2020版导与练一轮复习理科数学课件：第七篇　立体几何（必修2） 第5节　直线、平面垂直的判定与性质 .ppt

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1、第5节直线、平面垂直的判定与性质,考纲展示,知识链条完善,考点专项突破,知识链条完善把散落的知识连起来,知识梳理,1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l与平面内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面互相垂直.,任意,两条相交直线,(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理,平行,ab,(3)直线和平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角,一条直线垂直于平面,则它们所成的角是;一条直线和平面平行或在平面内,则它们所成的角是.,直角,0的角,2.二面角、平面与平面垂直(1)二面角二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做

2、二面角.这条直线叫做二面角的.两个半平面叫做二面角的.,棱,面,如图,记作:二面角-l=或二面角-AB=或二面角P-AB-Q或二面角P-l-Q.,二面角的平面角.在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角,AOB0,.,垂直于,(2)平面与平面垂直定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的判定定理与性质定理.,直二面角,垂线,垂直,3.三者之间的关系,【重要结论】直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线

3、.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.,对点自测,D,解析:对于A,m与位置关系不确定,故A错;对于B,当l与m,m与n为异面垂直时,l与n可能异面或相交,故B错;对于C,也可能b,故C错;对于D,由线面垂直的定义可知正确.,1.(教材改编)在空间中,l,m,n,a,b表示直线,表示平面,则下列命题正确的是()(A)若l,ml,则m(B)若lm,mn,则ln(C)若a,ab,则b(D)若l,la,则a,C,2.(2016浙江卷)已知互相垂

4、直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()(A)ml(B)mn(C)nl(D)mn,解析:由题意知=l,所以l,因为n,所以nl.故选C.,A,3.如图,在RtABC中,ABC=90,P为ABC所在平面外一点,PA平面ABC,则四面体P-ABC中共有直角三角形的个数为()(A)4(B)3(C)2(D)1,解析:由PA平面ABC可得PAC,PAB是直角三角形,且PABC.又ABC=90,所以ABC是直角三角形,且BC平面PAB,所以BCPB,即PBC为直角三角形,故四面体P-ABC中共有4个直角三角形.,4.(2018渭南模拟)已知平面,和直线m,给出条件:m;m;m;.当满足条件时,

5、m.(填符合条件的序号),解析:当m且时,m,即应当填.答案:,5.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O,(1)若PA=PB=PC,则点O是ABC的心;,解析:(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,在RtPOA,RtPOB和RtPOC中,PA=PC=PB,所以OA=OB=OC,即O为ABC的外心.答案:(1)外,(2)若PAPB,PBPC,PCPA,则点O是ABC的心.,解析:(2)如图2,因为PCPA,PBPC,PAPB=P,所以PC平面PAB,AB平面PAB,所以PCAB,又ABPO,POPC=P,所以AB平面PGC,又CG平面PGC,所以ABCG,即CG为ABC边AB

6、的高.同理可证BD,AH分别为ABC边AC,BC上的高,即O为ABC的垂心.答案:(2)垂,考点专项突破在讲练中理解知识,考点一直线与平面垂直的判定与性质(多维探究)考查角度1:利用线线垂直证明线面垂直【例1】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点,且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高.,证明:(1)因为AB平面PAD,PH平面PAD,所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高,所以PHAD.因为ABAD=A,AB平面ABCD,AD平面ABCD,所以PH平面ABCD.,求证:(1)PH平面ABCD;,(2)EF平面PAB.,

7、证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.,反思归纳,【跟踪训练1】(2018通辽模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CDAE;,证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA底面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,又因为ACCD,且PAAC=A,所以CD平面PAC.而AE平面PAC,所以CDAE.,(2)PD平面ABE

8、.,证明:(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AEPC.由(1)知AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD.而PD平面PCD,所以AEPD.因为PA底面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又因为ABAD,且PAAD=A,所以AB平面PAD,而PD平面PAD,所以ABPD.又因为ABAE=A,所以PD平面ABE.,考查角度2:利用线面垂直证明线线垂直【例2】(2016山东卷)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:ACFB;,证明:(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.如图(1),

