—数值微分与数值积分.ppt

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1、本章内容本章内容n5.1 引言引言n5.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式n5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n5.4 龙贝格算法龙贝格算法n5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式5.1 引言引言一一. 为什么要数值求积？为什么要数值求积？二二. 构造数值求积公式的基本方法构造数值求积公式的基本方法三三. 求积公式的余项求积公式的余项四四. 求积公式的代数精度求积公式的代数精度5.1 引言引言n一一. 数值求积的必要性数值求积的必要性)(.)()()(. 3_,)(. 2sin,sin. 1:)()()()()(:10102ninibabababaxfxfxfxfxxxxLNxfdttt

2、dxxaFbFxFdxxfILeibnizNewton表格函数表格函数公式。公式。不好使用不好使用复杂时复杂时难积。当难积。当等。等。积不出。如积不出。如问题问题公式公式莱布尼兹莱布尼兹牛顿牛顿求积分求积分 5.1 引言引言无关常数，与求积系数求积节点一般形式为：数值求积公式法求用近似、简单的有效方希望的基本方法二、构造数值求积公式)( )()( :0 xfAxxfAdxxfIiiibanii5.1 引言引言基函数。为。，其中插值多项式的关于是设插值，已知LagrangenkxxxxxlxfxlxLLagrangexxxxxfxLxRxLxfnkxfxnklllklkknkknnnnkk,.,

3、1 , 0)(:)()()(,.,)()(:)()()(:).210()(,(, 00210插值型求积公式则）（系数由节点唯一确定记略去余项，积分： nkkkbabanklllklbaiinkbakkbaknkkbanbabababanxfAdxxfnidxxxxxdxxlAdxxlxfdxxfxldxxLdxxfdxxRdxxLdxxf0, 000)()(), 2 , 1 , 0()()()()()()()()()()(5.1 引言引言5.1 引言引言)()(:0fRxfAdxxfibanii形式带余项（截断误差）的三、求积公式的余项截断误差截断误差。，其中，式断误差为：插值型求积公式，其截

4、),().()()()4 . 1 . 4()()!1()()(1011)1(baxxxxxxxdxxnfdxxRfRnnbannba5.1 引言引言。度为称该求积公式的代数精却不能准确地成立，则地成立，而对于次的代数多项式都准确于对任意不高定义：若求积公式mxmxfAdxxfmibanii )()(10求积公式的代数精度四、。的代数精度至少为公式的插值型求积个节点定理：含有nxfAdxxfnkxnkbankkk)()(),.1 , 0(10。度的代数精：梯形公式例1)()(2)(1mbfafabdxxfbaxyab( )yf x( )f b( )f aAB R f( )dbaIf x x5.2

5、 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式n内容内容一一. 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式二二. 牛顿牛顿柯特斯公式余项柯特斯公式余项三三. 牛顿牛顿柯特斯公式的数值稳定性和收敛性柯特斯公式的数值稳定性和收敛性5.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式Newton-Cotes (N-C)公式插值型数值求积公式0( )( ) ()nkkkf xlx f x000( )d()=()nnnblkkkalkklkl kxxf xxf xA f xxx0( )nlkllkl kxxlxxx 将积分区间a,b分成n等分，等分点0, ; 0,1,kbaxxkhhknn 等距节点求积bankknkxfCabdxxfCN0)()(

6、)()(公式：一般的00 d , nblkallkl kxxAxxxthxx求积系数为作变量替换0( )( )0( )(1)()d! ( 1)()!( 1)d! ()!(1)(1)(1)(1 ()1)nkn kn knntkktkt ttnAhxknkCSxn kntktktktkkSt ttn 若记Cotes系数5.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式28819962514425144259625288195907451615245169074818383813616461221211)()()(nknkCnCCotes获获得得。可可用用上上面面的的式式子子或或查查表表系系数数柯柯特特斯斯(0(

7、 )0)( )d()() ( )11nbnkknnkakkf xxbaCf xf xCN-C公式： 令，则导出( )0)( )11771nknnnkkknkCotesCCCnCn当，有当0，且由于，有正有负，可知系数之和等于 。所以07时，存在数值（不稳定。5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n内容内容一一. 复化数值求积法复化数值求积法二二. 复化梯形公式复化梯形公式三三. 复化复化 Simpson 公式公式四四. 复化复化 Cotes 公式公式五五. 误差估计误差估计六六. 复合求积公式步长的自动选取复合求积公式步长的自动选取5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n一一. 复

