第8章第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系--高三数学一轮复习练习.docx

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1、第八章 立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.(2022重庆一中月考)如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点AB点BC点C但不过点MD点C和点M2.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A B C D3.(2022滕州模拟)已知a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，c，a，b，则“a，b相交”是“a，c相交”的()A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB

2、=AC=AA1=2,BC=2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为()A.2 B.3 C.4 D.65.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则()AGH2EFBGH2EFC直线EF，GH是异面直线D直线EF，GH是相交直线6.点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,若APD与BCP的面积之比等于2,则点P的轨迹是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分7.(2022武汉质检)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体

3、的六个面所在的平面相交的平面个数为_8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,P是上底面A1B1C1D1内一点,若AP平面BDEF,则线段AP长度的取值范围是()A.52,2B.324,52C.328,62D.62,29.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为_10.九章算术是我国的一部古代数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如右图),其中四边形ABCD为矩形,EFAB,若AB=3EF,ADE和BCF都是正三角形,且AD=2E

4、F,则异面直线AE与CF所成角的大小为.11.在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCDA1B1C1D1截成两部分，求截面与BCC1B1的交线段长12.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为.13.多选题如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命题正确的是()A.存在P,Q运动到某一位置,使ABPQB.BPQ的面积为定值C.当点P不与点A重合时,

5、直线PB1与AQ是异面直线D.无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ14.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为()A3BC4D315.如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线答案与解析1. DAB，MAB，M又l，Ml，M根据基本事实3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上2.解法一对于选项B,如图所示,C,D为正方体的两个顶点,连接

6、CD,因为ABCD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQCD,所以ABMQ,又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,所以AB平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB平面MNQ.选A.解法二对于选项A,作出正方体的底面的对角线,记对角线的交点为O(如图所示),连接OQ,则OQAB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行,故选A.3.若a，b相交，a，b，则其交点在交线c上，故a，c相交；若a，c相交，可能a，b为相交直线或异面直线综上所述：a，b相交是a，c相交的充分不必要条件故选C4.解法一取B1C1的中点D1,连接A1D1,D1C.易证A1D1AD,故A1D

7、1,A1C所成的角就是AD,A1C所成的角.AB=AC=2,BC=2,D为BC的中点,ADBC,AD=AB2-BD2=(2)2-12=1,A1D1=AD=1,又A1C=AA12+AC2=(2)2+(2)2=2,D1C=D1C12+C1C2=12+(2)2=3,A1D12+D1C2=A1C2,A1D1C为直角三角形,cosD1A1C=12,即异面直线AD与A1C所成的角为3,故选B.解法二易知AB,AC,AA1两两垂直,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(22

8、,22,0),AD=(22,22,0),A1C=(0,2,-2),cos=ADA1C|AD|A1C|=12,即异面直线AD与A1C所成的角为3.故选B. 5.如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，MHA1C1ACFG，M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，EFHN，HNHGH，HN，HG，EF平面EFGNHM，EF与GH是相交直线由正方体的结构特征及中位线定理可得EFHNNGFGEMMH，EFGH，即GH2

9、EF故选B、D6.解法一因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AD平面DCC1D1,BC平面DCC1D1,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以ADDP,BCCP,则SADPSBCP=PDPC=2,以D为原点,分别以DC,DD1为x,y轴建立平面直角坐标系,设P(x,y),正方体的棱长为1,则D(0,0),C(1,0),PDPC=2,即x2+y2(x-1)2+y2=2,化简整理得x2+y2-83x+43=0,因为点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以点P的轨迹是圆x2+y2-83x+43=0在侧面DCC1D1内的部

10、分,故选A.解法二因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AD平面DCC1D1,BC平面DCC1D1,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以ADDP,BCCP,则SADPSBCP=PDPC=2,所以P点的轨迹为圆,又点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面DCC1D1内的一个动点,所以点P的轨迹是圆在侧面DCC1D1内的部分,故选A.7.因为ABCD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交8.如图所示,分别取棱A1B1,A1D1的中点M,N,连接MN,B1D1,M,N,E,F均为所在棱的中点,MNB1D1,EFB1D1,MNE

11、F,又MN平面BDEF,EF平面BDEF,MN平面BDEF.连接NF,AN,AM,则NFA1B1,NF=A1B1,又A1B1AB,A1B1=AB,NFAB,NF=AB,四边形ANFB为平行四边形,则ANFB,而AN平面BDEF,FB平面BDEF,AN平面BDEF.又ANNM=N,平面AMN平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1内一点,且AP平面BDEF,点P在线段MN上.在RtAA1M中,AM=AA12+A1M2=1+14=52,同理,在RtAA1N中,得AN=52,则AMN为等腰三角形.当P在MN的中点时,AP最小,为(52)2-(24)2=324,当P与M或N重合时,AP最大,为52.

12、线段AP长度的取值范围是324,52.故选B.9.如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为10.如图,在平面ABFE中,过F作FGAE交AB于G,连接CG,则CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角.设EF=1,则AB=3,AD=2.因为EFAB,AEFG,所以四边形AE

13、FG为平行四边形,所以FG=AE=AD=2,AG=1,BG=2,又ABBC,所以GC=BG2+BC2=22,又CF=BC=2,所以CG2=GF2+CF2,所以CFG=2,即异面直线AE与CF所成角的大小为2.11.如图，连接AE并延长交DC的延长线于M，连接FM交CC1于G，连接EG并延长交B1C1的延长线于N，连接NF并延长交A1D1于H，连接AH，则五边形AEGFH为经过点A，E，F的正方体的截面，因为E为BC的中点，所以CEBC2，因为CEAD，所以MCEMDA，所以，所以CMCD4，因为DMC1D1，所以MCGFC1G，所以2，所以CG4，所以EG，所以截面与BCC1B1的交线段长为1

14、2.如图,延长EF,A1B1,相交于点M,连接AM,交BB1于点H,延长FE,A1D1,相交于点N,连接AN,交DD1于点G,连接FH,EG,可得截面为五边形AHFEG.因为ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,易得EF=32,AG=AH=213,EG=FH=13,截面的周长为AH+HF+EF+EG+AG=613+32.13.对于选项A,当P,Q分别是线段AD1和B1C的中点时,ABPQ,故A正确;对于选项B,P在A处时,BPQ的面积为12,P在AD1的中点时,BPQ的面积为24,故BPQ的面积不是定值,故B错误;对于选项C,当点P不与点A重合

15、时,假设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与题意矛盾,所以直线PB1与AQ是异面直线,故C正确;对于选项D,BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,由三垂线定理得无论P,Q运动到什么位置,均有BCPQ,故D正确.故选ACD.14.如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，连接MN，由EFB1D1，得E，F，B1，D1共面，由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即Q的轨迹为MN，由棱长为3，得C1MA1C13, 则BC16，又，则NC1BC14，由A1BBC1A1C1，得A1C1B60，则MN15.如图，设O的半径为R，母线VBl，则圆锥侧面展开图的中心角为，sinBVO，圆锥的母线与轴的夹角BVO连接OE，O，E分别是AB，VB的中点，OEVAVOEAVOBVO，VEO，即VEOE又ABCD，VOCD，ABVOO，CD平面VABVE平面VAB，VECD又OECDO，OE，CD平面CDE，VE平面CDEVOE是截面与轴线的夹角，截面的轴线夹角大小为由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线学科网（北京）股份有限公司