江苏专用版高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数数学归纳法教师用书理.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第十三章推理与证明、算法、复数 13.3数学归纳法老师用书理 苏教版数学归纳法一般的，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：假如(1) 当 n 取第一个值n0 例如 n0 1,2 等 时结论正确。*(2) 假设当 n k k N ，且 k n0 时结论正确，证明当nk 1 时结论也正确那么，命题对于从n0 开头的全部正整数n 都成立【摸索辨析】判定以下结论是否正确 请在括号中打“”或“”(1) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n 1 时结论成立(2) 全部与正整数有关的数学命题都必需

2、用数学归纳法证明(3) 用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用(4) 不论是等式仍是不等式，用数学归纳法证明时，由n k 到 n k 1 时，项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式“1 2 22 2n 2 2n 31”，验证n1 时，左边式子应为123 2 2 2 .6 用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n03.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 22n11 a*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1用数学归纳法证明1 a a a边的项是 答案1 a a2解析当 n 1 时， n 1 2， 1 a a1， n N ，在验证 n 1 时，等式左可编辑资料

3、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122左边 1 a a 1 a a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122021 南京模拟 已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明1 11 1 211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2341nn 2n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精

4、品名师归纳总结 2n 时，如已假设n k k2 且 k 为偶数 时命题为真，就仍需要用归纳假设再证 n k 1 时等式成立 n k 2 时等式成立 n 2k 2 时等式成立 n 2 k 2 时等式成立答案解析由于 n 为正偶数， n k 时等式成立，即 n 为第 k 个偶数时命题成立，所以需假设n 为下一个偶数，即nk 2 时等式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n3在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12 n 3 条时，第一步检验n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案3解析凸 n 边形边数最小时是三角形，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

5、结故第一步检验n 3.2n4 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4用数学归纳法证明1 2 3 n 2，就当 n k 1 时左端应在n k 的基础上加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上 2222答案 k 1 k 2 k 3 k 12解析等式左边是从1 开头的连续自然数的和，直到n .2222故 n k 1 时，最终哪一项 k 1 ，而 n k 时，最终哪一项k ，应加上 k 1 k 222 k 3 k 1 .2*5 教材改编 已知 an 满意 an1 an nan 1，nN ，且 a12，就 a2 ，a3 ，a4 ，猜想 an .答案345n 1题型一用数学归纳

6、法证明等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -111*例1设 f n 1 2 3 n nN 求证：f 1 f 2 f n 1 n f n *1 n2， nN 证明当 n2 时，左边 f 1 1，1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边 21 1 1， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品名师归纳总结左边右边，等式成立*假设 n k k2， kN 时，结论成立，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1 f 2 f k 1 k f k 1 ，那么，当n k 1 时，f 1 f 2 f k 1 f k k f k 1 f k k 1 f k k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 f k1 k k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 f k 1 k 1 k1 f k1 1 ，当 n k 1 时结论成立*由可知，f 1 f 2 f n 1 n f n 1 n2， n N 思维升华用数学归纳法证明恒等式应留意(1) 明确

8、初始值n0 的取值并验证n n0 时等式成立(2) 由 n k 证明 n k 1 时，弄清左边增加的项，且明确变形目标(3) 把握恒等变形常用的方法：因式分解。添拆项。配方法2021 南京质检 用数学归纳法证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2212*1nnn2 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结335nnn211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明当 n1 时，左边 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边331 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边右边，等式成立假设 n k k1， kN* 时，等

9、式成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2212即1k2kk，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结335kkk当 nk 1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左边1222k2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13kkk35kkk2kkkk可编辑资

10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kkkk2kkkk2 5kkkkkk，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结右边kk 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk，k左边右边，等式成立*即对全部n N ，原式都成立题型二用数学归纳法证明不等式a*例 22021 泰州模拟 等比数列 n 的前 n 项和为 Sn，已知对任意的n N ，点 n，Sn 均在函数 y bx r b0 且 b1， b， r 均为常数 的图象上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求 r 的值。(2) 当b 2时 ， 记bn 2log*2an 1 n N ， 证 明 ： 对

