四川省成都市新都一中数学选修2-2同步测试：第二章 综合检测 .docx

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1、第二章综合检测一、选择题1.自然数都是整数,4是自然数,所以4是整数.以上“三段论”推理().A.正确B.推理形式不正确C.两个“自然数”概念不一致D.“两个整数”概念不一致【解析】“三段论”中的大前提,小前提及推理形式都是正确的.【答案】A2.余弦函数是偶函数,f(x)=cos(x+1)是余弦函数,因此f(x)=cos(x+1)是偶函数,以上推理().A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确【解析】因为f(x)=cos(x+1)不是余弦函数,所以小前提错误.【答案】C3.下列推理不是合情推理的是().A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的

2、内角和都是180,归纳出所有三角形的内角和都是180C.某次考试张军的成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】A是类比推理,B、D是归纳推理,C不是合情推理.【答案】C4.若f(n)=1+12+13+12n+1(nN*),则当n=2时,f(n)等于().A.1+12B.15C.1+12+13+14+15D.均不正确【解析】f(n)=1+12+13+12n+1,分子是1,分母是1,2,3,2n+1,故当n=2时,f(n)=1+12+13+122+1=1+12+13+14+15.【答案】C5

3、.下列推理是归纳推理的是().A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则点P的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积S=r2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn的表达式,是从特殊到一般的推理,所以选项B中的推理是归纳推理,故选B.【答案】B6.函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2D都有|f(x1)-f(x2)|1,则称函数y=f(x)为“Storm”函数.那么下列函数是“Sto

4、rm”函数的是().A.f(x)=x2(x-1,2)B.f(x)=x3(x0,1)C.f(x)=-2x+1(x-1,0)D.f(x)=1x(x1,3)【解析】由定义知|f(x1)-f(x2)|小于等于函数f(x)的最大值与最小值之差的绝对值,故要判断一个函数是否为“Storm”函数,只需看这个函数的最值之差的绝对值是否小于1即可.在选项D中,因为f(x)=1x在x1,3上是减函数,所以令m=f(3)=13,M=f(1)=1,所以|M-m|=1-13=231,所以该函数是“Storm”函数.【答案】D7.下列推理正确的是().A.把a(b+c)与loga(x+y)进行类比,则有loga(x+y)

5、=logax+logayB.把a(b+c)与sin(x+y)进行类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n进行类比,则有(x+y)n=xn+ynD.把(a+b)+c与(xy)z进行类比,则有(xy)z=x(yz)【答案】D8.用数学归纳法证明:12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=n(2n2+1)3.从n=k到n=k+1,等式左边应添加的式子是().A.(k-1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.13(k+1)2(k+1)2+1【解析】当n=k时,左边=12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12;当n=k

6、+1时,左边=12+22+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+22+12.所以从n=k到n=k+1,左边应添加的式子为(k+1)2+k2.【答案】B9.如表所示,若数列xn满足x0=5,且对任何自然数均有xn+1=f(xn),则x2019=().x12345f(x)41352A.1B.2C.4D.5【解析】因为x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,所以数列xn是周期为4的数列,所以x2019=x3=4.故选C.【答案】C10.在ABC中,角A,B,C分别为边a,b,c所对的角.若a,b,c成等差数列,则

7、角B的取值范围是().A.0,4B.0,3C.0,2D.2,【解析】a,b,c成等差数列,a+c=2b,cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=3(a2+c2)8ac-146ac8ac-14=12.又余弦函数y=cosx在区间0,2内单调递减,0B3.故选B.【答案】B11.观察数表:1234第一行2345第二行3456第三行4567第四行第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律,第n行第n列交叉点上的数应为().A.2n-1B.2n+1C.n2-1D.n2【答案】A12.若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则().A.A1B1

8、C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形【解析】由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,故A1B1C1是锐角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形,由sin A2=cos A1=sin2-A1,sin B2=cos B1=sin2-B1,sin C2=cos C1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,故A2+B2+C2=2,这与三角形内角和为相矛盾,所以假设不成立.又由已知可得A2B2C2不是直角三角形,所以A2B

9、2C2是钝角三角形.【答案】D二、填空题13.已知x,yR,且x+y1,求证:a,b,c,d至少有一个负数.【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)ac+bd,这与已知ac+bd1矛盾.故a,b,c,d至少有一个负数.18.已知A,B都是锐角,且A+B90,(1+tan A)(1+tan B)=2.求证:A+B=45.【解析】(1+tan A)(1+tan B)=2,tan A+tan B=1-tan Atan B.A+B90,tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=1.A,B都是锐角,0A+B0,b0,2ca+b,求证

10、:c-c2-abac+c2-ab.【解析】要证c-c2-abac+c2-ab,只需证-c2-aba-cc2-ab,即证|a-c|c2-ab,只需证(a-c)2(c2-ab)2,只需证a2-2ac+c2a2+ab.因为a0,所以只需证2ca+b.又因为2ca+b成立.所以原不等式成立.20.已知ABC的三边长都是有理数,求证:(1)cos A是有理数;(2)对任何正整数n,cos nA和sin Asin nA都是有理数.【解析】(1)由AB,BC,AC的长为有理数及余弦定理知,cos A=AB2+AC2-BC22ABAC是有理数.(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理

11、数.当n=1时,由(1)知cos A是有理数,从而有sin Asin A=1-cos2A也是有理数.假设当n=k(k1,kN*)时,cos kA和sin Asin kA都是有理数,那么当n=k+1时,cos(k+1)A=cos Acos kA-sin Asin kA,sin Asin(k+1)A=sin A(sin Acos kA+cos Asin kA)=(sin Asin A)cos kA+(sin Asin kA)cos A,由和归纳假设知,cos(k+1)A和sin Asin(k+1)A都是有理数.即当n=k+1时,结论成立.综合可知,对任何正整数n,cos nA和sin Asin n

12、A都是有理数.21.如图,已知在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,且PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD.(2)求证:平面BDE平面PAC.(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)PAAB,PABC,且ABBC=B,PA平面ABC.又BD平面ABC,PABD.(2)AB=BC,D为线段AC的中点,在ABC中,BDAC.又由(1)知,PABD,PAAC=A,BD平面PAC.又BD平面BDE,平面BDE平面PAC.(3)当PA平面BDE时,由D是AC的中点知,E为PC的中点.因此ED=12PA=1,ED平面BD

13、C.由AB=BC=2,ABBC,D为AC的中点知,BD=CD=2.又由BDAC知,BDDC,即BDC=90.因此VE-BCD=13SBCDED=1312221=13.22.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=an2+1an-1,且an0,nN*.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明.【解析】(1)a1=S1=a12+1a1-1,即a12+2a1-2=0,an0,a1=3-1.S2=a1+a2=a22+1a2-1,即a22+23a2-2=0,a2=5-3.S3=a1+a2+a3=a32+1a3-1,即a32+25a3-2=0,a3=7-5.(2)由(1)猜想an=2n+1-2n-1,nN*.下面用数学归纳法证明:当n=1时,由(1)知a1=3-1,猜想成立;假设当n=k(kN*)时,ak=2k+1-2k-1, 猜想成立,那么当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=ak+12+1ak+1-1-ak2+1ak-1=ak+12+1ak+1-2k+1.ak+12+22k+1ak+1-2=0.ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1,即当n=k+1时猜想也成立.综上可知,对任何nN*猜想都成立.