不变,指数相减,即amanam n

13、（ a 0, m n、 都是正整数,并且mn ）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同,被除式的指数大于除式指数,0 不能作除式 . （3）当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质. （4）底数可以是一个数,也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂0任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 即 a 1（ a 0）要点诠释： 底数 a 不能为 0,0 无意义 . 任何一个常数都可以看作与字母 00 次方的积 . 因此常数项也叫 0 次单项式 . 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的 n （ n 为正整数）次幂,等于这个数的 n 次幂的

14、倒数,即 a n 1n（ a 0, n 是正整数） . a引进了零指数幂和负整数指数幂后,指数的范畴已经扩大到了全体整数,以前所学的幂的运算性质仍旧成立 . a a m na m n（ m 、 n 为整数,a 0）；m m mab a b （ m 为整数,a 0,b 0）m n mna a（ m 、 n 为整数,a 0）. 要点诠释：a na 0 是 a 的倒数, a 可以是不等于 n0 的数,也可以是不等于 0 的代数式 . 例如 2 xy 1 12 xy（xy 0）,a b 5 15（a b 0） .a b要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个肯定值大于10 的数表示成a10n的形式,其

15、中n 是正整数, 1 |a| 10a| 10. （2）利用 10 的负整数次幂表示一些肯定值较小的数,即a10n的形式,其中n 是正整数, 1 |用以上两种形式表示数的方法,叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、运算：（1）x83 x ；（2）a3a ；（3）2xy 52xy2；（4）151333【思路点拨】 利用同底数幂相除的法就运算【答案与解析】解：（1）x8ax3ax8 3a5 x 2 a （2）33 1 2 、 4 两小题要留意符号（3）2xy52xy 22xy 5 22xy 383 3x y （4）151315 3121 93333【总结升华】 （1）运用法就进行运

16、算的关键是看底数是否相同2、运算以下各题：（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号名师归纳总结 （1）xy5xy（2）5a2 122b5 5第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）36 10 436 10 2（4）x名师总结3优秀学问点x2 43 2 2y【思路点拨】（1）如被除式、除式的底数互为相反数时,先将底数变为相同底数再运算,尽可能地去变偶次幂的底数,如5a2 122b5 12（2）留意指数为1 的多项式如xy 的指数为 1,而不是 0【答案与解析】解：（1）xy 5xyxy 5 1xy 452b5 7x2y （2）5a1

17、2 2 2b5 52b5 122b5 （3）36 10 436 10 26 3 10 4 26 3 10 289 1012（4）x3 3 2 2y2 x 4x2 9x2 x2 9 8【总结升华】 底数都是单项式或多项式,把底数作一个整体利用同底数幂的除法法就进行运算3、已知 3 m2, 3n4,求9m1 2n 的值323m 3 2432【答案与解析】解：9m1 2n9m12 3 m12 3m22 3m4n2 332m92n2 3 2n34n3n 3 4n 3 当 3 m2, 3n4时,原式22442 39m ,3n 的式子,再代入求值此题是把除式写成了分数64【总结升华】 逆用同底数除法公式,

18、设法把所求式转化成只含的形式,为了便于观看和运算,我们可以把它再写成除式的形式举一反三：5m52m ,求 m 的值2m11,5m11,【变式】已知2【答案】2m 得5m12m1,即5m1解：由 25m52底数5 2不等于 0 和 1,150,即m10,m5m122类型二、负整数次幂的运算4、运算：（1）22；（2）2 a b31 a b3ab13【答案与解析】解：（1）2321219 4；3 a b3ab0 a bb 32493（2）2 a b1 a b3ab12 a b3【总结升华】 要正确懂得负整数指数幂的意义举一反三：【变式】运算：2514212320 3.142【答案】解：251421

19、2320 3.14121第 5 页,共 8 页2名师归纳总结 14 211211161 2252233281511716132832- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、 已知m 31,1n16,就名师总结优秀学问点n m 的值 _272【答案与解析】解：3m1133,m3,n44 2 ,然后确定 m 、 n 的值,最终代值求n m 273 31n224n ,164 2 ,2n2n m 341411n2n ,16 381【总结升华】 先将1 27变形为底数为3 的幂,2举一反三：【变式】运算： （1）1 2a b c32；（ 2）2 b c312 b