11、 任 意 的n N ， 不 等 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1 1b1b2 1b2bn 1bnn 1成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n(1) 解由题意， Sn b r ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n2时， Sn 1 bn 1 r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1所以 an Sn Sn1 b b 1 由于 b0 且 b1，所以 n2时， an 是以 b 为公比的等比数列 又 a1b r ， a2 b b 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

12、结a2a所以 b，即1bbb r b，解得 r 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1(2) 证明由1 及 b 2 知 an 2.*因此 bn 2n nN ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所证不等式为2 124 1432n 12nn 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n 1 时，左式，右式2， 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - -

13、欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -左式 右式，所以结论成立*假设 n k k1， kN 时结论成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 1即24 142k12kk 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 n k 1 时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 14 12k 12k 32k 32k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结242kkk 1，k2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要证当 n k 1 时结论成立，2k 3可编辑资料 - - - 欢迎

14、下载精品名师归纳总结只需证k 2，2k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k 3即证kk，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由基本不等式得2k 32k 32kk2kk成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故2k 1k 2成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结*所以当 n k 1 时，结论成立 由可知，当n N 时，不等式b1 1b1b2 1b2bn 1bnn 1成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思维升华数学归纳法证明不等式的适用范畴及关键(1) 适用范畴： 当遇到

15、与正整数n 有关的不等式证明时，如用其他方法不简单证，就可考虑应用数学归纳法(2) 关键：由n k 时命题成立证nk 1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化2如函数 f x x 2x 3，定义数列 xn 如下： x1 2，xn1 是过点 P4,5、Qn xn，f xn 的直线 PQn 与 x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.证明当 n1 时， x12， f x1 3， Q12 ， 3 所以直线PQ1 的方程为 y4x 11，11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

16、归纳总结令 y0，得 x2，因此 2 x1x23，4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 n1 时结论成立假设当n k 时，结论成立，即2 xk xk 13.fxk 1 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 nk 1 时，直线PQk 1 的方程为y 5xk 1 4 x 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 -

17、 - - - - - - - - - - -2又 f xk 1 xk 1 2xk 1 3，代入上式，令y 0，34xk 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 xk 22 xk 1 42 xk， 155可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由归纳假设，2xk 13， xk 24 xk 1 xk 12xxk2 xk1 k 10，2 3 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 xk 1xk 2，所以 2xk 1xk 23，即当 n k 1 时，结论成立由知对任意的正整数n, 2 xn xn 1x4 x6，猜想：数列 x2n 是递减数列下面用数学归纳法证明：

18、当 n 1 时，已证命题成立*假设当n k k N，且 k1 时命题成立，即x2kx2k 2，易知 xk0，那么11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2k 2x2k 4 1x2k 11 x2k 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2k 3 x2k 1x2k 1 x2k 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 x k1 1 x k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 22 x2k 1 x2k 3x2k x2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2kx2k 1 x2k2 x2k0，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、名师归纳总结即 x2 k 1 x2 k 1 2.所以当 n k 1 时命题也成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -*结合知，对于任何n N命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1命题点 2与数列有关的证明问题例 4在数列 an 中， a 2，ann 1n* an 2 2 n N ， 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品名师归纳总结1 求 a2， a3， a4。2 猜想 an 的通项公式，并加以证明222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解1 a2 2 22 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 2 2 2a223233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 2 ，334344可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a4 2 2 2 2 3 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由1 可猜想数列通项公式为：annn n 1 2 .下面用数学归纳法证明：当 n 1,2,3,4时，等式明

21、显成立，假设当n k k4， k N* 时等式成立，kk即 ak k 1 2 ，那么当 n k 1 时，k 1kak1 ak 2 2kkk 1k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k 1 2 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 1k 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 k 1 1 k 1k 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，所以当 n k 1 时， ak 1 k

