2022年初二数学寒假培优班讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 分式主要公式 ： 1. 同分母加减法就 :bcbac a00; aa2. 异分母加减法就 :bdbcdabcda a ac0,cacacac3. 分式的乘法与除法 :b d bd ,b c b da c ac a d a c4. 同底数幂的加减运算法就 : 实际是合并同类项bd ac5. 同底数幂的乘法与除法 ;a 6. 积的乘方与幂的乘方 :abm a n =a m+n; a m a n =a mnm= a m b n , a m n= a mn 7. 负指数幂 : a-p= 1 p a a0=1 8. 乘法公式与因式分解 : 平方差

2、与完全平方式a+ba-b= a 2- b 2 ;a b 2= a 2 2ab+b 2例 1、当 x 有何值时,以下分式有意义（1）x4（2）x3 x2x42例 2、当 x 取何值时,以下分式的值为0. （1）x1（2）|x|2x3x24例 3、当 x 为何值时,分式84x为正；例 4、已知：115,求2x3 xy2y的值 . xyx2xyy例 5 已知：x12,求x21的值 . xx2例 6、如|xy1| 2x3 20,求4x12y的值 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7、运算：（1）m2 nmnn2m；

3、（2）a21a1；nmnma例 8、先化简后求值a1aa2241a11,其中 a 满意 a=2. a22a2例 9、解以下分式方程（1）x113；2xa1（2）xx32x43；x例 10、如分式方程的解是正数,求 a 的取值范畴 . x2例 11甲、乙两人分别从两地同时动身,如相向而行,就a 小时相遇,如同向而行,就 b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（）；ba（A）abb Babb Cba a Dbba例 12. A 、B 两位选购员同去一家饲料公司购买两次饲料,两次饲料的价格有变化,但两位选购员的购贷方式不同,其中,选购员A 每次购买 1000 千克,购贷员 B 每次用去 800

4、元,而不管购买饲料多少,问选用谁的购贷方式合算？（）（A） B （C都一样 D 不能确定例 13某林场原方案在肯定期限内固沙造林240 公顷,实际每天固沙造林的面名师归纳总结 积比原方案多 4 公顷,结果提前 5 天完成任务,设原方案每天固沙造林x 公顷,第 2 页,共 48 页依据题意列方程正确选项（）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）240 x52404（B）240 x52404xx（C）240 x52404（D）240 x524040.5xx例 14某校用 420 元钱到商场去购买“84” 消毒液,经过仍价,每瓶廉价元,结果比用原价多买了

5、20 瓶,求原价每瓶多少元？例 15. 翻译一份文稿,用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75 倍,电脑翻译 3300 个字的文稿比人工翻译少用 与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？练习：1当 x 取何值时,以下分式有意义：2 小时 28 分；求用人工翻译（1）6|13（2）x31 x1（3）1112x|x2当 x 为何值时,以下分式的值为零：名师归纳总结 （1）5|x41|b26b（2）25x2b的值 . 第 3 页,共 48 页xx26x53、如a22a100,求2 a3 a5b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4运算（1）2a5a12a3；

6、（2）a2b1b22 aba；b2a12 a12 a1a（3）ab2 b2；（4）111x2bax1x27解以下方程：（1）x112 x0；（2）xx32x43；x12 x8已知关于 x的分式方程2a1a无解,试求 a的值 . x1名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次讲 二次根式一、基础学问：1. 二次根式：形如a （a0）的式子叫二次根式；2. 二次根式的性质：a0（a0）a2a （a0）2 a 特殊要留意a0a2a a00a a留意：对于二次根式要明确被开方数必需是非负数；化简时,a2a3. 二次根式的乘除：

7、乘法：abab a0,b0除法：aa a b0,b0b二次根式乘除法就的逆用；最简二次根式：当二次根式满意：a. 被开方数不含分母,即被开方数中因数是整数,因式是整式 ; b. 被开方数中不含开得尽方的因式这两个条件时,我们称这样的二次根式为 最简二次根式；加减实质是同类项合并；二、例题：名师归纳总结 1、化简：3753 x y2x0,y0_ ；2 2532第 5 页,共 48 页2、2xy8y,12273、运算：25_, 6 1 2_ _ 4、运算22022322022x22x3,就,xy5、已知y46、运算：2118411 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

