21三角函数的性质.ppt

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1、1.了解三角函数的定义域、值域、了解三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性等周期性、奇偶性、对称性等.2.理解正弦函数、余弦函数在区间理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质（如单调性、最大值和上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与最小值以及与x轴的交点等），理解正轴的交点等），理解正切函数在切函数在(- , ）内的单调性）内的单调性.22A. , B.2k+ ,2k+ (kZ)C.(2k+ ,2k+ )(kZ)D.k+ ,k+ (kZ)1.函数函数y= 的定义域为的定义域为( )2sin1x6B56656566656 要使函数有意义，要使函数有意义，得得2sinx-10,即即si

2、nx ,由图象可知，由图象可知，2k+ x2k+ (kZ).656122.函数函数y=cos2x+sinx在在- , 上的上的最小值为最小值为( )AA. B.- C.-1 D.4454 y=1-sin2x+sinx=-(sin2x-sinx)+1 =-(sinx- )2+ ,因为因为x- , ,所以所以sinx- , 所以所以ymin=f(- )=-(- - )2+ = .5412442222222212541221221223.函数函数f(x)= 的最小的最小正周期为正周期为( )B4422sincossincos2sin2xxxxxA.2 B. C. D.24 f(x) = = (1+s

3、inxcosx)= sin2x+ ,所以所以T= =.4422sincossincos2sin2xxxxx221 sincos2(1 sin cos )xxxx121214224.函数函数y= sin( - )的单调递减区间的单调递减区间是是 .123k- ,3k+ (kZ)3898 y= sin( - )=- sin( - ),所以所以2k- - 2k+ ,所以所以3k- x3k+ (kZ).1212223x4223x4423x423x3898 因为因为f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以f(-x)=f(x).所以所以sin(-x+)+ cos(-x-)=sin(x+)+ cos(x-)，即

4、即sin(x+)+sin(x-)= cos(x+)- cos(x-).所以所以2sinxcos=-2 sinxsin,对对xR恒成立恒成立,所以所以tan=- ,所以所以=k- (kZ).5.已知已知f(x)=sin(x+)+ cos(x-)为偶函数，为偶函数，则则= .=k- (kZ)6333333336名称名称定义域定义域值域值域周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性y=sinxR-1,12奇函数奇函数递增区间递增区间:2k- ,2k+ (kZ)递减区间递减区间:2k+ ,2k+ (kZ)y=cosxR-1,12偶函数偶函数递增区间：递增区间：2k-,2k(kZ)递减区间递减区间:2k,2k

5、+(kZ)y=tanxxk+ (kZ)R奇函数奇函数递增区间：递增区间：(k- ,k+ )(kZ)1.基本三角函数的性质基本三角函数的性质222322222.函数函数y=Asinx+b和和y=Acosx+b的最大值为的最大值为|A|+b，最小值为，最小值为-|A|+b.3.对称性对称性(1)y=sinx的对称中心为的对称中心为(k,0)(kZ);对称对称轴为轴为x=k+ (kZ).(2)y=cosx的对称中心为的对称中心为(k+ ,0)(kZ);对称轴为对称轴为x=k(kZ).(3)y=tanx的对称中心为的对称中心为( ,0)(kZ);无对称轴无对称轴.222k例例1 设函数设函数f(x)=

6、sin(2x+)(-0).(1)y=f(x)图象的一条对称轴是直线图象的一条对称轴是直线x= ,求求;(2)y=f(x)为偶函数，求为偶函数，求；(3)若若=k（kZ)，试证明，试证明y=f(x)为奇函数为奇函数.58 (1)因为因为x= 是函数是函数y=f(x)的一条对的一条对称轴，则当称轴，则当x= 时，时，y取最值，取最值，所以所以sin(2 +)=1,所以所以 +=k+ (kZ).又又-0，所以，所以=- .(2)由由f(x)为偶函数，则当为偶函数，则当x=0时，时，y取最值，取最值，所以所以sin(20+)=1,则则=k+ (kZ).又又-0)的最小正周期为的最小正周期为. (1)求

7、求的值；的值； (2)求函数求函数f(x）在区间）在区间0, 上的取值范围上的取值范围.例例22323 (1)f(x)= + sin2x= sin2x- cos2x+=sin(2x- )+ .因为函数因为函数f(x)的最小正周期为的最小正周期为,且且0,所以所以 =,解得解得=1.(2)由由(1)得得f(x)=sin(2x- )+ .因为因为0 x ，所以，所以- 2x- ,所以所以- sin(2x- )1，因此，因此，0sin(2x- )+ ，即即f(x)的取值范围为的取值范围为0, .1 cos22x32321212612226122366761266123232 要求（或应用）周期，常将

8、三角函数统要求（或应用）周期，常将三角函数统一成一成y=Asin(x+)+b(或或y=Atan(x+)的形的形式，再利用公式式，再利用公式T= (或或 );要求函数的值要求函数的值域 （ 或 最 值 ） ， 常 将 三 角 函 数 统 一 为域 （ 或 最 值 ） ， 常 将 三 角 函 数 统 一 为y=Asin(x+)+b，根据弦函数的范围求解；，根据弦函数的范围求解；或整理成关于某一三角函数的一元二次，用或整理成关于某一三角函数的一元二次，用配方法，或用换元法化为可用基本不等式等配方法，或用换元法化为可用基本不等式等结论的形式结论的形式.2|例例3 (1)求函数求函数y=3sin( -2

