经典空间向量知识点归纳总结.docx

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1、精品名师归纳总结空间向量学问点归纳总结空间向量的基本概念及运算学问要点。1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（ 2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPaR运算律：加法交换律： abba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结加法结合律： abcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

2、名师归纳总结数乘安排律： abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 共线向量。（1） ）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行于 b ,记作 a / b 。当我们说向量 a 、b 共线（或 a / b ）时,表示 a 、b 的有向线段所在的直线可能是同始终线,也可能是平行直线。（2） ）共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a / b 存在实数 ,使a b 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 共面对量（1） ）定义：一般的,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量。说明：空间任意的

3、两向量都是共面的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）共面对量定理：假如两个向量a, b 不共线, p 与向量a,b 共面的条件是存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在实数 x, y 使 pxayb 。5. 空间向量基本定理：假如三个向量a,b, c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯独的有序实数组 x, y, z ,使 pxaybzc 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如三向量a,b,c不共面,我们把 a, b, c叫做空间的一个基底,a, b,c 叫做基向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间任意三个不共面的向量

4、都可以构成空间的一个基底。推论：设 O, A, B, C 是不共面的四点,就对空间任一点P ,都存在唯独的三个有序实数 x, y, z ,使 OPxOAyOBzOC 。6. 空间向量的直角坐标系：（1） ）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组 x, y, z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使OAxiyizk ,有序实数组 x, y, z叫作向量 A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 A x, y, z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位正交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基底,用 i,j, k表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）空间向量的直角坐标运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 aa1, a2 , a3 , bb1, b2 ,b3 ,就aba1b1, a2b2, a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1, a2b2, a3b3 , a a1,a2 ,a3R ,可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ba1b1a2b2a3b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a / ba1b1, a2b2, a3b3 R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba1b1a2b2a3b30 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 A x1, y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ,就 AB x2x1, y2y1 , z

7、2z1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结减去起点的坐标。（4） ）模长公式：如aa1, a2, a3 , bb1,b2 ,b3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| a |2a aaa 2a 2 , | b |222b bbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） ）夹角公式：cos a ba b| a | | b |a1

8、b1a2 b2a3b3。222222aaabbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6） ）两点间的距离公式：如123123Ax1, y1, z1 , B x2 , y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2就| AB |AB xx 2 yy 2 zz 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121或d xx 2 yy 2zz 2A, B212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 空间向量的数量积。（1） ）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ,在空间任取

9、一点 O ,作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OAa ,OBb ,就AOB 叫做向量 a 与b 的夹角,记作a,b。且规定 0a,b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显有a,bb, a。如a, b,就称 a 与b 相互垂直,记作： ab 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）向量的模：设 OAa ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作： | a |。可编辑资料 - - - 欢迎

10、下载精品名师归纳总结（3） ）向量的数量积：已知向量a,b ,就| a | | b | cosa, b叫做a, b 的数量积,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作a b ,即 a b|a | |b | cos a, b。（4） ）空间向量数量积的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a e| a | cosa,e。aba b0 。 | a |2a a 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） ）空间向量数量积运算律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a b a ba b 。 a bb a （交换律）。可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品名师归纳总结 a bca ba c （安排律）。例 1 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E、F 分别是 BB1、CD 的中点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ）证明 ADD1F。（2） ）求 AE 与 D1F 所成的角。（3） ）证明面 AED面A1D1FzD1C 1A1B1EDCFy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB解：取 D 为原点, DA、DC、DD 1 为 x 轴、y 轴、xz 轴建立直角坐标系,取正方体棱长为2,就 A（ 2,0,0）、A1（2, 0, 2）、 D1（0,0, 2）、E（2,2, 1）、F（0, 1, 0

12、）（ 1） DA 2 D1F=（2, 0, 0）2（ 0, 1, 2）=0, ADD1FAED1F,即 AE 与 D 1F 成 90角（ 3） DE 2 D1F =（ 2, 2,1）2（ 0,1, 2）=0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DE D1F AED1F, D1F面 AEDD1F面 A1D1F,面 AED面 A1D1F例 2 棱长为 2 的正方体 A 1B1C1D1-ABCD 中,E、F 分别是 C1C 和 D1A 1 的中点,（1） ）求 EF 长度。（ 2）求。3）求点 A 到 EF 的距离分析：一般来说,与长方体的棱或棱上的点有zF关的问题,建立空间直角坐标系

13、比较便利,适当建D 1C 1立坐标系后,正确的写出相关点的坐标及向量然后A 1B1E进行运算即可得解DC解：以 D 为原点, DA , DC, DD 1 分别为 x 轴,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 轴, z 轴建立直角坐标系,就 A（ 2,0,0）, B（2,2, 0）, E（0,2, 1）, F（1,0, 2）由此可得： AB =（ 0, 2,0）, EF =（ 1,-2, 1）xAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FA =（ 1,0,-2）, | AB |=2, |FA |= 5 , ABEF = - 4, FA EF =1-2=-1,所以（ 1）