8、 - - - 7、先化简,再求值：xx2x2x2x1x21,其中x322x18、运算：（1）271245；0 -911（2）83113；322（3）|1 2 | + （314- ）29、当 a取什么值时,代数式2 a11 取值最小,并求出这个最小值；10. 已知x23x10,求2 x12的值；2 x11. 已知a b 为实数,且1ab11b0,求a2005b2006的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12如 x,y 是实数,且yx11x1,求|1y 的值；12y13. 观 察 下 列 等 式 ： 11=2 +1

9、 ； 312=3 +2 ；2413=4 + 3 ； ,n1n=20221；（n 为正整数）（1）、请用字母表示你所发觉的律：即1（2）化简运算：（11221314 2022）3四、练习名师归纳总结 1 . 以下各式肯定是二次根式的是（）a2a2第 7 页,共 48 页A .7B .32 mC.x21D .3ba2. 如x2 有意义,就 的取值范畴A .x2B .x2C x2D.x23在15 ,1 ,611,40 中最简二次根式的个数是（）2A1 个B2 个C3 个D4 个4以下各式正确选项（）Aa2aB2 aaCa2aD5如 1x2,就x3x12的值为（）A2x-4 B-2 C4-2x D2

10、624n 是整数,就正整数 n 的最小值是（）A4；B5；C6；D7 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7.假如最简根式3a8 与172a 是同类二次根式, 那么使4a2x 有意义的名师归纳总结 x 的范畴是（）2的第 8 页,共 48 页A、x10 B、x10 C、x10 8、如 a,b,c 为三角形的三边, 化简abc 2bca2bca结果是 A、a-b+c B、 a+b-c 21C、a+b+c D、-a+b+c10. 当 _ 时,x x1 2x 有意义；x11. 如m11有意义,就 m 的取值范畴是；m12. 如4 x22x ,就 x 的取值范畴

11、是；13. 已知x222x ,就 x 的取值范畴是；14. 化简：x22x1x1的结果是；15. 当1x5时,x12x5_；16. 如ab1与a2 b4互为相反数,就ab2005_；17. 如 2a3,就2a2a32等于（）A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a118. 如a1,就1a3化简后为（）A. a1a1 B. 1a1aC. a11a D. 1aa119. 运算：2a1212 a2的值是（）A. 0 B. 4a2 C. 24a D. 24a 或 4 a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第三讲 勾股定理例 1、已知直角三角形的两边

12、长为3、4,就另一条边长是 _例 2、已知两条线段的长为 9cm 和 12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形 . 例 3、已知 Rt ABC 中, C90 0,AB 边上的中线长为 2,且 ACBC6,就SABC例 4、已知一个三角形的三边长分别是 角形的面积吗？练习：12cm,16cm,20cm,你能运算出这个三1、在 ABC 中,如其三条边的长度分别为 9、12、15,就以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 _ 2、假如梯子底端离建筑物 _ 9m,那么 15m 长的梯子可达到建筑物的高度是3、已知直角三角形的两边长分别为 7 和 24,就第三边长为4、假

13、如一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的 那么这个直角三角形的周长是2 倍,斜边长是 5 cm,例 5、已知直角三角形的两条直角边长为6,8,那么它的最长边上的高为 （ ）A、6 B、8 C、24 5D、12 5例 6、一等腰三角形底边长为10cm,腰长为 13cm,就腰上的高为 A. 12cm B. 60cmC.120cmD.13cm13135练习：1、CD 为直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高,如 AB = 10,AC：BC = 3：4,就这名师归纳总结 个直角三角形的面积为（C、）D、 24 第 9 页,共 48 页 A、6 B、8 12 - - - - - - -精选学习资料