8、化数值求积法复化数值求积法提高求积精度提高求积精度增加节点增加节点n分段使用节点少的分段使用节点少的Newton-Cotes公式公式 即所谓的复化求积公式即所谓的复化求积公式n整体使用节点多的整体使用节点多的N-C公式。公式。原因：原因：n高次插值有时出现高次插值有时出现Runge现象，误差更大；现象，误差更大；n节点增多，节点增多，Ak有正有负，不能保证稳定性。有正有负，不能保证稳定性。5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式复化（复合）求积公式复化（复合）求积公式n所谓复化求积，就是先将积分区间分成几个小所谓复化求积，就是先将积分区间分成几个小 区间，并在每个小区间上用低阶牛顿区间，并

9、在每个小区间上用低阶牛顿柯特斯柯特斯 公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求 和，从而得到所求积分的近似值。和，从而得到所求积分的近似值。n由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积 公式，统称为复化求积公式。公式，统称为复化求积公式。5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n二二. 复化梯形公式复化梯形公式 )()(2)(2)()(2)()()()(2)(,)(, 1 , 0,111111111bfxfafhxfxfhdxxfdxxfxfxfhdxxfxxnabhniihaxnbankknkkknkxxbak

10、kxxkkikkkk然然后后对对各各子子区区间间求求和和。上上使使用用梯梯形形公公式式在在每每个个小小区区间间称称为为积积分分步步长长其其中中分分点点为为等等分分将将积积分分区区间间5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式bafhabTdxxfbfxfafhTdxxfnbankknba ),(12)()()()(2)(2)(:211余余项项为为：复复化化梯梯形形公公式式为为证明参见教材5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n三三. 复化复化 Simpson 公式公式为为偶偶数数份份）（区区间间数数复复化化公公式式：基基本本公公式式：对对各各子子区区间间求求和和。然然后后公公式式上上使

11、使用用在在每每个个小小区区间间nxfxfxfhxfxfxfhxfxfxfhSdxxfbfbafafabdxxfSimpsonxxnnnnbabakk)()(4)(62.)()(4)(62)()(4)(62)()()2(4)(6)(,124322101 5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式bafhabSdxxfhkaxkhaxnabhbfxfxfafhSdxxfSimpsonnbakknkknkknba ),(2880)()()21(,)()(4)(2)(6)(:)4(421121111余余项项为为：其其中中公公式式为为复复化化5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n四四. 复化复

12、化 Cotes 公式公式bafhabCdxxfhxxhxxhxxbfxfxfxfxfafhCdxxfCotesxxnbakkkkkknkknkknkknkknbakk )(4945)(2)(432141:)(7)(14)(32)(12)(32)(790)(,)6(6432141111043102110411余余项项为为：；上上式式中中然然后后对对各各子子区区间间求求和和。公公式式上上使使用用在在每每个个小小区区间间5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n例例：）。位位小小数数，精精确确解解为为（取取的的近近似似值值。公公式式，求求积积分分式式和和复复合合，用用复复合合梯梯形形公公包包括括

13、区区间间端端点点个个等等距距节节点点取取14159265. 3814)(9102dxxSimpson 5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式141593. 331475.398232138988. 321450.2238081100000000. 214226548673. 2875. 02256000000. 275. 04287640449. 2625. 02220000000. 35 . 04250684932. 3375. 02276470588. 325. 04293846154. 3125. 01100000000. 40)(125. 0 1010hdxxSimpsonhdx

14、xSimpsonxfxhkk，公式，对，对梯形公式，组合系数梯形组合系数）（解：列表如下5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n五五. 误差估计误差估计？式式如如果果进进行行误误差差估估计计呢呢式式和和的的步步长长不不超超过过多多少少。由由此此就就可可估估计计出出所所需需要要？，则则由由上上式式若若要要求求误误差差不不超超过过式式的的误误差差估估计计式式，则则记记CShMhabMhabfRxfMNTbxa 2222)(21212T)(max5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式即可。即取得，由则，设解：不超过多少等分才能保证误差需将，公式计算例：若用复合的3335105121180

