黄冈名师2020版高考数学大一轮复习12.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理新人教A版.ppt

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1、第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理(全国卷5年4考),【知识梳理】两个计数原理,m+n,mn,【常用结论】应用两个计数原理的基本原则(1)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准.(2)分步要做到“步骤完整”,步步相连.,【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(),(2)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(3)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.()(4)在计算完成一件事的所有方法时

2、,分类加法计数原理和分步乘法计数原理不能同时使用.(),提示:(1).在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的.(2).根据分步乘法计数原理的概念可知此结论正确.(3).在分步乘法计数原理中,任何一步都不能单独完成这件事.,(4).分类加法计数原理和分步乘法计数原理可能单独使用,也可能交叉使用.,2.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则行车路线共有()A.24种B.16种C.12种D.10种,【解析】选C.根据题意,车的行驶路线起点有4种,行驶方向有3种,所以行车路线共有43=12种.,3.满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的

3、个数为()A.14B.13C.12D.10,【解析】选B.当a=0时,方程变为2x+b=0,b任取方程均有解,故有4种有序数对.当a0时,方程ax2+2x+b=0有实数解=22-4ab=4(1-ab)0,即ab1,此时a=-1,1,2,可能的实数对有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(-1,2)共9个.综上知,满足条件的(a,b)共有4+9=13个.,题组二:走进教材1.(选修2-3P12T5(1)改编)已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示

4、第三、四象限内不同点的个数是()A.18个B.10个C.16个D.14个,【解析】选B.可分两种情况讨论,一个是取M中的点作横坐标,取N中的点作纵坐标,有6个不同点;另一个情况是取N中的点作横坐标,取M中的点作纵坐标,有4个不同点;共有6+4=10个不同点.,2.(选修2-3P12T2改编)如图,从A城到B城有3条路;从B城到D城有4条路;从A城到C城有4条路,从C城到D城有5条路,则某旅客从A城到D城共有_条不同的路线.,【解析】不同路线共有34+45=32(条).答案:32,考点一分类加法计数原理【题组练透】1.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友

5、1本,则不同的赠送方法共有()A.4种B.10种C.18种D.20种,【解析】选B.赠送一本画册,3本集邮册,需从4人中选取一人赠送画册,其余送集邮册,有4种方法.赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人送画册,其余2人送集邮册,有6种方法.由分类加法计数原理,得不同的赠送方法有4+6=10(种).,2.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有()A.4种B.6种C.10种D.16种,【解析】选B.分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图),同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.由分类加法计数原理知,

6、共有3+3=6种传递方法.,3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是_.,【解析】渐升数由小到大排列,形如的渐升数共有6+5+4+3+2+1=21(个).形如的渐升数共有5个.形如的渐升数共有4个.故此时共有21+5+4=30(个).,因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1359.答案:1359,4.设a,b,c1,2,3,4,5,6,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有_个.,【解析】由题意知以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,先考虑等边三角

7、形情况,则a=b=c=1,2,3,4,5,6,此时三角形有6个.再考虑等腰三角形情况,若a,b是腰,则a=b当a=b=1时,ca+b=2,则c=1,与等边三角形情况重复;,当a=b=2时,c4,则c=1,3(c=2的情况为等边三角形,已经讨论了),此时三角形有2个;当a=b=3时,c6,则c=1,2,4,5,此时三角形有4个;当a=b=4时,c8,则c=1,2,3,5,6,有5个;当a=b=5时,c10,则c=1,2,3,4,6,有5个;当a=b=6时,c0,即a与b异号且只能是a0,分三步,第一步c=0,只有1种方法;第二步,确定a,a从-2,-1中选一个,有2种不同的方法;第三步,确定b,

8、b从1,2,3中选一个,有3种不同的方法,根据分步乘法计数原理可得有123=6种不同方法.故函数图象顶点在第一象限且过原点的有6个.,【规律方法】用分步乘法计数原理解决问题的三个步骤,【对点训练】1.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_种(用数字作答).,【解析】第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的3人中选1人当文娱委员,有3种选法.第二步,从剩下的4人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有4种选法,再选体育委员有3种选法.,由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有343=36

9、(种).答案:36,2.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有_种.,【解析】先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有321=6种不同排法.再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法.因此共有621=12(种)不同的排列方法.答案:12,考点三两个计数原理的综合应用【明考点知考法】两个计数原理作为考查解决实际问题的重要载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题形式出现,考查综合应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决计数问题.解题过程中常渗透分类讨论的数学思想.,命题

