2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第6讲离散型随机变量及其分布列课件理.ppt

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1、第6讲离散型随机变量及其分布列,1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.,2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.,1.随机变量,(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字,母X，Y，表示.,(2)所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机,变量.,(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫,做连续型随机变量.,2.条件概率及其性质(1)条件概率的定义：,设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A

2、),为事件,A发生的条件下，事件B发生的概率.(2)条件概率的求法：求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概,型概率公式，即P(B|A),n(AB).n(A),(3)条件概率的性质：,条件概率具有一般概率的性质，即_P(B|A)_；若B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A).,3.事件的相互独立性,(1)设A，B为两个事件，若P(AB)_，则称事件A与事件B相互独立.,0,1,P(A)P(B),4.离散型随机变量的分布列,称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了表达简单，也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列.,一般地，若离散型

3、随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表,5.离散型随机变量分布列的性质,(1)pi0(i1,2，n).(2)p1p2pn1.6.常见的离散型随机变量的分布列(1)两点分布：,如果随机变量X的分布列为：,其中0p1，称X服从两点分布，而称pP(X1)为成功,概率.,(2)超几何分布：,一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则随机事件Xk发生的概率为P(Xk),(3)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复,(k0,1,2，n

4、).此时称随机变量X服从二项分布.记作XB(n，p)，并称p为成功概率.其分布列如下表：,1.设随机变量X的分布列如下：,C,2.某射手射击所得环数X的分布列为：,C,则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(,),A.0.28,B.0.88,C.0.79,D.0.51,解析：P(X7)P(X8)P(X9)P(X10)0.280.290.220.79.,C,4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去,描述1次试验的成功次数，则P(X0)(,),C,考点1,离散型随机变量的分布列,例1：摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车

5、使用不超过1小时(包含1小时)是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元).现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设,(1)求甲、乙两人所付的车费相同的概率；,(2)设甲、乙两人所付的车费之和为随机变量，求的分布,列及数学期望E().,【规律方法】离散型随机变量的分布列的求法：,写出X的所有可能取值(注意准确理解X的含义，以免失,误)；,利用概率知识(古典概型或相互独立事件的概率)求出X,取各值的概率；,列表并检验，写出分布列.,【互动探究】,1.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某

6、出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图9-6-1.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望.,图9-6-1,解：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20,100,80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：,1202100380200,2.3.,(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件A，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件B，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件C

7、，“这两人参加次数相同”为事件D.,考点2,超几何分布,例2：(2017年北京)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成图9-6-2，其中“*”表示服药者，“”表示未服药者.图9-6-2,(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值,小于60的概率；,(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E()；,(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服,药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论),解：(

8、1)由题图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小,于60的概率为,0.3.,(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.,所以的分布列为：,(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服,药者指标y数据的方差.,【规律方法】对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型.,【互动探究】

9、,2.(2017年山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.,(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的,频率；,(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分,布列与数学期望E(X).,因此X的分布列为：X的数学期望是：E(X)0P(X0)1P

10、(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4),考点3,二项分布的应用,例3：(2018年新课标)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0p400，故应该对余下的产品作检验.,【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否必居其一；二是重复性，即试验是否独立重复进行了n次.,(2)二项分布满足的条件：,每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中

11、的事件是相互独立的；,每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.,【互动探究】,3.自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：,(1)采用分层抽样的方式从年龄在25,35)内的人中抽取10,人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？,(2)在(1)中选出的10人中随机抽取4人，求其中恰有2人,是女性的概率；,(3)用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人，,其中男性使用的人数记为，求的分布列.,思想与方法,分类讨论思想

12、与离散型随机变量的结合,例题：(2014年福建)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.,(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其,余3个均为10元，求：,顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.,(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值为10元和50元的两种球组成，或标有面值为20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中

13、的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.,解：(1)设顾客所获的奖励额为X.,所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)200.5600.540.,即X的分布列为：,(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.,对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1；,对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20

14、,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.,以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为：,对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为：,因为两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.,【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率的计算，考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力.尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时候，可通过检查最后求出的分布列

15、是否符合分布列的两个性质来检查分类讨论是否有所遗漏或重复.,【互动探究】,4.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：,将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河,流的污水排放量相互独立.,(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量X270,310)的,概率；,(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当X230,270)时，没有影响；当X270,310)时，经济损失为10万元；当X310,350)时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：,方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万,元；,方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.,试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.,在未来3年里，至多1年污水排放量X270,310)的概,率为,2732,.,(2)方案二好，理由如下：由题意得P(230X270)0.74，P(310X350)0.01.用S1，S2，S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则S13.8万元.,S2的分布列为：,E(S2)20.99620.012.6(万元).S3的分布列为：,E(S3)00.74100.25600.013.1(万元).,所以三种方案中方案二的平均损失最小，故采取方案二,最好.,