9、x)的单调区间；的单调区间；3 (1)y=3sin( -2x)=-3sin(2x- )，将，将2x- 看看作一整体，则与作一整体，则与y=sinx的单调性相反的单调性相反.故由故由2k- 2x- 2k+ ,即即k- xk+ (kZ)时函数单调递减时函数单调递减;所以递减区间为所以递减区间为k- ,k+ (kZ)；同理，递增区间为同理，递增区间为 k+ ,k+ (kZ).33333212512125125121112A.在在0, ),( ,上递增上递增, 在在, ),( ,2上递减；上递减；B.在在0, ), )上递增上递增, 在在( ,( ,2上递减上递减C.在在( ,，( ,2上递增，上递增

10、， 在在0, ), )上递减上递减D.在在, ),( ,2上递增，上递增， 在在0, ),( ,上递减上递减(2)函数函数f(x)= （ ）1 cos2cosxx223232232232232232323222A （2）f(x)= = = tanx， - tanx，结合图象易知结合图象易知A正确正确.1 cos2cosxx21 (1 sin)cosxx2 |sin|cosxxx2k,2k+ )或或x(2k+ ,2k+(kZ)x2k+,2k+ )或或x(2k+ ,2k+2(kZ)=23223222 求求f(x)=Asin(x+)的单调区间时，的单调区间时，首先要看首先要看A，是否为正；若为负，则

11、先是否为正；若为负，则先应用诱导公式化为正，然后将应用诱导公式化为正，然后将x+看作看作一个整体，比如若一个整体，比如若A0，0，由，由2k- x+2k+ (kZ)解出解出x的范围即为增的范围即为增区间区间.22 已知函数已知函数f(x)=sin(x+)(0,0)是是R上上的偶函数，其图象关于点的偶函数，其图象关于点M( ,0)对称，且在区对称，且在区间间0, 上是单调函数上是单调函数,求求和和的值的值.342 (方法一方法一)由于由于f(x)是是R上的偶函数上的偶函数,所以所以f(-x)=f(x),即即sin(-x+)=sin(x+),所以所以sincosx-cossinx =sinxcos

12、+cosxsin,即即2sinxcos=0对对xR恒成立恒成立,所以所以cos=0，又，又0,所以所以= .所以所以f(x)=sin(x+ )=cosx.又又f(x)的图象关于点的图象关于点M( ,0)对称对称,即即f( -x)=-f( +x),取取x=0，得，得f( )=0，即，即cos =0.又又0,所以所以 =k+ (kZ)，223434343434234当当k=0时，时，= ,f(x)=cos在在0, 上是减函数；上是减函数；当当k=1时，时，=2,f(x)=cos2x在在0, 上是减函数；上是减函数；当当k2时，时， ,f(x)=cosx在在0, 不是单调函数不是单调函数.所以所以=

13、 ,= 或或2.23223x21032223(方法二方法二)以上同方法一，以上同方法一，cos =0,由由f(x)在在0, 上是单调函数，上是单调函数，所以所以T= 2 ,即即00,0)的单调区的单调区间的确定，其基本思想是把间的确定，其基本思想是把x+看作一个整看作一个整体体,由由2k- x+2k+ (kZ)解出解出x的范围的范围,所得区间为增区间所得区间为增区间;由由2k+ x+2k+ 解出解出x的范围，所得区间即为减区间的范围，所得区间即为减区间.(2)比较三角函数的大小的一般步骤：比较三角函数的大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为同一

14、单调区间上的两个同名函数同一单调区间上的两个同名函数;利用函数利用函数的单调性导出结果的单调性导出结果.22322学例1 ( 2 0 0 9 全 国 卷全 国 卷 ) 如 果 函 数如 果 函 数y=3cos(2x+)的图象关于点的图象关于点( ,0)中心对中心对称，那么称，那么|的最小值为（的最小值为（ ）A43A. B. C. D. 6432 （方法一）因为函数（方法一）因为函数y=3cos(2x+)的的图象关于点（图象关于点（ ，0)中心对称，中心对称，所以所以2 +=k+ （kZ）,所以所以=k- (kZ).由此易得由此易得|min= ，故选，故选A.434321366(方法二方法二)

15、因为因为y=cosx的对称中心为的对称中心为(k+ ,0).令令2x+=k+ (kZ)，即即y=3cos(2x+)的对称中心为的对称中心为（ ,0)(kZ).由题意由题意 = ，即即=k- (kZ).由此易得由此易得|min= .2222k22k431366 (2009重庆卷重庆卷)设函数设函数f(x)=sin( - )-2cos2 +1.(1)求求f(x)的最小正周期的最小正周期;(2)若函数若函数y=g(x)与与y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=1对对称，求当称，求当x0, 时时y=g(x)的最大值的最大值.学例24x68x43(1)f(x)=sin xcos -cos xsin

16、 -cos x= sin x- cos x= sin( x- ).故故f(x)的最小正周期为的最小正周期为T= =8.4646432432443243(2)(方法一方法一)在在y=g(x)的图象上任取一点的图象上任取一点(x,g(x)，它关于直线它关于直线x=1的对称点为的对称点为(2-x,g(x).由题设条件，知点由题设条件，知点(2-x,g(x)在在y=f(x)的图象上，的图象上，从而从而g(x)=f(2-x)= sin (2-x)- = sin - x- = cos( x+ ).当当0 x 时，时， x+ .因此，因此，y=g(x)在区间在区间0, 上的最大值为上的最大值为g(x)max= cos = .34332433434334323433332(方法二方法二)因区间因区间0, 关于直线关于直线x=1的对称的对称区间为区间为 ,2，且，且y=g(x)与与y=f(x)的图象的图象关于直线关于直线x=1对称，对称，故故y=g(x)在在0, 上的最大值为上的最大值为y=f(x)在在 ,2上的最大值上的最大值.由由(1)知知f(x)= sin( x- ).当当 x2时，时，- x- .因此因此y=g(x)在在0, 上的最大值为上的最大值为g(x)max= sin = .43322343233432364364336本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来