15、1)(218051)()cos()()cos(sin)(?10 1 , 0sin64)4(4104)4(104)4(10610nnnfhabSIdttxfdtxttxfdtxtxxxfdxxxISimpsonn5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n六六. 复合求积公式步长的自动选取复合求积公式步长的自动选取 41)()()2(121)()(122,21,)()(122221212 nnnnTITIafbfhafbfhTInhhafbfhTI个个时时到到小小区区间间数数量量增增加加即即将将步步长长缩缩小小一一倍倍：复复合合梯梯形形公公式式的的余余项项为为5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式

16、柯特斯公式.,. |, )( |31| )(31)(3144k2kk22222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnTITTIITTTTTTITTTIITTTTITITI此时为止直到算否则将步长折半继续计的近似值即为满足要求的只要为的近似值的截断误差约作为因此即因此有5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式。为止。此时直到算。否则将步长折半继续计的近似值。即为满足要求的就有只要，若预先给定的误差限为有对一般的复合积分nnnnnnnnnnnIIIIIIIIIpIIIIpIIIk2kk222222 )(1 4.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式 )(631 )(15122222

17、2nnnnnnnnCCCIICSSSIIS为的近似值的截断误差约作为为的近似值的截断误差约作为类似：5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式步长自动选取的步骤步长自动选取的步骤:kIIIIIIpIhhnIIIIpIhhnIabhn242442421221211,|1,214,. 2,|1,212,1. 1 停停止止计计算算直直到到否否则则停停止止计计算算若若和和计计算算，取取步步长长折折半半否否则则停停止止计计算算若若和和计计算算，取取步步长长折折半半计计算算，取取 有时也去有时也去掉掉精度会更精度会更高高以上这种方法称为以上这种方法称为自适应求积法自适应求积法5.3 复合牛顿复合牛顿柯特

18、斯公式柯特斯公式以复合以复合Simpson求积公式的特点为例求积公式的特点为例4)(22)(11)()(0)()(2)(4)(621111021的的和和的的系系数数总总是是的的和和的的系系数数总总是是的的系系数数总总是是具具有有以以下下特特点点： kknkknkknxfsxfsbfafsbfxfxfafnabS旧节点旧节点新节点新节点步长折半步长折半5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式解。解。为满足精度要求的近似为满足精度要求的近似故故因为因为解：解：。过过的近似值，使误差不超的近似值，使误差不超计算计算利用递推公式利用递推公式：例例14159202. 3,314159202. 351

19、214094161. 31614159011. 325613898849. 3814158248. 312813117647. 3414155196. 3641 . 3214142989. 3323110142)12(2216512256512610212 TTTTnTndxxnabkafnabTTnnnknn 5.3 复合牛顿复合牛顿柯特斯公式柯特斯公式n分析分析 已知对于已知对于 = 10 6 须将区间对分须将区间对分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202效效果果是是否否好好些些？，来来计计算算由由，考考察察ITTTTITITInnnnnn313414441222 48

20、3134TT = 3.141592502= S45.4 龙贝格算法龙贝格算法n内容内容一一. 引言引言二二. Romberg序列序列三三. Romberg算法算法5.4 龙贝格算法龙贝格算法n一一. 引言引言综合前几节的内容综合前几节的内容,我们知道我们知道（1）梯形公式、）梯形公式、Simpson公式、公式、Cotes公式的代公式的代数精度分别为数精度分别为 1 次、次、3 次和次和 5 次；次；（2）复合梯形、复合）复合梯形、复合Simpson、复合、复合Cotes公式公式的收敛阶分别为的收敛阶分别为 2 阶、阶、4 阶和阶和 6 阶。阶。无论从代数精度还是收敛速度无论从代数精度还是收敛速