14、- - - - - - - - - 2、直角三角形的两直角边分别为5、12,就斜边上的高为（）A、6 B、8 C、80D、60AB 翻折后得13133、在同一平面上把三边BC=3,AC=4、AB=5 的三角形沿最长边到 ABC ,就 CC的长等于（）A、12 5B、13 5C、5 6D、24 5例 7、已知长方体的长为2cm、宽为 1cm、高为 4cm,一只蚂蚁假如沿长方体的表面从 A 点爬到 B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少 .例 8、如图,长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm,高为 6cm假如用一根细线从点 A 开头经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要cm

15、；假如从点 A 开头经过 4 个侧面缠绕 n 圈到达点 B,那么所用细线最短需要cmADCBB 3cm 1cm A2023A D C B 6cm 例 9 BA 例 8 例 7 例 9、如图,是一个三级台阶, 它的每一级的长、 宽、高分别为 20dm、3dm、2dm,.A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,就蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 10、如图,大路上A,B 两点相距 25km,C,D 为两村庄,DA AB 于 A,C

16、BAB 于 B,已知 DA=15km ,CB=10km,现在要在公 路 AB 上 建一车站 E,（1）使得 C,D 两村到 E 站的距离相等, E 站建在离 A 站多少 km 处？（2）DE 与 CE 的位置关系（3）使得 C,D 两村到 E 站的距离最短, E 站建在离 A 站多少 km 处？D C A E B 例 11、台风是一种自然灾难,它以台风中心为圆心在四周数十千米范畴内形成气旋风暴,有极强的破坏力如下图,据气象观测,距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米的 B 处有一台风中心, 其中心最大风力为12 级,每远离台风中心 20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15 千米时的

17、速度沿北偏东30 0方憧憬 C 移动,且台风中心风力不变；如城市所受风力达到或超过四级,就称为受台风影响；（1）该城市是否会受到这次台风的影响. 请说明理由；. C（2）如会受到台风影响,那么台风影响该城市的连续时间有多长（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级. AB12 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习1、已知,如图,折叠长方形的一边AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知 AB = 8cm,BC = 10 cm,EC 的长是 _ 2、如图,从电线杆离地面 6 m 处向地面拉一条长 10 m 的

18、缆绳, 这条缆绳在地面 的固定点距离电线杆底部 _m A DEBFC3、为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如下列图AB 所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点 C 和点 D 处,CAAB 于 A,DB AB于 B,已知 AB = 25km ,CA = 15 km,DB = 10km,试问：图书室 E 应当建在距点 A 多少 km 处,才能使它到两所学校的距离相等. AxEBD名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四讲 函数的初步熟悉学问点一：变量1、确定自变量、因变量2、求变量的值或取值范畴例 1

19、、写出以下各问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量（1）圆的周长 C 与半径 r 的函数关系式（2）厦门 BRT 以 60km/h 的速度行驶,它行驶的路程S（km）与所用的时间t（h）的函数关系式；（3）n 边形的内角和度数S 与边数 n 的函数关系式（4）n 边形对角线条数 S 与边数 n 的函数关系式（5）等腰三角形顶角度数y 与底角的度数 x 之间的函数关系式（6）已知等腰三角形的面积为 20,设它的底边长为 x,求底边上的高 y 关于 x 的函数关系式（7）在一个半径为 10 的圆形纸片中剪出一个半径为 求圆环的面积 S 关于 r 的函数关系式r 的同心圆得到一个圆环,（8）一个

20、正方形边长为3,它的各个边长削减x 后,得到的新的正方形的周长为 y,求 y 与 x 的函数关系式例 2、指出以下自变量 x 的取值范畴：名师归纳总结 （1）y=3x-3（2）y=2 x2+7（3）y=x12（4）y=x-2第 13 页,共 48 页+- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3、找出以下哪些是函数y=2x-1y= -x+2y=x2y=1-1xy=3-3xy= -3x例 4、当 x=16 时,函数 y=x +2 的值为 _ 练习：1、在圆周长公式 C=2 r 中,变量个数是（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2、函数 y=x1