10、角度1组数问题【典例】用0到9这10个数字,组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为_.,【解析】由题意,末尾是0或5,末尾是0时,没有重复数字且能被5整除的三位数有89=72(个),末尾是5时,没有重复数字且能被5整除的三位数有88=64(个),根据分类加法计数原理可得,用0到9这10个数字,组成没有重复数字且能被5整除的三位数有72+64=136(个).答案:136,【状元笔记】应用两个计数原理解决组数问题的策略,(1)先分类再分步,在分步时可能又要分类,复杂问题;(2)可以画示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.,命题角度2与几何有关的问题【典例】(2018济南模拟)如图所示,在连

11、接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有_个.,【解析】分两类:有一条公共边的三角形共有84=32个;有两条公共边的三角形共有8个.故共有32+8=40个.答案:40,【误区警示】解答本题易误填8,出错的原因是题意理解不清,不能按有公共边的条数分类.,【状元笔记】应用两个计数原理解决几何问题的两个基本步骤(1)要弄清楚几何图形的性质.(2)合理分类将问题简化.,命题角度3涂色、种植问题【典例】如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.,【解析】可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然

12、后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有543=60(种)染色方法.,当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有607=420(种).,【一题多解1】以S,A,B,C,D顺序分步染色.第一步,S点染色,有5种方法;第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方

13、法;,第四步,C点染色,考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(13+22)=420(种).,【一题多解2】按所用颜色种数分类.第一类,5种颜色全用,共有54321=120种不同的方法;第二类,只用4种颜色,则必有某两个顶点同色(A与C,或B与D),共有25432=240种不同的方法;,第三类,只用3种颜色,则A与C,B与D必定同色,共有543=60种不同的方法.由分类加法计数原理,得不同的染色方

14、法总数为120+240+60=420(种).,【状元笔记】解决涂色问题的两个关注点(1)要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序.(2)切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色.,【对点练找规律】1.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个,【解析】选B.由题意可得,比40000大的五位数万位只能是4或5,当万位是4时,由于该五位数是偶数,个位只能从0或2中任选一个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有2432=48种情况;,当万位是5时,由于该五位数是偶数,个位只能从0,2或4中任选一

15、个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有3432=72种情况;由分类加法计数原理可得,满足题意的数共有48+72=120个.,2.如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有_种.(用数字作答),【解析】由题意知本题是一个分步计数问题,第一步:涂区域1,有4种方法;第二步:涂区域2,有3种方法;第三步:涂区域4,有2种方法(此前三步已经用去三种颜色);第四步:涂区域3,分两类:第一类,3与1同色,则区域5涂第四种颜色;第二类,区域3与1不同色,即涂第四种颜色,此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的

16、任意一种颜色,有3种方法.所以,不同的涂色种数有432(11+13)=96种.答案:96,3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_.,【解析】分两种情况讨论:(1)对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有212=24个;,(2)对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个;所以正方体中“正交线面对”共有36个.答案:36,思想方法系列24两个计数原理中的分类与整合思想【思想诠释】分类与整合思想:当问题所

17、给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.,利用两个计数原理解题时应注意以下两点:(1)认真审题,选择合适的分类标准进行合理分类将问题简化.(2)根据题目,弄清完成一件事的要求,正确区分“分类”和“分步”.,【典例】(2019合肥模拟)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数有()A.24B.48C.96D.120,【解析】选C.(1)若A,D颜色相同,先涂E有4种涂法,再涂A,D有3种涂法,再涂B有2种涂法,C只有1种涂法,共有

18、432=24种;,(2)若A,D颜色不相同,先涂E有4种涂法,再涂A有3种涂法,再涂D有2种涂法,当B和D相同时,C有2种涂法,当B和D不相同时,C有1种涂法,共有432(2+1)=72种.根据分类加法计数原理可得,共有24+72=96种.,【技法点拨】应用两个计数原理解题的注意事项(1)分类时,标准要明确,应做到不重不漏;可借助几何直观探索规律.(2)分步时,要合理设计顺序、步骤,并注意元素是否可以重复选取.,【即时训练】5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有_种.(用数字作答),【解析】可分为两类完成:两老一新时,有322=12(种)排法;两新一老时,有2332=36(种)排法,即共有48种排法.答案:48,