2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京理).doc

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1复数i(2i)()A12iB12iC12i D12i2若x，y满足则zx2y的最大值为()A0 B1 C. D23执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A(2，2) B(4，0)C(4，4) D(0，8)4设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m ”是“ ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5某三棱锥的三视图如图

2、所示，则该三棱锥的表面积是()A2 B4C22 D56设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)07如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是()Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|10)的一条渐近线为xy0，则a_11在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_12在ABC中，a4，b5，c6，则_14设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_三、解答题(本大题共6小

3、题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分13分)已知函数f(x)sincossin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间，0上的最小值16(本小题满分13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康

4、复时间的方差相等？(结论不要求证明)17(本小题满分14分)如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点(1)求证：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值18(本小题满分13分)已知函数f(x)ln.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求证：当x(0，1)时，f(x)2；(3)设实数k使得f(x)k对x(0，1)恒成立，求k的最大值19(本小题满分14分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线P

5、A交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由20(本小题满分13分)已知数列an满足：a1N*，a136，且an1(n1，2，)记集合Man|nN*(1)若a16，写出集合M的所有元素；(2)若集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；(3)求集合M的元素个数的最大值参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1解析：选Ai(2i)2ii21

6、2i.2解析：选D作出不等式组所表示的平面区域，如下图作直线x2y0，向右上平移，当直线过点A(0，1)时，zx2y取最大值，即zmax0212.3解析：选Bx1，y1，k0，sxy0，txy2，xs0，yt2，k1，不满足k3；sxy2，txy2，x2，y2，k2，不满足k3；sxy4，txy0，x4，y0，k3，满足k3，输出的结果为(4，0)4解析：选B当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m/ ；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件5解析：选C作出三棱锥的示意图如图，在ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥S ABC中，SC

7、底面ABC，SC1，底面三角形ABC是等腰三角形，ACBC，AB边上的高CD2，ADBD1，斜高SD，ACBC.S表SABCSSACSSBCSSAB2211222.6解析：选C设等差数列an的公差为d，若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错；若0a1a2，可知a10，d0，a20，a30，aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20，a2，故选项C正确；若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错7解析：选C令

8、g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图象如图由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|10，所以，所以a.答案：11解析：由知极坐标可化为(1，)，直线(cos sin )6可化为xy60.故所求距离为d1.答案：112解析：由正弦定理得，由余弦定理得cos A，a4，b5，c6，2cos A21.答案：113. x，y.答案：14解析：(1)当a1时，f(x)当x1时，f(x)2x1(1，1)，当x1时，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)2xa，x1没有零点时，a2或a0.当a2时，f(x)4(xa

9、)(x2a)，x1时，有2个零点；当a0时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时无零点因此a2满足题意当f(x)2xa，x1有一个零点时，0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有一个零点，此时a1，2a1，因此a1.综上知实数a的取值范围是.答案：(1)1(2)三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15解：(1)由题意得f(x)sin x(1cos x)sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为x0，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间，0上的最小值为f1.16解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第

10、i个人”，i1，2，7.由题意可知P(Ai)P(Bi)，i1，2，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5A6A7)P(A5)P(A6)P(A7).(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”由题意知CA4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，因此P(C)P(A4B1)P(A5B1)P(A6B1)P(A7B1)P(A5B2)P(A6B2)P(A7B2)P(A7B3)P(A6B6)P(A7B6)10P(A4B1)10P(A4)P(B1).(3)a

11、11或a18.17解：(1)证明：因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，AO平面AEF，所以AO平面EFCB，因为BE平面EFCB，所以AOBE.(2)取BC的中点G，连接OG.由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EFCB，所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a，0，0)，A(0，0，a)，B(2，(2a)，0)，(a，0，a)，(a2，(a2)，0)设平面AEB的一个法向量n(x，y，z)，而令z1，则x，y1，于是n(，1，1)又平面AEF的一个法向量

12、为p(0，1，0)，所以cosn，p.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC，所以BECO，即0.因为(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)2.由0及0a0(0xg(0)0，x(0，1)，即当x(0，1)时，f(x)2.(3)由(2)知，当k2时，f(x)k对x(0，1)恒成立当k2时，令h(x)f(x)k，则h(x)f(x)k(1x2).所以当0x 时，h(x)0，因此h(x)在区间上单调递减故当0x 时，h(x)h(0)0，即f(x)2时，f(x)k并非对x(0，1)恒成立综上可知，k的最大值为2.19解：(1)由题意得解得a

13、22.故椭圆C的方程为y21.设M(xM，0)因为m0，所以1n1，因为ak2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数类似可得，ak2，a1都是3的倍数从而对任意n1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数(3)由a136，an可归纳证明an36(n2，3，)因为a1是正整数，a2所以a2是2的倍数从而当n3时，an是2的倍数如果a1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an是3的倍数因此当n3时，an12，24，36，这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n，an不是3的倍数因此当n3时，an4，8，16，20，28，32，这时M的元素个数不超过8.当a11时，M1，2，4，8，16，20，28，32有8个元素综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.