解三角形题型总结.docx

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1、精品名师归纳总结解三角形题型总结ABC 中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1由于 A B C ,所以 sin ABsin C,cos ABcosC,tan ABtan C 。sin ACsin B,cos ACcos B,tan ACtan B 。sin BCsin A,cosBCcos A,tan BCtan A由于 ABC,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 sin ABcos C , cos ABsinC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222. 大边对大角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 在 ABC 中,熟

2、记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA 2A 、B、C 成等差数列的充要条件是B=60。tanB tanC;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a、 b、c 成等比数列 .二、 正弦定理 ：文字：在ABC 中,各边与其所对角的正弦的比值都相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号：a sin Ab sin Bc2 Rsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式变形：a2 Rsin Ab2 Rsin Bc2 Rsin C 边转化成角

3、）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sin Aa sin B 2Rb sin C 2 Rc（角转化成边）2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a : b : csinA : sinB : sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Aab sin Bcsin Ca sin Ab sin Bc2 Rsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、余弦定理 ：文字：在ABC 中,任意一边的

4、平方,等于另外两边的平方和,减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结符号： a 2b2c22bc cos Ab 2a 2c22ac cos Bc2a 2b 22ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变形：cos Ab 2c2a 22bccos Ba 2c2b2 2accos Ca 2b 2c22 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、 面积公式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） S（ 3） S1 aha21 absin C（ 2

5、） S1 bcsin A1 r abc （其中 r 为三角形内切圆半径）21 ac sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222五、 常见三角形的基本类型及解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）已知两角和一边（如已知A, B, 边 c ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：依据内角和求出角C依据正弦定理a AB 。bc2 R 求出其余两边a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知两边和

6、夹角（如已知a,b,C ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解法：依据余弦定理c22a b2ab cos C 求出边 c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据余弦定理的变形依据内角和定理求角cos A Bb 2c2a 22bc AC .求 A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）已知三边（如：a,b, c ）2b 2c2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法：依据余弦定理的变形依据余弦定理的变形依据内角和定理求角cos A cos B C2bca 2c22 acAB求 A 。 b求角 B 。可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结2（ 4）已知两边和其中一边对角（如：a,b, A ）（留意争论解的情形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1：如只求第三边,用余弦定理：c2a 2b 2ab cos C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：如不是只求第三边,先用正弦定理asin Absin Bcsin C2 R 求 B （可能显现一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解,两解或无解的情形,见题型一）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再依据内角和定理求角C先看一道例题： AB 。 .可编辑

8、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： 在 ABC 中,已知 b6, c23, B300,求角 C。（答案： C450 或1350 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、 在 ABC 中,已知 a,b, A ,就 ABC 解的情形为：法一：几何法（不建议使用）（注：表中, A 为锐角时,如ab sin A ,无解。 A 为钝角或直角时,如ab ,无解 .A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式解的个数ab sin Ab sin Aababab一解两解一解一解法二：代数法（建议使用）通过例子说明步骤：大角对大边结合正弦定理一起使

9、用（见题型一）题型总结：题型一、利用 正弦定懂得决 “两边一对角 ”的类型模型：在ABC 中,已知边 a, b和角 A ,如不是求第三边c,用正弦定理。例 1： 在 ABC 中,已知a2,c2, A45 ,求 C。（答案：0C300 ）例 2： 在 ABC 中,已知b6, c23, B300,求 C。（答案： C450 或1350 ）例 3： 在 ABC 中,已知a2, b2 , B3002,求 A 。（答案：无解）例 4：（ 3）在 ABC 中,已知a2,b1, B30 ,求 A 。（答案：一解）0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

10、结练习： 1。在ABC 中,已知 a2,b3, B600 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 在 ABC 中,已知 b3. 在 ABC 中,已知 a3 ,c23, c3, C4, A450 解三角形。600 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型二、利用 正弦定懂得决 “已知两角一边 ”的类型两角一边（两角一对边,两角一夹边）模型 1：在 ABC 中,已知角 A, B 和边 a ,解三角形。模型 2：在 ABC 中,已知角 A, B 和边 c ,解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

