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1、3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1平面内的角APB60,射线PC与PA、PB所成角均为135,那么PC与平面所成角的余弦值是()AB.C.D答案B解析由三余弦公式知cos45coscos30,cos.2三棱锥PABC的底面是以AC为斜边的直角三角形,顶点P在底面的射影恰好是ABC的外心,PAAB1,BC,那么PB与底面ABC所成角为()A60 B30 C45 D90答案B解析由AB1,BC,知AC,OA,又PA1,PQAC,PO,OBOA,tan.应选B.3正方体ABCDA1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是()A. B. C. D.答案C解析由计算得sin.应选C.
2、4在三棱锥PABC中,ABBC,ABBCPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC,那么直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案D解析以O为原点,射线OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图,设ABa,那么OP,(a,0,a),可求得平面PBC的法向量为n(1,1,),cos(,n),设与面PBC的角为,那么sin,应选D.5假设直线l与平面所成角为,直线a在平面内,且与直线l异面,那么直线l与直线a所成角的取值范围是()A. B.C. D.答案D6如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍,那么斜线段与平面所成角的余弦值为()A.
3、B. C. D.答案A7如图,正方体AC1中,BC1与对角面BB1D1D所成的角是()AC1BB1BC1BDCC1BD1DC1BO答案D解析由三垂线定理得,OB为BC1在平面BB1D1D上的射影应选D.8在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为CC1的中点,那么直线A1B与平面BDE所成的角为()A. B.C. D.答案B解析以D为原点建立空间直角坐标系,平面BDE的法向量n(1,1,2),而(0,1,1),cos,30.直线A1B与平面BDE成60角9正方形纸片ABCD,沿对角线AC折起,使点D在面ABCD外 ,这时DB与平面ABC所成角一定不等于()A30 B45 C60 D90
4、答案D解析当沿对角线AC折起时,BD在面ABC上的射影始终在原对角线上,假设BD面ABC,那么此时B、D重合为一点,这是不成立的,应选D.10等腰直角ABC的一条直角边BC平行于平面,点A,斜边AB2,AB与平面所成的角为30,那么AC与平面所成的角为()A30 B45 C60 D90答案B解析过B、C作BB于B,CC于C,那么BBCC1,sin,45.应选B.二、填空题11正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,那么AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_答案解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,那么C1(0,1,1),A,又平面BB1C1C的一个法向量n(1,0,0),
5、设AC1与平面BB1C1C的夹角为.sin|cosn,|,cos.12正四棱锥SABCD中,O为顶点S在底面内的射影,P为侧棱SD的中点,且SOOD,那么直线BC与平面PAC所成的角是_答案3013AB,AA, A是垂足,BB是的一条斜线段,B为斜足,假设AA9,BB6,那么直线BB与平面所成角的大小为_答案6014正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为AA1、A1D1的中点,那么EF与面A1C1所成的角为_答案45三、解答题15如下列图,ABCD是直角梯形,ABC90,SA平面ABCD,SAABBC1,AD,求SC与平面ABCD所成的角解析解法1:如下列图,设n是平面的法向量,AB是
6、平面的一条斜线,A,那么AB与平面所成的角为arccos;是平面ABCD的法向量,设与的夹角为.,()1.|1,|,cos.arccos.从而CS与平面ABCD所成的角为arccos.解法2:连结AC,显然SCA即为SC与平面ABCD所成的角计算得:AC,tanSCA,故SC与平面ABCD所成角为arctan.16如图,在直三棱柱ABOABO中,OO4,OB3,AOB90.D是线段AB的中点,P是侧棱BB上的一点假设OPBD,试求:(1)OP与底面AOB所成的角的大小;(2)BD与侧面AOOA所成的角的大小解析如图,以O为原点建立空间直角坐标系,由题意,有B(3,0,0),D,设P(3,0,z
7、),那么,(3,0,z)BDOP,4z0,z.P.(1)BB平面AOB,POB是OP与底面AOB所成的角tanPOB,POBarctan.故OP与底面AOB所成角的大小是arctan.(2)(3,0,0),且平面AOOA,平面AOOA的法向量为(3,0,0)又(3,0,0),DB3(2)0(4)0.又|3,|,cos, .BD与侧面AOOA所成的角的大小为,arccos(或写成arcsin)17如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E是CC1的中点,求BE与平面B1BD所成角的正弦值解析如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,那么B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1),
8、(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x,y,z),nBD,nBB1,令y1时,那么n(1,1,0),cos.即BE与平面B1BD所成的角的正弦值为.18(北京)如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PAAB,ABC60,BCA90,点D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC.(1)求证:BC平面PAC;(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的大小;解析考查线面垂直,直线与平面所成角,以及二面角等内容,可以用直接法实现,也可用向量法解法一:(1)PA底面ABC,PABC.又BCA90,ACBC.BC平面PAC.(2)D为PB的中点,DEBC,
9、DEBC.又由(1)知,BC平面PAC,DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC,PAAB,又PAAB,ABP为等腰直角三角形,ADAB.在RtABC中,ABC60,BCAB.在RtADE中,sinDAE.AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin.解法二:(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.设PAa,由可得A(0,0,0),B,C,P(0,0,a)(1)(0,0,a),0,BCAP.又BCA90,BCAC.BC平面PAC.(2)D为PB的中点,DEBC,E为PC的中点D,E.又由(1)知,BC平面PAC.DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角,cosDAE.AD与平面PAC所成的角的大小为arccos.