2022年高中数学必修+选修全部知识点精华归纳讲义 .pdf

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1、学习必备欢迎下载专题一：推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理, 称为归纳推理 ( 简称归纳 ). 简言之 , 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）. 2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之， 类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个

2、猜想；检验猜想。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理简言之， 演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式“三段论”，包括大前提 - 已知的一般原理；小前提 - 所研究的特殊情况；结论 - 据一般原理，对特殊情况做出的判断用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集 ,那么S中所有元素也都具有性质P. 推理与证明推理证明合情推理演

3、绎推理直接证明数学归纳法间接证明比较法类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构M a S精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：要点： 顺推证法；由因导果.分析法： 从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判

4、定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点： 逆推证法；执果索因.反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法 . 它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤：(1) （反设）假设命题的结论不成立；(2) （推理）根据假设进行推理, 直到导出矛盾为止；(3) （归谬）断言假设不成立；(4) （结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题 的一种方法 . 用数学归纳法证明命题的步骤; （ 1） （归纳奠基）证明当n取第一个值*00()nnN时命题成

5、立；（ 2） （归纳递推）假设*0(,)nk knkN时命题成立，推证当1nk时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立 . 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、 数列通项公式、几何中的计算问题等. 专题二：数系的扩充与复数1、复数的概念虚数单位i；复数的代数形式( ,)zabia bR；复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类复数,zabia bR(0)(0,0)(0)(0,0)babbab实数纯虚数虚数非纯虚数3、相关公式dcbadicbia且,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

6、结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载00babia22babiazzabizz，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.4、复数运算复数加减法：idbcadicbia；复数的乘法：abicdiacbdbcad i；复数的除法：abicdiabicdicdicdi222222acbdbcad iacbdbcadicdcdcd（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的 分母实数化 ）5、常见的运算规律(1);(2)2 ,2 ;zzzza zzbi2222(3);(4);(5)z zzzabzzzzzR41424344(6),1,1;nnnnii iii i

7、22111(7) 1;(8),112iiiiiiiiii)9(设231i是 1 的立方虚根，则012，1,332313nnn6、复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴 . zabiZ一一对应复数复平面内的点（a,b)zabiOZ一一对应复数平面向量专题三：排列组合与二项式定理1、基本计数原理 分类加法计数原理：( 分类相加 )做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法在第n类办法中有nm种不同的方法 . 那么完成这件事情共有nmmmN21种不同的方法 . 精选学习资料 - - - -

8、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载 分步乘法计数原理：( 分步相乘 )做一件事情， 完成它需要n个步骤， 做第一个步骤有1m种不同的方法， 做第二个步骤有2m种不同的方法做第n个步骤有nm种不同的方法. 那么完成这件事情共有nmmmN21种不同的方法 . 2、排列与组合排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取nmm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列. 组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取nmm个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合. 排列数：从n个不同的元素中任

9、取nmm个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作mnA. 组合数：从n个不同的元素中任取nmm个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作mnC. 排列数公式：121mnnnnAmn!mnnAmn！；! nAnn，规定1! 0. 组合数公式：!121mmnnnnCmn或!mnmnCmn！；mnnmnCC，规定10nC. 排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序. 排列与组合的联系：mmmnmnACA，即排列就是先组合再全排列. (1)(1)!()(1)2 1!mmnnmmAnnnmnCmnAmmmnm排列与组合的两个性质性质排列11m

10、nmnmnmAAA；组合11mnmnmnCCC.解排列组合问题的方法特殊元素、特殊位置优先法（ 元素优先法 ：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法 ：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载间接法 （对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.不相邻 ( 相间 ) 问题插空法

11、 （某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间） .有序问题组合法. 选取问题先选后排法. 至多至少问题间接法. 相同元素分组可采用隔板法. 分组问题 ：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成 n 组问题别忘除以n！. 3、二项式定理二项展开公式：011222nnnnrn rrnnnnabC aC abC abC abnnnC bnN.二项展开式的通项公式：NnNrnrbaCTrrnrnr,01. 主要用途是求指定的项. 项的系数与二项式系数项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个

12、项的系数都为1 时，系数就是二项式系数. 如在()naxb的展开式中， 第1r项的二项式系数为rnC， 第1r项的系数为rn rrnC ab；而1()nxx的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正 . nx1的展开式：0221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn，若令1x，则有nnnnnnnCCCC210211. 二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和. 即131202nnnnnCCCC二项式系数的性质：（1）对称性 ：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC；（2）增减性与最大值：当12nr时，二项式系数Crn的值逐渐增大， 当1