21、度, 复合梯形公式都复合梯形公式都是较差的。是较差的。有没有办法改善梯形公式呢有没有办法改善梯形公式呢?5.4 龙贝格算法龙贝格算法n二二. Romberg序列序列真值。真值。斯序列更快收敛到积分斯序列更快收敛到积分一般龙贝格序列比柯特一般龙贝格序列比柯特可以证明：可以证明：一般有：一般有：可以推广到可以推广到并且并且为：为：外推加速公式可以简化外推加速公式可以简化144144144, 2 , 1, 2 , 1)1()(4141)1(323222211 nnnnnnnnnmmmmmCCRSSCTTSkmmkTkTkTRomberg序序列列5.4 龙贝格算法龙贝格算法n三三. Romberg算法

22、算法 ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1TRomberg算法的算法的代数代数精度为精度为m的两倍的两倍Romberg算法的收敛阶高达算法的收敛阶高达m+1的两倍的两倍龙贝格法加速效果明显，计算量减少。龙贝格法加速效果明显，计算量减少。当当R2 R1 ，停止，否则，再次二分区间，停止，否则，再次二分区间，直到直到R2k-1 R2k-2 为止。为止。5.4 龙贝格算法龙贝格算法n例例7： 133333. 33134 , 1 .

23、 3)21(21516)21(2324212)1()0( , 2)1(, 4)0(, 1, 0,14)(1d141211212102 TTSfTTfffTffbaxxfRombergxxIRomberg，）计计算算（所所以以）因因（算算，结结果果如如下下：公公式式的的求求积积步步骤骤进进行行计计按按解解：公公式式计计算算利利用用5.4 龙贝格算法龙贝格算法142118. 31516 141569. 334 131176. 3)43()41(4121 ),43()41(312124224 SSCTtSffTTff然然后后由由公公式式算算出出及及）计计算算（5.4 龙贝格算法龙贝格算法141586

24、. 3141144 141594. 3141144 141593. 3141144 138988. 3)87()85()83()81(8121 ),87(),85(),83(),81(413233122422248448 CCRSSCTTSffffTTffff速速公公式式算算出出并并由由公公式式和和逐逐次次分分半半加加）计计算算（5.4 龙贝格算法龙贝格算法（5）把区间再分半，重复步骤）把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：，可算出结果： T16=3.14094，S8=3.14159， C4=3.14159，R2=3.14159 至此得至此得|R1-R2|0.00001，因为计算只用小数点

25、，因为计算只用小数点 后五位，故精确度只要求到后五位，故精确度只要求到0.00001。因此。因此14159. 3d14102 xx积积分分5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n内容内容一一. 问题提出问题提出二二. Gauss求积公式求积公式三三. Gauss求积公式的余项求积公式的余项四四. 常用的常用的Gauss求积公式求积公式五五. Gauss型求积公式的优缺点型求积公式的优缺点5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n一一. 问题提出问题提出例：求节点例：求节点x0, x1使插值型求积公式使插值型求积公式 具有尽可能高的代数精度。具有尽可能高的代数精度。 解：首先有解：首先有 由于是插值型

26、，其代数精度由于是插值型，其代数精度m1。 111100)()()(xfAxfAdxxf 1101001011101110102,2xxxdxxxxxAxxxdxxxxxA5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式。，就就有有满满足足，故故只只要要）（）（及及，有有进进一一步步取取。，就就有有故故只只要要有有及及，有有令令30313220)(2312,32)(101010101010311300113310012112001122 mxxxxxxxxxxxxxAxAdxxxxfmxxxxxAxAdxxxxf5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式。公式的代数精度最高为因此，两个节点的求积。，对于。对应的

27、求积公式为则，的解为上述方程组35292)33()33()()33()33()(133330311144111010101010mdxxffxxffAfAdxxfAAxxxxxx5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式 n+1个节点的插值求积公式个节点的插值求积公式 的代数精确度不低于的代数精确度不低于 n 求积公式，求积公式，能不能在区能不能在区 间间a, b上适当选择上适当选择 n 个节点个节点 x1, x2, ,xn, 使使 插值求积公式插值求积公式的代数精度高于的代数精度高于n？ 答案是肯定答案是肯定 的，适当选择节点，可使公式的精度的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到最高达到 2n+

