331两直线的交点坐标.ppt

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1、 在平面几何中，我们只能对直线作定性的研究在平面几何中，我们只能对直线作定性的研究.引入引入平面直角坐标系后，我们用方程表示直线，平面直角坐标系后，我们用方程表示直线，直线的方程直线的方程就是直线上每一点的坐标满足的一个关系式，即一个二就是直线上每一点的坐标满足的一个关系式，即一个二元一次方程元一次方程.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，这样，我们可以通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究. 上一节，我们在平面直角坐标系中建立了上一节，我们在平面直角坐标系中建立了直线的方程直线的方程.这一节，我们将通过直线方程，用这

2、一节，我们将通过直线方程，用代数方法代数方法解决直线的有解决直线的有关问题，包括关问题，包括求两条直线的交点，判断两条直线的位置关求两条直线的交点，判断两条直线的位置关系，求两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间系，求两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离的距离等等.3.3.1 两条直线的交点坐标 11112222:0,:0lA xB yClA xB yC已知两条直线 相交，如何求这两条直线交点的坐标？几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示A点 l直 线 Al点 在 直 线 上12llA直线 与直线 的交点 ( , )A a b:0lAxByC0AaBbC( , )A

3、a b点的坐标满足方程组11122200A xB yCA xB yC看下表，并填空看下表，并填空 用用代数方法代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解条直线的方程，然后联立求解. .一般的将两条直线的方程联立，得方程组一般的将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有若方程组有唯一解唯一解，则两条直线，则两条直线相交相交，此解就是，此解就是交点的坐标；若方程组交点的坐标；若方程组无解无解，则两条直线，则两条直线无公共点无公共点，此时两条直线此时两条直线平行平行. .1112220,0.AxB yCA xB yC 讲解新课：讲解新课：两

4、条直线的交点：两条直线的交点： 如果两条直线如果两条直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，由相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成的方程组组成的方程组 的解的解. .A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 反之，如果方程组反之，如果方程组 只有一个解，只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线那么以这个解为坐标的点就是直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2

5、=0=0的交点的交点. .A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0 例例1 1 求下列两条直线的交点坐标：求下列两条直线的交点坐标： l1：3x+4y3x+4y2=02=0， l2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.解：解方程组解：解方程组3x+4y2 =02x+y+2 = 0l1与l2的交点是的交点是M M（- 2- 2，2 2）x= 2y=2得得练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: : l l1 1：x x2y+2=02y+2=0， l l2 2：2x2xy y2=0.2=0.解：解方程组解：解方程组x2y+2=0

6、2xy2=0ll1 1与与l l2 2的交点是（的交点是（2 2，2 2）设经过原点的直线方程设经过原点的直线方程为为 y=k x把（把（2 2，2 2）代入方程，得）代入方程，得k=1k=1，所求方程，所求方程为为y=xx= 2y=2得得探究：探究：当当变化时，方程变化时，方程3x+4y-2+3x+4y-2+(2x+y+2)=0 (2x+y+2)=0 表示什么图形？图形有何特点？表示什么图形？图形有何特点？ 将将x=-2x=-2，y=2y=2代入上述方程，无论代入上述方程，无论是什么数，是什么数，都有都有 0+0+0=0 0=0 恒成立恒成立. .因此，它表示的图形是经过点（因此，它表示的图

7、形是经过点（-2-2，2 2）的直线系）的直线系. . 说明说明x=-2x=-2，y=2y=2是此方程的一组解，或是方程是此方程的一组解，或是方程所表示的直线上的一个点所表示的直线上的一个点. . 当当取不同的值时，所得直线方程也不同，取不同的值时，所得直线方程也不同，但都经过点但都经过点(-2,2).(-2,2).yx0-22 A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0是过直线是过直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系的交点的

8、直线系方程方程. . 补例补例 求直线求直线3x+2y3x+2y1=01=0和和2x2x3y3y5=05=0的交点的交点M M的坐的坐标，并证明方程标，并证明方程3x+2y3x+2y1+1+（2x2x3y3y5 5）=0=0（为任意为任意常数）表示过常数）表示过M M点的所有直线（不包括直线点的所有直线（不包括直线2x2x3y3y5=05=0）. .证明：联立方程证明：联立方程3x+2y1=02x3y5=0oxy(1, - 1)M解得解得：x=1y= - 1代入：代入：x+2yx+2y1+1+（2x2x3y3y5 5）= 0= 0得得 0+0=0MM点在直线上点在直线上M（1，- 1）即即 练

9、习：求经过两条直线练习：求经过两条直线x+2yx+2y1=01=0和和2x2xy y7=07=0的交点，的交点，且垂直于直线且垂直于直线x+3yx+3y5=05=0的直线方程的直线方程. .解法一：解方程组解法一：解方程组x+2y1=0，2xy7=0得得x=3y= 1这两条直线的交点坐标为（这两条直线的交点坐标为（3 3，-1-1）所求直线的斜率是所求直线的斜率是3 3所求直线方程为所求直线方程为y+1=3y+1=3（x x3 3）即）即 3x3xy y10=010=0解法二：所求直线在直线系解法二：所求直线在直线系2x2xy y7+7+（x+2yx+2y1 1）=0=0中中经整理，可得（经整