13、2nr时 ,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n 为偶数时，中间一项（第2n1 项）的二项式系数2nnC取得最大值. 当n 为奇数时，中间两项（第21n和21n1 项）的二项式系数1122nnnnCC相等并同时取最大值. 系数最大项的求法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载设第r项的系数rA最大，由不等式组11rrrrAAAA可确定r. 赋值法若2012().,nnnaxbaa xa xa x则设( )() .nf xaxb有：0(0);af012.(1);naaaaf0123.( 1)( 1

14、);nnaaaaaf0246(1)( 1).;2ffaaaa1357(1)( 1).2ffaaaa专题四：随机变量及其分布1、基本概念互斥事件：不可能同时发生的两个事件. 如果事件ABC、 、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件ABC、 、彼此互斥 . 当AB、是互斥事件时，那么事件AB发生（即AB、中有一个发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的和，即()()(PABPAPB. 对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件. 事件A的对立事件通常记着A. 对立事件的概率和等于1. ()1()P AP A. 特别提醒： “互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的

15、两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互知识结构精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件 . 相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）. 这样的两个事件叫做相互独立事件 . 当AB、是相互独立事件时，那么事件A B发生（即AB、同时发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的积. 即()()()P A BP

16、 AP B. 若 A、B两事件相互独立，则A与B、A与 B、A与B也都是相互独立的. 独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 独立重复试验的概率公式如果在 1 次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率()( 1)0 , 1 2 , .,kknknnPknkC pp条件概率：对任意事件A 和事件 B，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率 .记作 P(B|A) ，读作 A 发生的条件下B 发生的概率 . 公式：()(),()0.()P ABP B AP AP A2、离散型随机变量随机变量：如果随机试验的结

17、果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用字母, ,X Y等表示 . 离散型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量. 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出. 若X是随机变量，( ,YaXb a b是常数）则Y也是随机变量并且不改变其属性 （离散型、连续型）. 3、离散型

18、随机变量的分布列概率分布（分布列）设离散型随机变量X可能取的不同值为12,x x，ix，nx，X的每一个值ix（1,2,in）的概率()iiP Xxp，则称表X1x2xixnxP1p2pipnp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载为随机变量X的概率分布，简称X的分布列 . 性质：0,1,2,. ;ipin11.niip两点分布如果随机变量X的分布列为则称X服从 两点分布 ，并称(1)pP X为成功概率 . 二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次

19、的概率是()(1).kkn knP XkC pp其中0,1,2,.,1knqp，于是得到随机变量X的概率分布如下：X0 1 knP00nnC p q111nnC p qkknknC p q0nnnC p q我们称这样的随机变量X服从 二项分布 ，记作pnBX,，并称 p 为成功概率 . 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：对立性： 即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性： 即试验是独立重复地进行了n次; 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等. 注： 二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是, , .p k n超几何分布一般地 , 在含有M件次品的N件产品中，任取n件

20、, 其中恰有X件次品数 , 则事件Xk发生的概率为()(0,1,2,)kn kMNMnNC CP XkkmC, 于是得到随机变量X的概率分布如下：其中min,mM n,*, ,nN MN n M NN. 我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从 超几何分布 .注: 超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是, .MN n其意义分别是X0 1 P1ppX0 1 mP00nMNMnNC CC11nMNMnNC CCmn mMNMnNC CC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下

21、载总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp则称1122iinnE Xx px px px p为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望） .它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 性质：()().E aXbaE Xb若X服从两点分布，则().E Xp若pnBX,，则().E Xnp离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为X1x2xixnxP1p2pipnp则称21()()niiiD XxE Xp为离散型随机变量X的方差， 并称其算术平方根()D X为

22、随机变量X的标准差 .它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. ()D X越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散.性质：2()().D aXba D X若X服从两点分布，则()(1).D XpP若pnBX,，则()(1).D XnpP专题五：矩阵与变换重要知识要点五种特殊变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载1.旋转变换aasincosaac o ss i nayaxyayaxxcossinsincos关于 X 轴对称011

