2018_2019学年高中数学第一章三角函数4.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案北师大版必修.doc

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1、4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质44单位圆的对称性与诱导公式(一)内容要求1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，并能初步运用性质解决相关问题(重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.3.理解诱导公式的推导过程(重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点)知识点1单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数ysin x余弦函数ycos x定义域R值域1,1周期2在0,2上的单调性在，上是增加的；在上是减少的在，2上是增加的；在0，上是减少的【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦函数ysin x与余弦函数y

2、cos x的定义域都是R.()(2)函数ysin x在0，上是单调减函数()(3)函数ycos x在0，上的值域是0,1()(4)函数ysin x的最大值为1，最小值为1.()知识点22k，(kZ)的诱导公式对任意角，有下列关系式成立：sin(2k)sin ，cos(2k)cos .(1.8)sin()sin ，cos()cos .(1.9)sin(2)sin ，cos(2)cos .(1.10)sin()sin ，cos()cos .(1.11)sin()sin ，cos()cos .(1.12)这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是

3、将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号【预习评价】1视为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.角2k2所在象限一二三四四2.设为任意角，则2k，2k，的终边与的终边有怎样的对应关系？试完成下表.相关角终边之间的对称关系2k与终边相同与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称题型一正弦函数、余弦函数的定义域问题【例1】求下列函数的定义域：(1)y4cos x；(2)y.解(1)由y4cos x知定义域为R.(2)由题意知2sin x10，即sin x在一周期内满足上述条件的角为x，由此可以得到函数的定义域为(kZ)规律方法利用单位圆与正弦函数、余弦函数的

4、基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意识求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式【训练1】(1)函数y的定义域为_(2)函数yln sin x的定义域为_解析(1)由2cos x0知cos x2，又由cos x1,1，故定义域为R.(2)由题意知sin x0.又ysin x在0,2内sin x0满足0x，定义域为(2k，2k)(kZ)答案(1)R(2)(2k，2k)(kZ)题型二正弦函数、余弦函数的值域问题【例2】求下列函数的值域：(1)y(sin x2)21；(2)ymsin xn(m0)解(1)设ts

5、in x，则有y(t2)21，t1,1，当t1时 ，y(t2)21取得最大值10；当t1时，y(t2)21取得最小值2，y(sin x2)21的值域为2,10(2)sin x1,1，且m0，当m0时，ymsin xn的值域是nm，nm；当m0时，ymsin xn的值域是nm，nm综上可知，函数ymsin xn(m0)的值域是n|m|，n|m|规律方法求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用【训练2】求ycos x，x，的最大值解结合单位圆知ycos x在上y.故最大值为0，即ymaxcos 0.方向1给角求值问题【例31】求下列三角函数的值：(1)sin；(2)c

6、os 960.解(1)sinsinsinsinsinsin.(2)cos 960cos(2402360)cos 240cos(18060)cos 60.方向2给值求值问题【例32】已知sin(75)，求sin(105)的值解sin(105)sin180(75)sin(75).方向3化简问题【例33】化简(注：对任意角有sin2cos21成立).解原式1.规律方法1.解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化2化简三角函数式的策略(1)化简时要使函数类型

7、尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.课堂达标1sin 585的值为()AB.C D.解析sin 585sin(360225)sin(18045)sin 45.答案A2若sin x2m3，且x，则m的取值范围为()A.B.C. D.解析x，结合单位圆知sin x，即2m3.m.答案C3在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin ，则sin _解析与的终边关于y轴对称，则2k，kZ，2k，kZ.sin sin(2k)sin .答案4已知cos，则cos_.

8、解析coscoscos.答案5化简：.解原式1.课堂小结1求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用2明确各诱导公式的作用(1)将角转化为02之间的角求值；(2)将02内的角转化为0之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值3诱导公式的记忆诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.基础过关1cos 660的值为()AB.C D.解析cos 660cos(360300)cos 300cos(18012

9、0)cos 120cos(18060)cos 60.答案B2若sin()0，则在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析sin()sin 0.cos()cos()cos 0，cos 0，为第二象限角答案B3已知sin，则sin的值为()A.BC.D解析sinsinsinsin.答案D4函数y2sin x的最小正周期为_解析因为2sin(2x)2sin x，所以y2sin x的最小正周期为2.答案25f(x)asin(x)bcos(x)2，其中a、b、为非零常数若f(2 016)1，则f(2 017)_.解析f(2 016)asin(2 016)bcos(2 016)2asin bcos

10、 21，asin bcos 1.f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017)2(asin bcos )2(1)23.答案36化简下列各式(1)sin()cos ；(2)sin(960)cos 1 470cos(240)sin(210)解(1)sin()cos sin(6)cos()sin cos .(2)sin(960)cos 1 470cos 240sin(210)sin(180602360)cos(304360)cos(18060)sin(18030)sin 60cos 30cos 60sin 301.7(1)已知函数yacos xb的最大值是0，最小值是4，求a、b的值；

11、(2)求y2sin x，x，的最大值与最小值解(1)当a0时，解得当a0时，解得a2，b2或ab2.(2)当x时，ymax1，当x时，ymin2.能力提升8若cos()，2，则sin(2)等于()A.B C. D.解析由cos()，得cos ，2，.故sin(2)sin sin sin (为第四象限角)答案D9在ABC中，给出下列四个式子：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；sin(2A2B)sin 2C；cos(2A2B)cos 2C.其中为常数的是()ABCD解析sin(AB)sin C2sin C；cos(AB)cos Ccos Ccos C0；sin(2A2B)sin

12、2Csin2(AB)sin 2Csin2(C)sin 2Csin(22C)sin 2Csin 2Csin 2C0；cos(2A2B)cos 2Ccos2(AB)cos 2Ccos2(C)cos 2Ccos(22C)cos 2Ccos 2Ccos 2C2cos 2C.故选B.答案B10下列三角函数，其中nZ，则函数值与sin的值相同的是_(只填序号)sin；cos；sin；cos；sin.解析对于，当n2m时，sinsinsin，不同；对于，coscossin，相同；对于，coscossin.不同；对于，sinsinsin，相同答案11已知f(x)则f()f()_.解析f()sin()sin ，f()f()1f()2sin()2，f()f()2.答案212化简：(kZ)解当k2n(nZ)时，原式1；当k2n1(nZ)时，原式1.综上，原式1.13(选做题)若x，求函数ysin2 xsin x1的最大值和最小值解令tsin x.x，结合单位圆知t，yt2t12，t，又t，当t时，ymin1；当t1时，ymax1.