21、 中,自变量 x 的取值范畴为 _ 3、已知等腰三角形的周长为 并注明 x 的取值范畴学问点二：表达方法20,底边长为 y,腰长为 x,写出 y 与 x 的函数关系式 ,1、图像法2、列表法3、解析法例 1、（1）图像法问题 1、这一天 6 时、 10 时、14 时的气温分别是多少？问题 2、这一天中,最高气温是多少？最低气温是多少？问题 3、这一天中,什么时段的气温在逐步上升？什么时段的气温在逐步降低？（2）、列表法 一、下表是 2006 年 8 月中国人民银行公布的“ 整存整取” 年利率名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - -

22、- - - 存期 X 三月六月一年二年三年五年年利率 y%）1.80 2.25 252 3.06 3.69 4.14 （3）、解析式法设 S 表示圆的面积, r 表示圆的半径, 就 S 与 r 之间满意以下关系, S= 2r , 假设 取 3,填写以下表格半径 r 1 2 3 4 圆面积 S 3 故有 S=32r ,学问点三：平面直角坐标系1、象限坐标,X、Y 轴坐标 2、点对称问题 3、点到坐标轴的距离 例 1、请在同始终角坐标里描出以下各点： A3,8, B-3,8, C-3,-8 ,D3,-8 E3,0 F0,3 G-3,0 H0,-3我们发觉每个象限内点的特点：_ 备用图坐标轴上点的特

23、点： _ 我们又发觉 A,B 关于_ _对称, A,D 关于 _ _对称, A,C 关于 _ _对称名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如点 Q2,3关于 Y 轴的对称点为 _,关于 X 轴的对称点为 _,关于原点的对称点为 _ 例 2、点a2,a21, a0,在第 _象限例 3、点（ a,2）和点（ -2,b）关于 Y 轴对称,就 a= _,b=_ 例 4、已知 A（-1,-1）,B1,1,点 A 到 X 轴的距离为 _,点 B 到 Y 轴的 距离为 _,AB 两点间的距离为 _ 例 5、如 A 2, a 到 X

24、 轴的距离为 3,就 A 点坐标为 _ 例 6如点 P一 3,一 4的横坐标变为相反数,纵坐标乘以一 2,此时新点的坐 标是 _ 例 7、假如 ab0,且 ab0,那么点 a,b在 A第一象限 B其次象限 C第三象限 , D第四象限 .练习：1、判定以下各题：（ 2,3）和（ 3,2）表示同一个点（）0（）点（ 4,-1）和（ -4, 1）关于原点对称（坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为点2 ,3 ,在第一象限（）2、点 A-2,3关于 X 轴的对称点为 _,关于 Y 轴的对称点为 _,关于 原点的对称点为 _ 3、如点 Pa,b在第四象限 ,就点 Qb,a在第_象限 . 4、点 P2,

25、3到 x 轴的距离是 _,到 y 轴的距离是 _ 5、如点 a,3与点2,b关于 x 轴对称 ,就 a=_,b=_ 6、已知点 M3x2,2x+1在 x 轴上,就 M 点的坐标为 _ 7、如 m+n0,就 Pm,n 在第 _象限8、小丽的爷爷饭后出去漫步,从家中走20 分钟到一个离家 900 米的街心花园,与伴侣谈天 10 分钟后,用 15 分钟返回家里 .下面图形中表示小丽爷爷离家的时名师归纳总结 间与外出距离之间的关系是（）第 16 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综合练习：1、点（ 0,-2）在（）. C第三象限内D第Ax 轴上

26、By 轴上四象限内2、求以下函数中自变量x 的取值范畴：（3） y=x12（1） y3x1 （2） y2x 27 （4） yx22（5）y=-2x-5x（6）y=x（x+3）（7）y=6x3（8）y=2x1x3、 已知点 P 在第四象限,它的横坐标与纵坐标的和为l,点 P 的坐标可以是_只要求写出符合条件的 -个点的坐标即可 . 4、如图,矩形 ABCD 中,已知 A（-4,1）,B（0,1）,C（0,3）,就点 D 的名师归纳总结 坐标为；D y C x 第 17 页,共 48 页A o B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、请在同始终角坐标里描