23、0yyxx2.反射变换关于 Y 轴对称0110yyxx关于 Y=X 对称1001yyxx纵轴伸缩01k0kyyxx3.伸缩变换横轴伸缩0k10yykxx横纵均伸缩01k20kykyxkx21关于 X 轴正投影00010yxx4.投影变换关于 Y 轴正投影0010yyx0关于 AX+BY=0投影22222BAABBAB22222BAABAAByBAAxBAAByyBAABxBABx22222222225.切变变换沿 X 轴平行方向移ky 个单位011kyykyxx沿 Y 轴平行方向移kx 个单位k110ykxyxx有关矩阵的乘法1 矩阵 A=cadb与a=yx相乘精选学习资料 - - - - -

24、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载aAcadbyx=dycxbyax)(aAcadbyx=cadbyx=ydxcybxa=dycxbyax=aAbAaAbaA)(bAaAbaA2121)(复合变换aABaBA)()(若向量a先经过矩阵 A 再经过矩阵B 变换后aBA)()(BCACABBAAB（矩阵相乘没有交换律）lklkAAA若 AC=AB 但BC（没有消去律）kllkAA )(若AAEAE222E为单位矩阵应掌握的重要题型：已知曲线)(xf经过矩阵变换后得曲线)(xf逆矩阵（五种特殊变换，除了投影变换外其他都有逆矩阵）已知矩

25、阵 A=cadb求逆矩阵1A若AAdetcadb=0bcad则A 有逆矩阵1A=AcAdAaAb21EAA0110为单位矩阵2E0000为零矩阵0用逆矩阵求二元一次方程组已知fdycxebyaxA=cadb为二元一次方程组的系数矩阵这二元一次方程组可写成cadbyx=fe1Afe=yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载已知00dycxbyax（其中dcba,是不全为0 的常数） 则此二元一次方程组有非0 解的充要条件是cadb=0 特征值与特征向量已知 A=cadba=fe求特征值、特征向量和aA

26、n令)(fcadb=0 解出21或当1当20)(011ydcxbyxa）（0)(022ydcxbyxa）（111yx222yx111yx是 A 属于1的一个222yx是 A 属于2的一个特征向量特征向量设2211kka得21kkaAn=222111nnkk专题六：坐标系与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0( ,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ，简称 伸缩变换 。2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫做 极点 ；自极点O引一条射线Ox叫做 极轴 ；再选定一个长度

27、单位、 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系 。xO图 1 M( , )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载点M的极坐标： 设M是平面内一点， 极点O与点M的距离|OM叫做点M的极径 ，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角 ，记为。有序数对),(叫做 点M的极坐标 ，记为),(M. 注：极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(. 若0, 则0, 规定点),(与点),(关于极点对称，即

28、),(与),(表示同一点。如果规定0,02， 那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标),(表示（即一一对应的关系） ；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，) ，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，) （极点除外）的全部坐标为(,k2)或（，) 12( k） ，(kZ) 极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制 则除极点外， 平面上点的极坐标就惟一了，如限定0， 02或0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中， 点与坐标是一一对

29、应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3、极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是( , )x y，极坐标是(, )，从图中可以得出：222cos ,sin,t n(0).xyyxyaxx4、简单曲线的极坐标方程圆的极坐标方程以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是a； （如图 1）以( ,0)a)0(a为圆心，cosxsiny222yx)0(tanxxyyyxOMHN（直极互化图）cos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2aaxOM图6精选学习资料 - - - - -

30、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载a为半径的圆的极坐标方程是cos2a； （如图 2）以( ,)2a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a； （如图 4）直线的极坐标方程过极点的直线的极坐标方程是)0(和(0). （如图 1）过点)0)(0 ,(aaA，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是acos. 化为直角坐标方程为xa. （如图 2）过点( ,)2A a且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sina. 化为直角坐标方程为ya. （如图 4）5、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某

31、个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程 ，联系变数yx,的变数t叫做 参变数 ，简称 参数 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 。7、常见曲线的参数方程（1）圆222()()xaybr的参数方程为cossinxarybr（为参数）；（2）椭圆22221(0)xyabab的参数方程为cossinxayb（为参数）；椭圆22221(0)yxabab的参数方程为cossinxbya（为参数）；（3）双曲线22221(0)xyabab的参数方程sect anxayb

32、（为参数）；双曲线22221(0)yxabab的参数方程c otc scxbya（为参数）；（4）抛物线22ypx参数方程222xptypt(t为参数，1tant） ；参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载（6）过定点),(00yxP、倾斜角为()2的直线的参数方程sincos00tyytxx（t为参数） . 8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过)(),(tgytfx。根据 t 的取值范围导出yx,的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页