10、理，可得（2+2+）x+x+（221 1）y y7=07=0因此，所求直线方程为因此，所求直线方程为3x3xy y10=010=0又又直线直线x+3yx+3y5=05=0的斜率是的斜率是13解得解得 =17 2321利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系已知方程组已知方程组A1x+B1y+C1=0 （1）A2x+B2y+C2=0 （2）当当A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2全不为零时全不为零时（1 1）B B2 2（2 2）B B1 1得（得（A A1 1B B2 2A A2 2B B1 1）x=Bx=B1 1C

11、 C2 2B B2 2C C1 1讨论：讨论：当当A A1 1B B2 2A A2 2B B1 100时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当A A1 1B B2 2A A2 2B B1 1=0=0， B B1 1C C2 2B B2 2C C1 10 0 时，方程组时，方程组无解无解当当A A1 1B B2 2A A2 2B B1 1=0=0， B B1 1C C2 2B B2 2C C1 10 0 时，方程组时，方程组有无穷多解有无穷多解. .12211221BCB CxABA B12211221C AC AyABA B 上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的上述方程组的解的各种情况

12、分别对应的两条直线的什么位置关系？什么位置关系？当当 时，两条直线相交，交点坐标为时，两条直线相交，交点坐标为 2121BBAA当当 时，时，两直线平行两直线平行.111222ABCABC1221122112211221(,)BCB CC AC AABA BABA B当当 时，时，两条直线重合两条直线重合; ;111222ABCABC已知两直线已知两直线 l l1 1:x+my+6=0,:x+my+6=0, l l2 2:(m-2)x+3y+2m=0:(m-2)x+3y+2m=0， 问当问当m m为何值时，直线为何值时，直线l l1 1与与l l2 2： (1)(1)相交，相交，(2) (2)

13、 平行，平行，(3) (3) 垂直垂直练习练习 例例2 2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：出交点的坐标：（1 1）l l1 1:x-y=0, l:x-y=0, l2 2:3x+3y-10=0;:3x+3y-10=0;（2 2）l l1 1:3x-y+4=0, l:3x-y+4=0, l2 2:6x-2y=0;:6x-2y=0;（3 3）l l1 1:3x+4y-5=0, l:3x+4y-5=0, l2 2:6x+8y-10=0;:6x+8y-10=0; 0,133100,xyxy解： 解方程组5,35.3xy得125 53 3ll

14、M所以， 与 相交，交点是 （ ，）. 340,26210,xyxy 解方程组 2-得9=0，矛盾，12/ / .ll方程组无解，所以两直线无公共点， 3450,368100,xyxy解方程组68100 xy 2得因此，和可以化成同一个方程，12ll即和表示同一条直线， 与 重合. (21)(3)(4)0 xy 不论 取何实数，直线都过定点(4)122 1:420: 220lAxylxByAB 若点（ ， ）是直线 与直线的交点，则(1)280, 431002100axyxyxya 三 条 直 线 与相 交 于 一 点 ， 则 实 数 (2)71(1,1)12:690: 23150lAxylx

15、yA若直线 与平行，则(3)4（5）两条直线）两条直线x+my+12=0和和2x+3y+m=0的交点在的交点在y轴上，轴上，则则m的值是的值是_ 6（7 7）直线）直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0重合，则必有重合，则必有( )( ) （A A）A A1 1=A=A2 2，B B1 1=B=B2 2，C C1 1=C=C2 2 （B B） （C C）两条直线的斜率相等截距也相等）两条直线的斜率相等截距也相等 （D D）A A1 1=mA=mA2 2，B B1 1=mB=mB2 2，C C1 1=mC=

16、mC2 2，（，（mRmR，且，且m0m0）2 21 12 21 12 21 1C CC CB BB BA AA A课堂练习课堂练习P104 T1，2（6）若直线）若直线kxy+1=0和和xky = 0相交，且交点在第二相交，且交点在第二 象限，则象限，则k的取值范围是的取值范围是( ) （A）（）（- 1，0） （B）（）（0，1 （C）（）（0，1） （D）（）（1，）DA1.点与直线的关系点与直线的关系 (1)点点 在直线在直线 上上000AxByC0CByAx00, yxP小结小结111222:lyk xblyk xb1111yk xbyk xb00(x ,y )为方程组的解 (2)点

17、点 是两条直线是两条直线 的交点的交点00, yxP2.两条直线的位置关系：平行、相交、重合两条直线的位置关系：平行、相交、重合0,0A:0A:2211222222111111不为或或BABACyBxbxkylCyBxbxkyl(1)、212121212121AAb/CCBBbkkll或且(2)、21212121BBAAkkll或相交与(3)、212121212121CCBBAAbbkkll或且重合与 （注：如果（注：如果A1，A2，B1，B2中有一个为中有一个为0，另行讨论），另行讨论）A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+（A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2）=0=0是过直是过直线线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直的交点的直线系方程线系方程. .直线系直线系课后作业课后作业P109 T1,2,3