22、1 1 k 1 2k 1，猜想成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn*由知数列的通项公式为an n1 2 nN ， 0 命题点 3存在性问题的证明2*例 5设 a1 1，an 1an 2an2 b n N (1) 如 b 1，求 a2， a3 及数列 an 的通项公式。*22(2) 如 b 1，问：是否存在实数c 使得 a2nca2n 1 对全部 n N 成立？证明你的结论解1 方法一a2 2， a32 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再由题设条件知 an 1 1 an 1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2从而数列 an1 是首项为

23、0，公差为1 的等差数列，2*故 an1 n 1，即 ann 1 1 n N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法二a2 2，a32 1.可写为 a11 1 1， a2 2 1 1， a33 11.因此猜想ann 1 1.下面用数学归纳法证明上式：当 n 1 时结论明显成立*假设 n k k N ，且 k1 时结论成立，即akk1 1，2

24、 1就当 n k 1 时， akak 11k1 1k1 1.*所以当 n k 1 时结论成立 所以 ann1 1 nN 22 方法一设 f x x 1 1，就 an 1 f an 令 cf c ，即 cc21 1， 1解得 c 4.下面用数学归纳法证明加强命题：a2nca2n 11.当 n1 时， a2f 1 0， a3 f a2 f 0 2 1， 1所以 a24a31，结论成立2k2 k 1假设 n k kN* ，且 k1 时结论成立，即a ca f a2k 1 f 1 a2，即 1ca2k 2a2.再由 f x 在 ， 1 上为减函数，得c f c f a2k 2 f a2 a31，故 c

25、a2k 31. 因此 a2 k 1 ca2 k 1 11.这就是说，当n k 1 时结论成立1综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c .4方法二设 f x x2 1 1，就 an 1 f an *先证： 0 an1 n N 当 n1 时，结论明显成立*假设 n k kN ，且 k1 时结论成立，即0 ak1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

26、 -易知 f x 在 ， 1 上为减函数，从而0 f 1 f ak f 0 2 11，即 0 ak 11.这就是说，当n k 1 时结论成立故成立*再证： a2na2n 1 n N 当 n1 时， a2f 1 0， a3 f a2 f 0 2 1，有 a2a3 ，即 n 1 时成立*假设 n k kN ，且 k1 时，结论成立，即a2k f a2k 1 a2k2，a2 k 1 f a2k 1 f a2k 2 a2 k 1 1. 这就是说，当n k 1 时成立，所以对一切n N* 成立2由得 a2na2n 2a2n 2 1，22即 a2n 1 a2n 2a2n 2，1因 此 a2n f a2n

27、1 ，即 a2n 1a2n 2，2所以 a2n 1a2n 1 2a2n 1 21.1解 得 a2n 1 . 41*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上，由知存在c使得 a2 nca2n 1 对一切 n N 成立 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思维升华1 利用数学归纳法可以探究与正整数n 有关的未知问题、存在性问题， 其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发觉结论，然后经规律推理即演绎推理论证结论的正确性2 “归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题*2021 江苏 已知集合X 1,2,3， Yn 1,2,3，

28、 n n N ，设 Sn a，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -b| a 整除 b 或 b 整除 a，a X， b Yn ，令 f n 表示集合Sn 所含元素的个数(1) 写出 f 6 的值。(2) 当 n6时，写出f n 的表达式，并用数学归纳法证明解1 Y6 1,2,3,4,5,6， S6 中的元素 a， b 满意： 如 a1，就 b1

29、,2,3,4,5,6。如 a 2，就 b 1,2,4,6。如 a3，就 b1,3,6.所以 f 6 13.2 当 n6时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2nn3， n 6t ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 2n 12n 13， n6t 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n n 2nn 223， n 6t 2，* t N 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 22 3 ， n 6t 3，nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 22n 13， n 6t 4，n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 223， n 6t 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下面用数学归纳法证明：当 n 6 时， f 6 626623 13，结论成立。可编辑