9、连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF,所以ACFB.,(2)已知G,H分别是EC和FB的中点,求证:GH平面ABC.,证明:(2)如图(2),设FC的中点为I,连接GI,HI.在CEF中,因为G是CE的中点.所以GIEF,又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC,因为GH平面GHI.所以GH平面ABC.,反思归纳,证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系.(2)利用等腰三角形底边中线的性质.(3)利用勾股定理的逆定理

10、.(4)利用直线与平面垂直的性质.,求证:PACD.,考查角度3:线面垂直的探索性问题【例3】(2018昆明模拟)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中,M是BD的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.,(1)求出该几何体的体积;,(2)求证:EM平面ABC;,(3)试问在棱DC上是否存在点N,使NM平面BDE?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.,反思归纳,(1)求条件探索性问题的主要途径:先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.(2)涉及点的

11、位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.,【跟踪训练3】如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60.(1)求三棱锥P-ABC的体积;,考点二平面与平面垂直的判定与性质(多维探究)考查角度1:平面与平面垂直的判定【例4】(2018全国卷)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;,(1)证明:由已知可得,BAC=90,即BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.

12、又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.,反思归纳,判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义;,【跟踪训练4】(2018洛阳统考)已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA平面ABCD,PA=AB=AC=4,ABAC,点E,F分别在线段AB,PD上.(1)证明:平面PDC平面PAC;,(1)证明:因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,ABAC,所以ACCD,因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,因为ACPA=A,所以CD平面PAC,因为CD平面PDC,所以平面PDC平面PAC.,考查角度2:平面与平面垂直的性质【例5】如图甲,在平面四边形ABCD中,已知A=4

13、5,C=90,ADC=105,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如图乙),设点E,F分别为棱AC,AD的中点.,(1)求证:DC平面ABC;,(1)证明:在题图甲中因为AB=BD且A=45,所以ADB=45,ABD=90,即ABBD.在题图乙中,因为平面ABD平面BDC,且平面ABD平面BDC=BD,所以AB底面BDC,所以ABCD.又DCB=90,所以DCBC,又ABBC=B,所以DC平面ABC.,(2)设CD=a,求三棱锥A-BFE的体积.,反思归纳,面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.

14、(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,【跟踪训练5】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2,点F为棱BC的中点,点E在棱CC1上,且CC1=4CE.(1)求证:EF平面B1AF;,(1)证明:因为平面ABC平面B1BCC1,AFBC,平面ABC平面B1BCC1=BC,所以AF平面B1BCC1.因为EF平面B1BCC1,所以AFEF.,(2)求点C1到平面AEF的距离.,考点三折叠问题中的垂直关系【例6】(2018惠州二模)如图,直角ABC中,ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将BDE折起至FDE,且CEF=60.,(

15、1)求四棱锥F-ACED的体积;,(2)求证:平面ADF平面ACF.,反思归纳,证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.,(1)求证:BC平面ACD;,(2)点F在棱CD上,且满足AD平面BEF,求几何体F-BCE的体积.,备选例题,【例1】(2016江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA

16、1F,A1C1A1B1.,求证:(1)直线DE平面A1C1F;,证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.,(2)平面B1DE平面A1C1F.,证明:(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1

17、C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE.所以平面B1DE平面A1C1F.,【例2】(2018荆州模拟)如图所示,平面ABCD平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.,(1)证明:AE平面BDF;,(1)证明:连接AC交BD于O,连接OF,如图.因为四边形ABCD是矩形,所以O为AC的中点,又F为EC的中点,所以OF为ACE的中位线,所以OFAE,又OF平面BDF,AE平面BDF,所以AE平面BDF.,(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PMBE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.,(2)解:当P为AE中点时,有PMBE,证明如下:取BE中点H,连接DP,PH,CH,因为P为AE的中点,H为BE的中点,所以PHAB,又ABCD,所以PHCD,所以P,H,C,D四点共面.因为平面ABCD平面BCE,平面ABCD平面BCE=BC,CD平面ABCD,CDBC.所以CD平面BCE,又BE平面BCE,所以CDBE,因为BC=CE,H为BE的中点,所以CHBE,又CDCH=C,所以BE平面DPHC,又PM平面DPHC,所以BEPM,即PMBE.,点击进入应用能力提升,