（京津专用）2019高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练（四）立体几何与空间向量理.doc

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1、(四)立体几何与空间向量1(2018四川成都市第七中学诊断)在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，ABDC，ABAD1，CD2，ACEC.(1)求证：平面EBC平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，3，求二面角MBDE的平面角的余弦值(1)证明由AD1，CD2，AC，得AD2CD2AC2，ADC为直角三角形，且ADDC，同理EDC为直角三角形，且EDDC.又四边形ADEF是正方形，ADDE.又ABDC，DAAB.在梯形ABCD中，过点B作BHCD于点H，故四边形ABHD是正方形在BCH中，BHCH1，BCH45，BC，BDC45，DBC90，BCBD.EDAD，

2、EDDC，ADDCD，AD，DC平面ABCD，ED平面ABCD，又BC平面ABCD，EDBC，又BDEDD，BD，ED平面EBD，BC平面EBD，又BC平面EBC，平面EBC平面EBD.(2)解由(1)可得DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,2,0)令M(0，y0，z0)，则(0，y0，z01)，(0,2，1)，3，(0,3y0,3z03)(0,2，1)，点M的坐标为.BC平面EBD，(1,1,0)是平面EBD的一个法向量设平面MBD的法向量为m(x，y

3、，z)(1,1,0)，则即可得xyz.令y1，得m(1，1,1)cosm，.由图形知二面角MBDE为锐角，二面角MBDE的平面角的余弦值为.2(2018安徽省合肥市第一中学模拟)底面OABC为正方形的四棱锥POABC，且PO底面OABC，过OA的平面与侧面PBC的交线为DE，且满足SPDESPBC14.(1)证明：PA平面OBD；(2)当S3S时，求二面角BOEC的余弦值(1)证明由题意知四边形OABC为正方形，OABC，又BC平面PBC，OA平面PBC，OA平面PBC，又OA平面OAED，平面OAED平面PBCDE，DEOA，又OABC，DEBC.由PDEPCB，且SPDESPBC14，知E

4、，D分别为PB，PC的中点连接AC交OB于点F，则点F为AC的中点，连接DF.DFPA，DF平面OBD，PA平面OBD，PA平面OBD.(2)解底面OABC为正方形，且PO底面OABC，PO，OA，OC两两垂直，以O为坐标原点，OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设OAOC2a，OP2b，则O(0,0,0)，C(0,2a,0)，B(2a,2a,0)，F(a，a,0)，P(0,0,2b)，E(a，a，b)PO平面OABC，CF平面OABC，CFPO.四边形OABC为正方形，CFOB，又POOBO，PO，OB平面POB，CF平面POB，即CF平面O

5、BE，平面OBE的一个法向量为(a，a,0)设平面OEC的一个法向量为m(x，y，z)，而(0,2a,0)，(a，a，b)由得取za可得，m(b,0，a)为平面OCE的一个法向量设二面角BOEC的大小为，由图易得为锐角，由S3S，得POOA，.故cos ，二面角BOEC的余弦值为.3(2018宁夏回族自治区银川一中模拟)如图，已知DEF与ABC分别是边长为1与2的正三角形，ACDF，四边形BCDE为直角梯形，且DEBC，BCCD，点G为ABC的重心，N为AB的中点，AG平面BCDE，M为线段AF上靠近点F的三等分点(1)求证：GM平面DFN；(2)若二面角MBCD的余弦值为，试求异面直线MN与

6、CD所成角的余弦值(1)证明在ABC中，连接AG并延长交BC于点O，连接ON，OF.因为点G为ABC的重心，所以，且O为BC的中点又，所以，所以GMOF.因为点N为AB的中点，所以NOAC.又ACDF，所以NODF，所以O，D，F，N四点共面，又OF平面DFN，GM平面DFN，所以GM平面DFN.(2)解由题意知，AG平面BCDE，因为AG平面ABC，所以平面ABC平面BCDE，又BCCD，平面ABC平面BCDEBC，CD平面BCDE，所以CD平面ABC.又四边形BCDE为直角梯形，BC2，DE1，所以OECD，所以OE平面ABC.因为ACDF，DEBC，ACBCC，DEDFD，AC，BC平面

7、ABC，DE，DF平面DEF，所以平面ABC平面DEF，又DEF与ABC分别是边长为1与2的正三角形，故以O为坐标原点，OC，OE，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设CDm，则C(1,0,0)，D(1，m,0)，A(0，0，)，F，B(1,0,0)，N，因为，所以M，(2,0,0)，设平面MBC的一个法向量为n(x，y，z)，由得令zm，得n(0，m)又平面BCD的法向量为v(0,0,1)由题意得|cosv，n|，解得m，又，所以|cos，| .所以异面直线MN与CD所成角的余弦值为.4(2018益阳统考)如图，在三棱锥PABC中，PA，AB，AC两两垂直，

8、PAABAC，平面平面PAB，且与棱PC，AC，BC分别交于P1，A1，B1三点(1)过A作直线l，使得lBC，lP1A1，请写出作法并加以证明；(2)若，D为线段B1C的中点，求直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值解(1)作法：取BC的中点H，连接AH，则直线AH即为要求作的直线l.证明如下：PAAB，PAAC，且ABACA，AB，AC平面ABC，PA平面ABC.平面平面PAB，且平面PACP1A1，平面PAB平面PACPA，P1A1PA，P1A1平面ABC，P1A1AH.又ABAC，H为BC的中点，则AHBC，从而直线AH即为要求作的直线l.(2)，又平面平面PAB，.以A为坐标原点，

9、AB，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB3，则A1(0,1,0)，B1(2,1,0)，P(0，0,3)，P1(0,1,2)，D(1,2,0)，则(2,0,0)，(0,1，3)，(1,1，2)，设平面PA1B1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(0,3,1)则cos，n.故直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值为.5(2018江西省重点中学协作体联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABAC2，AD2，PB，PBAC.(1)求证：平面PAB平面PAC；(2)若PBA45，试判断棱PA上是否存在与点P，A不重合的点E

10、，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(1)证明因为四边形ABCD是平行四边形，AD2，所以BCAD2，又ABAC2，所以AB2AC2BC2，所以ACAB，又PBAC，ABPBB，AB，PB平面PAB，所以AC平面PAB.又因为AC平面PAC，所以平面PAB平面PAC.(2)解由(1)知ACAB，AC平面PAB，分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,2,0)， (2,2,0)，由PBA45，PB，可得P(1,0,1)，所以(1,0,1)，(1,0,1)，假设棱PA上存在点E，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为，设(01)，则(，0，)，(，2，)，设平面PBC的法向量n(x，y，z)，则即令z1，可得xy1，所以平面PBC的一个法向量n (1,1,1)，设直线CE与平面PBC所成的角为，则sin |cosn，| ，解得或(舍)所以在棱PA上存在点E，且，使得直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.