14、 | EF |=6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）cos=AB EF=-| AB | EF |6 ,所以=-arccos 6 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 FA 在EF 上的射影的数量 FA cos=FA FE = 1| FE |6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 到 EF 的距离 =| FA |2 1 26174z6S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 在三棱锥 SABC 中, SAB=SAC=AByxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACB=90, AC=2,BC= 13 , SB=

15、29（1） ）求证： SCBC。（2） ）求 SC 与 AB 所成角的余弦值解法一：如图,取 A 为原点, AB、AS 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系,就有 AC=2, BC= 13 ,SB= 29 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 B（ 0, 17 , 0）、S（0, 0, 2 3 ）、C（213 ,174,0）,17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 SC=（ 213 ,174, 2 3 ）, CB =（ 21713 ,1713, 0）17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ） SC

16、 2 CB =0, SCBC（2） ）设 SC 与 AB 所成的角为 , AB =（0, 17 , 0）, SC 2AB =4, |SC | AB |=4 17 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos =17 ,即为所求17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：（1）SA面 ABC,ACBC,AC 是斜线 SC在平面 ABC 内的射影, SCBC（ 2）如图,过点 C 作 CD AB,过点 A作 ADBC 交 CDS于点 D,连结 SD、SC,就 SCD 为异面直线SC 与 AB 所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DC 四 边 形 AB

17、CD是 平 行 四 边 形 ,ABCD= 17 ,SA=2 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结SD=SA2AD 2 = 1213 =5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 SDC 中,由余弦定理得 cosSCD=17 ,即为所求17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 如图正方体ABCDA B C D 中, B ED F1 A B ,求 BE 与 DF 所成角的余弦。可编辑资料 - - - 欢迎下载

18、精品名师归纳总结111111111 1114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：不妨设正方体棱长为 1,建立空间直角坐标系 Oxyz ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就B1,1,0 , E131,1 , D 0,0,0 ,41F1 0,1 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE10,1 ,1 , DF140,1 ,14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BE1DF117 ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BE1DF

19、100111 115 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结441615可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosBE1, DF11617174415 。17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高考要求直线、平面、简洁几何体空间角a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 把握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念2 会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角学问点归纳Obb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 异面直线所成的角 ：已知两条异面直线a,b ,经过空间任一点

20、 O 作直线a / a,b/ b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a ,b 所成的角的大小与点 O 的挑选无关,把a , b 所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所成的角（或夹角）为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异面直线所成的角的范畴：0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 求异面直线所成的角的方法： （1）几何法。（2）向量法3. 直线和平面所成角（1） ）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐

21、角叫做这条斜线和这个平面所成的角始终线垂直于平面,所成的角是直角始终线平行于平面或在平面内,所成角为0 角直线和平面所成角范畴：0,2（2） ）定理： 斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角Pa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 公式：平面 的斜线 a 与 内始终线 b 相交A 1c成角,且 a 与 相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2OBb交成 1 角,a 在 上的射影 c 与 b 相交成 2 角,就有c1 c2cooosss5 二面角： 平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面。 从一条直线动身的两个半平

22、面所组成的图形叫做二面角 ,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的 面 如棱为 l ,两个面分别为 ,的二面角记为l。6. 二面角的平面角：（1） 过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA,OB ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AOB 叫做二面角l的平面角（2） 一个平面垂直于二面角l的棱l ,且与两半平面交线分别为OA,OB ,O 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结垂足,就 AOB 也是l的平面角说明：二面角的平面角范畴是 0 ,180 。二面角的平面角为直角时,就称为直二面角 ,组成直二面角的两个平面 互可编辑资料 - -

23、- 欢迎下载精品名师归纳总结相垂直7. 二面角的求法： 几何法。向量法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8求二面角的射影公式：Scos,S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中各个符号的含义是： S是二面角的一个面内图形 F 的面积, S 是图形 F 在二面角的另一个面内的射影,是二面角的大小9三种空间角的向量法运算公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异面直线a,b 所成的角 ： coscosa, b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 a 与平面 法向量 n 所成的角 ： sincosa, n。可编辑资料 - - - 欢迎下载精

24、品名师归纳总结锐二面角 ： coscosm, n,其中m, n 为两个面的法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型讲解例 1 直三棱柱 A 1B1C1ABC , BCA=90 ,点 D1、F1 分别是 A 1B1、A 1C1的中点, BC=CA=CC 1,就 BD1 与 AF 1 所成角的余弦值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 30B10D 151C 30215z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10解法一： 几何法如图,连结 D1F1,D1A1F1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 D1F11 B1C12B1C1可编辑资

