（整理版）平面向量数量积的坐标表示（知识讲解与典型例题）.doc

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1、平面向量数量积的坐标表示 知识讲解与典型例题本周重点：平面向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的充要条件。 本周难点：利用向量的数量积解决具体问题。 本周内容： 上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这局部知识。 我们给出两个非零向量用坐标给出，我们知道坐标是与从原点出发的向量一一对应。如图不妨设： 那么有A、B两点坐标为(x1, y1),(x2,y2)，又设x,y轴上的向量为， 那么有， 是互相垂直的向量， ， ， 那么 也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和结果是数量，即 ， 假设 那么， ， ，

2、上图中A(x1,y1),B(x2,y2), 那么 那么。 这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式不用向量你会推导吗。 上图中假设设AOB=， 那么， 即 。 由此可得到两个向量的夹角。特别地，当=90时，cos=0，即x1x2+y1y2=0。 由此知：垂直的充要条件是x1x2+y1y2=0。 这个充要条件在今后解决问题中十分重要。 下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。 例1：。 1求：； 2求：； 3求：， 4求： 解：1 由此可见证。严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。 2 3 。 由此可证： 4 由此可验证：向量的数量积不满足结合律，即不一定相等。 例2试判断满足以下条件

3、的三角形的形状。 1ABC中，A1，-2，B-3，-1，C5，-1 2ABC中，A1，2，B2，3，C-2，5 3ABC中，A0，3，B4，0，C7，4 解：1 由此可知ABC为等腰三角形。 2 或：， ABC为直角三角形。 3 ， ABBC， ， ABC为等腰直角三角形。 例3：向量满足，求：向量与向量的夹角。 解：设， 那么 即 ， ， 那么：， 0， 。 例4求证：非零向量垂直的充要条件是。 证明：设 1充分性： 即x1x2+y1y2=0, . 2必要性： ， x1x2+y1y2=0, 例5：RtABC中，求m的值。 解：， 。 1当A=90时， 2当B=90时， 3当C=90时， 即，

4、 由123知： 。 例6： 1求证：垂直； 2假设，求-的值。 1证明： = = 垂直。 又证： 垂直。 2 2kcoscos+2ksinsin=-2kcoscos-2ksinsin 2kcos(-)=0 k0, cos(-)=0 0, . 课后练习： 1假设点A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，那么= 。 A、-1B、0 C、1D、2 2假设的夹角为 。 A、30 B、45 C、60 D、90 3假设垂直，那么实数k= 。 A、1 B、-1 C、1或-1 D、非以上答案 4假设A1，0，B5，-2，C8，4，D4，6，那么四边形ABCD为 。 A、正方形 B、菱形 C、梯形 D、矩形

5、 5假设ABC中，A1，2，B4，1，C0，-1，那么ABC是 。 A、直角三角形B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形 6假设的夹角为钝角，那么实数k的取值范围是 。 A、B、2，+ C、 D、 7假设的向量=_。 8与垂直的向量是 。 9假设A(cos, sin), B(cos, sin), ，那么| |的取值范围是_。 10，以原点和A5，2为顶点的等腰直角三角形OAB中，B=90，求：点B及向量的坐标。 练习答案： 1. B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.A 7. (2,-3) 8. 9. (0,2 10. 专题辅导平面向量数量积的坐标表示 知识要点： 向量的数量积它

6、可以解决有关长度、角度、垂直的问题，向量数量积的坐标表示即向量数量积的代数化，可以将数量积运算转化为代数运算，进而解决有关长度、角度、垂直的问题. 要求将向量数量积的性质在坐标形式下准确记忆，特别地，根据定义还可推出向量夹角的坐标公式：向量的夹角满足.向量垂直的充要条件的坐标式是重点. 向量互相垂直等价于x1x2+y1y2=0，它与向量共线的充要条件的坐标式x1y2-x2y1=0容易发生混淆. 典型题目： 例1三角形ABC中，A(5, -1), B(-1, 7), C(1,2)，求：1BC边上的中线AM的长；2CAB的平分线AD的长；3ABC的余弦. 解：1M的坐标为. ， . 2， D点分

7、的比为2,， . 3ABC是的夹角，而. . 点评：向量的数量积运算常用来解决有关长度和角度问题，反映在坐标上应用两点间距离公式和夹角公式. 例2ABC的三个顶点是A4，8，B0，0，C6，-4.求： 1ABC的三边的长；2ABC的AB边上的中线CD的长；3ABC的重心G的坐标. 解：1， . 2设D点的坐标是(x, y)，那么由中点坐标公式，得 D2，4, . 3设G点的坐标是(x,y),那么. 由定比分点坐标公式，得即重点. 例31a=(6,2),b=(-3,9),判断a与b是否垂直？ 2判断以O(0,0),A(a,b),B(a+b, b-a)为顶点的三角形的形状. 解：1由向量的数量积的

8、坐标表示，得ab=6(-3)+29=0, 向量a与b垂直. 2由向量的坐标表示，得 . 所以， 这个三角形的三条边长分别为： 所以，OAB的三边满足以下关系:，且， 因此，以O、A、B三点为顶点的三角形是等腰直角三角形其中，A=90，O=B=45. 例4、以原点O和点A4，2为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标和. 解：如图，设点B的坐标是(x ,y)，那么. B=90， ，x(x-4)+y(y-2)=0, 即x2+y2=4x+2y. 再设OA的中点为D，那么D的坐标是2，1. 连结BD，那么. 4(2-x)+2(1-y)=0.即 2x+y=5 解、联立的方程组，得 点B的

9、坐标是1，3或3，-1. 当点B的坐标为1，3时，； 当点B的坐标为3，-1时，. 例5、点A1，2和B4，-1，问能否在y轴上找到一点C，使ACB=90，假设不能，说明理由；假设能，求C点坐标. 解：设C点坐标为(0,y)，由ACB=90知，即(-1)(-4)+(y-2)(y+1)=0, y2-y+2=0无解.故不能找到满足条件的点. 课外练习： 1、O是直角坐标系的原点，在x轴上有一点P，使取最小值，求P点的坐标及此时的APB的大小. 2、两点A(-2,0),B(4,0),点C在直线上，点C的横坐标为m，假设ABC为直角三角形，求实数m的值. 3、，当a,bR且ab，求证：|f(a)-f(

10、b)|=|a-b|. 参考答案： 1、设Px,0), 那么 =x2-6x+10=(x-3)2+1. 当x=3时取得最小值，此时P点的坐标为P(3,0), . . 说明：通过坐标运算将数量积的最值转化为二次函数的最值是解答此题的关键. 2、设C点坐标为，当C为直角时，即，解得.当A为直角时，即(6,0)=0, 6(m+2)=0,解得m=-2.当B为直角时，即，解得m=4. 说明：分类讨论是此题的难点，容易被忽略. 3、， 设A(a,0), B(b,0), C(0,1),那么|f(a)-f(b)|表示表示，在ABC中，根据三角形两边之差小于第三边这一性质可知，故. 说明：此题根据向量有关模长的运算，假设A(xa,ya), B(xb,yb)， 那么这一结论将条件转化为几何形式.