20、c33；2【答案】解：（1）原式2 4a b c6b46128 b82 a c（2）原式2 b c36 8 b c98 8 b c12 c类型三、科学记数法6、用科学记数法表示以下各数：（1）0.00001 ；（ 2）0.000000203 ；（3）-0.000135 ；（4） 0.00067 【答案与解析】解：（1）0.00001 105；（2）0.000000203 2.03 107；（3）-0.000135 1.35104；（4）0.00067 6.7104. 【总结升华】 留意在a10n中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）【巩固练习】一. 挑选题

21、1. c3c5的值是 D.c88第 6 页,共 8 页A. c8B. c15C. 15 c2anan2的值是 D. aA. an3B. an n2C. a2n23以下运算正确选项 A.x2x24 x B.x3x x4x7C. a44 aa16 D.a a2a34以下各题中,运算结果写成10 的幂的形式,其中正确选项 . A. 100 2 10 3 10 B. 100010101030C. 100 3 10 5 10 D. 100 10001045以下运算正确选项 A.xy33 xyB.5xy2252 x y4C.3x229x4D.2xy2383 x y66如2m a bn39 8 a b15成

22、立,就 A. m 6, n 12 B. m 3, n 12 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点C. m 3, n 5 D. m 6, n 5 二. 填空题7. 如 2 m 6, 2 n 5,就 2 m n _8. 如 a 3 xa a 19,就 x _9. 已知 a 3 n5,那么 a 6n_10如 a 3a ma ,就 m _；如 83 3 x 181,就 x _11. 2 2 3_；n 3 3 _ ；3 2 5_2 n 3 n 2 2 2 n12. 如 n 是正整数,且 a 10,就 a 8 a _. 三. 解答题

23、13. 判定以下运算的正误（1）3 xx36 x （2）y3235 y （3） 2ab2222 a b4（）（4）xy224 xy 14. （1）xx38x43；（2）1 32 a b33 a b22；（3）103 0.3 10 0.45 10 ；（4）b2a32ab5；（5）5 a623 a333 a ；15. （1）如n xax3n3b35 x3,求 n 的值（2）如nbm9 a b15,求 m 、 n 的值【答案与解析】一. 挑选题1. 【答案】 D；【解析】c3c5c3 5c88 c . 2. 【答案】 C；【解析】anan2an n2a2n2. 8 x ；a4a48 a . 3. 【

24、答案】 D；【解析】x2x222 x ；x3x x44. 【答案】 C；1013 10；100 10005 10 . 【解析】 1002 10 4 10 ；1000105. 【答案】 D；【解析】xy33 3x y ；5xy22252 4x y ；3x2294 x . 6. 【答案】 C；【解析】m 2 a bn38a3m b3n89 a b15,3m9,3n15,解得 m 3, n 5. 二. 填空题7. 【答案】 30；【解析】 2m nm 22n6530. . 8. 【答案】 6；a 19,3x119,x6【解析】a3x19. 【答案】 25；【解析】a6n3 an22 525. 10.

25、 【答案】 5；1；【解析】a3ama3ma8,3am38,m25；3 3x1814 3 ,3x14,x1. 第 7 页,共 8 页211. 【答案】 64；9 n ；10 3；12. 【答案】 200；2n8an1000800200. 28a22n【解析】3 an名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点三. 解答题 13. 【解析】解：（1） ；（2） ；（ 3） ；（4）14. 【解析】解：（1）xx38x43x x2412 xx37；105；8 1.2 10 ；（2）6 4a b ；12 3a b33 a b2216 a b9327（3）103 0.3 10 0.45 10 0.30.4 10 103（4）b2 a32 ab52 ab32 ab52 ab8（5）5 a623 a33a325a1227a9a3212 a. 15. 【解析】解：（1）n xx3n3x3539 a b15第 8 页,共 8 页x 4 n 3x 354 n 335 n 8 （2） m 4, n 3 解：anbmb39 15a b3 n 3 m 3 3 n 3 ma b b a b3 n 9 且 3 m 315 n 3 且 m 4 名师归纳总结 - - - - - - -