11、归纳总结用正弦定理例题：例题 1：在ABC 中,已知 A300, B450 , a2 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：依据三角形内角和定理,得C1800 AB2218007501050 ,再依据正弦定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理asin Ab sin B, 得 ba s i Bn2s i An1222, 再 根据 余弦 定 理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a 2b 22ab cos C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 c222 （22）22 2 22

12、 cos105084 3 （ 26）2 ,所以 c26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上： C1050, b2 2, c26 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 2：在ABC 中,已知 B750, C450 , a2 3 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：依据三角形内角和定理,得A1800 BC18001200600 ,再依据正弦定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结理asin Ab sin B, 得 b26a s i nB23 4s i nA3223226 , 再 根 据 正 弦 定 理可编辑资料 - - - 欢

13、迎下载精品名师归纳总结a sin Ac sin C,得 canisCnisA222 。综上, A32600, b26, c22 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1 在 ABC 中,已知 B600 ,C150, c4 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 在 ABC 中,已知 A450 ,C600, b6 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型三、利用余弦定懂得决“已知两边一夹角 ”的类型模型：在ABC 中,已知边 a, b和角

14、C ,解三角形。用余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1：在 ABC 中,已知 a1, b2, C600 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析：依据余弦定理c2222ab2ab cos C ,得 c12122 1 23 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 c3 ,再依据余弦定理,得cosBa2c2b212（3）2- 220 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000又由于 00B1800 ,所以 B0900 ,

15、2ac2 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再依据内角和定理,得A180BC18015030 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上, A300 , B900, c3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1 在 ABC 中,已知 a4, b2, C600 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型四、利用余弦定懂得决“已知三边 ”的类型模型：已知边 a, b, c 解三角形。依据

16、余弦定理,cos Ab 2c2a 22bc,cos Ba 2c2b2,2 ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos Ca2b 22abc2,分别求得角A, B, C （或依据内角和定理求得角C 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 1：在ABC 中,已知 a2,b4,c2 3 解三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2c2a242 （23）2- 223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 析 ： 根 据 余 弦 定 理 , 得c

17、o sA, 又 因 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2bc2 4 2 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00A1800 ,所以 A300 ,再依据余弦定理,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 cosBa2c2b222 （23）2 - 420 ,又 00B1800 ,所以 B900 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ac2 2 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再依据三角形内角和定理,得C1800 AB18001200600 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上, A300,B900, C

18、600 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1 在 ABC 中,已知 a2, b3, c62解三角形。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型五、利用余弦定懂得决“已知两边一对角 ”的类型模型：在ABC 中,已知边 a, b和角 A ,如只求第三边 c,用余弦定理。模型：在 ABC 中,已知边 a,b 和角 A,如不是只求第三边c,用正弦定理。例题：例题 1：在ABC 中,已知 a2, c2 , A450 ,求边 b。解析：依据余弦定理a 2b 2c22bc cos A ,得 22b 2（ 2）22b2 cos 450 ,既 b22b20 ,解得 b13 或

19、b13 （舍去）,练习： 在 ABC 中,已知b6,c23, B30 ,求边 a。（答案：0a33 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型六、 三角形面积例 1在ABC 中, sin A积。cosA22, AC2 , AB3 ,求tan A 的值和ABC的面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 sin Acos A 运算它的对偶关系式sin Acos A 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s i nA si nAcos A222c oA s12可

20、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 s i nAc Ao s12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0A1 8 0 ,sAi n0 A, c o s 0.另解 s i nA212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 s i nAs i nAc o sA 2cos A6212 s i nAc o sA3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 +得 sin A46 , 得 cosA26 。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 ta

21、n Asin A cos A26442623 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABC1 ACABsin A 212326243 26 以下解法略去。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 1 在 ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos2 A3cosBC1 .(I) 求角 A 的大小 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(II) 如 ABC 的面积 S53 , b5 ,求 sin Bsin C 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