27、出以下各点：F0,4 G-4,0 H0,-4 A3,8, B-3,-8, C-3,8 ,D3,-8 E4,0 备用图名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第五讲 一次函数学问点一：图像画图像三步骤：列表、描点、连线例 1、已知函数y5x3,当 x_时,函数值为 0；例 2、当 x= 时,P（1+x,1-2x）在 x 轴上；例 3、在同一坐标系内画出以下函数的图像：yx3yx7步骤一：列表X 0 0 X 0 0 Y Y 步骤二：描点 步骤三：连线备用图练习1、在同一坐标系内画出以下函数的图像：名师归纳总结 - - -

28、- - - -第 19 页,共 48 页精选学习资料 - - - - - - - - - yx3yx7步骤一：列表X 0 0 步骤三：连线X 0 0 Y Y 步骤二：描点备用图学问点二：图像与 X、Y 轴的交点坐标1、与 X 轴交点坐标为（,0）2、与 Y 轴交点坐标为（0,）例 1、直线 y = 1x + 2 与 X 轴和 Y 轴的交点坐标分别为 _,_；2如点 m,2m+7在这个函数的图象上 ,就 m = _ _ 例 2、已知函数 y 2 x 3,找出到 y 轴距离等于 1.5 的点的坐标为 _ 例 3、直线 y 2x 2,分别交 x , y 轴于 A,B 两点, O 是原点,求 AOB

29、的面3积；（请把图像画在上面的备用图）练习：名师归纳总结 1、直线y=4x-x3过点（ _,0）,（0,_）；第 20 页,共 48 页直线2过点（ _,0）,（0,_）1y= -+3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、分别求出以下直线与 x,y 轴的交点坐标；（1）y= -x+2（2）y=3x-2（3）y3x33、直线 y=2x2 与 x,y 轴围成的三角形的面积是多少. 学问点三：待定系数法求解析式1、设ykxbk0；2、把点坐标分别代入 3、联立求解例 1、一次函数ykxbk0的图象经过点（ 3,3）和（ 1,-1）.求它的函数关系式,并画出图

30、象 .2、依据条件写出相应的函数关系式名师归纳总结 （1）直线y=kx+5经过点（ -2,-1）第 21 页,共 48 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）一次函数中 ,当x =1时,y =3;当x = -1 时,y =7练习1、已知一次函数 y=kx+b的图像经过点 -1,-1和（1,-5）,求当 x =5 时,函数y 的值？2、写出两个一次函数,使它们的图像都经过点 -2,3；3、已知一次函数 ykxb（k 0）,当 x1 时,y3；当 x0 时,y2就函数解析式为 _,函数不经过第 _象限,4、一次函数 ykxb（ k,b是常数,k0）的图

31、象如下列图, 就不等式kxb0Cx2Dx0的解集是（）x0Ax2B5、直线 y=2x+b 与 x 轴交于 1,0,就不等式 2x+b0,b0 1、k0,打算 y 随 x 的增大而增大且图像必过一、三象限2、b0,打算直线与 y 轴的交点在 y 正半轴例 1、已知一次函数 y=kx+b 的图象过第一、 二、三象限 ,就 k,b 的符号是 A、k0,b0 B、k0,b0 C、k0 D、k0,b0,b0,打算 y 随 x 的增大而增大且图像必过一、三象限2、b0,打算直线与 y 轴的交点在 y 负半轴例 1、假如直线 y=kx+b 经过一、三、四象限,那么有（）Ak0,b0 Bk0,b0 Ck 0,b0 Dk 0,b0 例 2、对于一次函数 y=3 5x4,函数值 y 随 x 的增大而 _；例 3、已知一次函数 y=kx-k,如 y 随 x 的增大而增大 ,就该函数的图象不经过第_象限；练习名师归纳总结