25、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B CBCD F1 BC11112A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 E 为 BC 中点D1F1BEBD1BECyEF1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EF1A 或补角即为所求由余弦定理可求得 cos EF1A=30 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二： 向量法建立如下列图的坐标系,设 BC=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 A（ 1, 0,0）,F1（1 ,0, 1）,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B（

26、 0, 1, 0）, D1（1 ,21 ,1）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 AF=（ 1 ,0, 1）, BD=（ 1 , 1,1）1212211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos=4301111110444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2正方体 ABCD-EFGH 的棱长为 a,点 P在AC 上,Q 在 BG 上,且 AP=BQ=a,求直线 PQ 与平面 ABCD 所成的角的正切值。求直线 PQ 与 AD 所成的角分析：（ 1）先作出 PQ 在面 ABCD 内的射影,由于面 BFGC面 ABCD ,作QM BC 于 M,就 M

27、P 就是 QP 在面 ABCD 内的射影, QPM 就是要求的角,也可以先求出面 ABCD 的法向量 QM 与QP 的角,然后再求它的余角即得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）（向量法）解：建立坐标系后,求出PQ AD及 | PQ |,|AD |,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可由 cosPQ AD| PQ | AD |求解,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（ 1）作 QMBC 于 M ,连 MP,就 QMP 就是直线 PQ 与平面 ABCD 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

28、总结成的角就易得： QM=2 a, MP=（1-22 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanQPM= MQ21MPz（ 2）建立空间直角坐标系如图,就FG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q（ 0,22a,a22P（ 12a ,22Ea,02QH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A（ a,0,0） ,Da,a,0,22B MCPy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结QP1a,0,22a , AD =0,a,0AxD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结QP AD0QP 与 AD

29、 所成的角为 90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知 AB =（2, 2, 1）, AC =（ 4, 5,3）,求平面 ABC 的单位法向量解：设面ABC的法向量n x, y, z ,就n AB 且n AC ,即n 2 AB =0,且n 2 AC =0,1即 2x+2y+z=0 且 4x+5y+3z=0,解得 x2 z,yz,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 n =z（ 1 , 1, 1）,单位法向量 n2n| n |=（1 , 2 , 2 ）333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：一般情形下求法向量用待定系数法 由于法向量没规定长

30、度, 仅规定了方向,所以有一个自由度,可把 n 的某个坐标设为 1,再求另两个坐标 平面法向量是垂直于平面的向量, 故法向量的相反向量也是法向量, 所以此题的单位法向量应有两解例 4 如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中, ABC=90 , SA平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面 ABCD , SA=AB=BC=1 ,AD=1 ,求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：此题中二面角的棱没有画出, 按常规解可延长 BA , zCD 相交于 E,就 SE 是二面角的棱,由于 DA 面 ABS,过 SyBC点

31、 A 作 SE 的垂线交 SE 于 F,连结 DF,就 ADF 就是所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二面角的平面角如用向量法求解,就是要求两个面的法向量所成的角或补角ADx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如图建立空间直角坐标系,就依题意可知D（1 ,0,02,C（ 1,1,0）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S（ 0,0,1）,可知 AD1,0,02n 1 是面 SAB 的法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设平面 SCD 的法向量 n2 =（ x, y,z）可编辑资料

32、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结1SD,0,1,DC21,1,02n2 SD=0, n2 DC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可推出 x2z0, x2y0, 令 x=2,就有 y=-1,z=1,n2=（ 2, -1, 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设所求二面角的大小为 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos =n1 n2120 101= 26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n1 | n2 |1 22223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结si

33、n3, tan232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 平面 ABCD 平面 ABEF , ABCD是正方形, ABEF是矩形,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AF1 AD2a, G 是 EF 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ）求证平面 AGC平面 BGC。zDC（2） ）求 GB 与平面 AGC 所成角正弦值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） ）求二面角 BAC G 的大小解：如图,以 A 为原点建立直角坐标就 A （0, 0, 0）,B（ 0, 2a,0）,CAB系,EFy （ 0, 2a,可编辑资

34、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a）,xGG（ a,a, 0）, F（a,0, 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） ）证明： AGa, a,0, AC0,2 a,2 a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BGa,a,0, BC0,0,2 a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设平面 AGC 的法向量为 n1 x1, y1,1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AG n10ax1ay10x112ay2a0y1n11, 1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACn011设平面 BGC 的法向量为 n21, y2 , z2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BG n20BC n20aay202az20y21z21n21,1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n1n20即 n1n2平面 AGC平面 BGC。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ）由知平面 AGC 的法向量为n1