22、解:I 由已知条件得 : cos2A3cos A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2cos 2 A3cos A20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 cos A11 ,角 A602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结IISbc sin A532c 4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由余弦定理得 : a 221 ,2 R 2a28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin B sin Cbc54 R27sin2 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习

23、 2. 已知 ABC 的周长为21,且 sin Asin B2 sin C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ I）求边 AB 的长。（ II ）如 ABC的面积为 1 sin C ,求角 C 的度数6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ I）由题意及正弦定理,得ABBCAC21, BCAC2 AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减,得 AB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ II）由ABC的面积 1BC ACsin C1 sin C ,得BC AC1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结263可编辑资

24、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理, 得 cos CAC 2BC2AB 2 ACBC22 AC BCAB 21,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 AC BC2 AC BC2所以 C60 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 3在 ABC中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c2 , C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 ABC的面积等于3 ,求 a, b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如 sin Csin BA2sin 2 A ,求 ABC的面积可编辑资料 - - -

25、欢迎下载精品名师归纳总结解：（）由余弦定理及已知条件得,a 2b2ab4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由于 ABC的面积等于3 ,所以 1 ab sin C23 ,得 ab4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组a2b2ab4,a解得ab4,2 , b2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）由题意得 sin BAsin BA4sin A cos A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin B cos A2sinA cos A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4323可编辑资料 - - - 欢迎下

26、载精品名师归纳总结当 cos A0 时, A, B, a, b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 cos A20 时,得 sin B62sin3A ,由正弦定理得3b2a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b2ab4,2343可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结联立方程组解得 a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2a,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ABC的面积 S1 ab sin C23 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23可编辑资

27、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型七：看到“ a2 = b 2+c 2bc” 想到余弦定理例 1：在 ABC 中, a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长,已知 b2ac ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 a2c2=ac bc,求 A 的大小及bsin B c的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：因给出的是a、 b、c 之间的等量关系,要求A,需找 A 与三边的关系,故可用余可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结弦定理。由 b2 =ac 可变形为解法一： b2=ac。b 2c=a

28、,再用正弦定理可求b sin B c的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 a2 c222 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=ac bc, b +c=bc。222bcabc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在ABC 中,由余弦定理得： cosA=2bc= 2bc = 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A=60。在ABC 中,由正弦定理得sinB= A=60,bsinaA , b2=ac,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

29、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b sin Bcb 2 sin 60 ac=sin603= 2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：在 ABC 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由面积公式得1 bcsinA= 21 acsinB。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b2=ac, A=60 , bcsinA=b2sinB。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 b sin Bc=sin A=3 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评述： 解三角形时, 找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边

30、两角之间的关系常用正弦定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型八：利用正、余弦定理判定三角形外形 边角互化问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.在 ABC 中,已知2 sinA cos Bsin C,那么ABC 肯定是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1：由2 sinA cos Bsin C sinA B sin AcosB cosAsin B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 sin AcosB cosAsinB

31、 0,得 sin A B 0,得 AB应选 B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2：由题意,得 cosB sin Cc,再由余弦定理,得cosB222acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2sin A2a2 ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222acb 2acc ,即 a b ,得 a b,应选 B 222a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：判定三角形外形,通常用两种典型方法：统一化为角,再判定如解法 1,统一化为边,再判定 如解法 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 2. 在 ABC 中,如 a

32、b 2tan A tan B,试判定 ABC 的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：故 ABC 为等腰三角形或直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 1. 在 ABC 中,a cos Abcos,判定 ABC 的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：ABC 为等腰三角形或直角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 2、在ABC 中,a 2 sin Bb2 sinA , 这个三角形是三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 3、 在ABC中, acsin A且 sinC2sin Asin B,判定ABC的外形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型九：三角形中最值问题例 1 ABC 的三个内角为 A、B、C并求出这个最大值。,求当 A 为何值时, cos A2cosBC取得最大值,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 A+B+C=,得 B+C = A ,所以有B+Ccos=sinA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222B+CA2AAA1