28、1，这就是所要介绍的，这就是所要介绍的高斯求积公式高斯求积公式。 bankkkxfAdxxf0)()(5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n二二. Gauss求积公式求积公式定理：求积公式定理：求积公式 的的代数精度最高不超代数精度最高不超2n+1次次。bankkkxfAdxxf0)()( 1)/(ra(bdxxAxAxAx)/2a(bxdxAxAxAxab1dxAAA并让让其成为等式时代入公式，x,xx,1,f(x)证明：分别取1r1rbarrnrn1r10r022bann1100ban10r25.5 高斯型求积公式高斯型求积公式上面共有上面共有 r+1 个等式个等式, 2n+2 个待定系数

29、个待定系数, 要想如要想如 上方程组有唯一解上方程组有唯一解, 方程组中方程的个数应等于方程组中方程的个数应等于 待定系数待定系数的个数的个数, 即即 r=2n+1, 这样求出的解使求这样求出的解使求 积公式的代数精度至少是积公式的代数精度至少是2n+1, 下面下面证明代数精证明代数精 度只能是度只能是2n+1。如果事先已选定如果事先已选定 a, b 中求积节点中求积节点 xk 如下如下: a x1 xn b, 上式成为上式成为n个未知数个未知数 A1、.An的的 n 元线性方程组，元线性方程组， 此时要此时要 r=n 时方程组时方程组有唯一解有唯一解。5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式事实

30、上事实上, 取取2n2次多项式次多项式 g(x)=(x-x0)2 (x-x1)2 (x-x2)2.(x-xn)2 代入求积公式代入求积公式, 有有 左左= 右右= 左左 右右,故不成立等式故不成立等式,定理得证。定理得证。baxxg0d)(0)(0 nkkkxgA5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式定义定义: 使求积公式使求积公式 达到最高代数精度达到最高代数精度2n+1的求积公式称为的求积公式称为 Guass求积公式求积公式。 Guass求积公式的节点求积公式的节点 xk 称为称为Guass点点, 系数系数 Ak 称称为为Guass系数系数。 因为因为Guass求积公式也是求积公式也是插值型

31、插值型求积公式求积公式, 故有故有 结论结论: 插值型插值型求积公式的代数精度求积公式的代数精度 d 满足满足： n d 2n+1 bankkkxfAdxxfx0)()()( 5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n三三. Gauss求积公式的余项求积公式的余项高斯求积公式的系数高斯求积公式的系数Ak恒为正恒为正, 故高斯求积公式故高斯求积公式是稳定的。是稳定的。Guass求积公式有多种求积公式有多种, 他们的他们的Guass点点xk, Guass系数系数Ak都有表可以查询。都有表可以查询。)()()(),()()()!22()(,)(102)22(1)22(nnbannnnxxxxxxxbad

32、xxxnfRbaxf其中公式的余项为上连续，则高斯求积在若定理：5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n四四. 常用的常用的Gauss求积公式求积公式1. Gauss - Legendre 求积公式求积公式 其中其中高斯点为高斯点为Legendre多项式的零点多项式的零点 对于一般有限区间对于一般有限区间a,b，用线性变换，用线性变换 x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为使它变成为-1,1。 111)()(nkkkxfAdxxfnnnnnxxnxLd)1(d!21)(25.5 高斯型求积公式高斯型求积公式Gauss Legendre 点及系数表点及系数表1237732650)(5688

33、889.04786287.02369269.005384693.09061799.053472875)(6521452.03478548.03399810.08611363.04)(1575018888889.0985555556.09507745967.03)(135115773503.02)(31201)10()8()6()4()()( fffffRAxnnnknk 5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式例例. 利用高斯求积公式计算利用高斯求积公式计算解：令解：令x=1/2 ( 1+t ), 则则用用高斯高斯-Legendre求积公式计算。取求积公式计算。取n=5积分精确值为积分精确值为I=

34、ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的。由此可见，高斯公式精确度是很高的。 101xdx 111031tdtxdxI69314719. 0313131)5(5)5(5)5(2)5(2)5(1)5(1 tAtAtAI5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式2. Gauss - Chebyshev 求积公式求积公式 其中其中高斯点为高斯点为Chebyshev 多项式多项式Tn(x)的零点的零点 Tn(x)=cos(n arccos(x) 1112)(1)(nkkkxfAdxxxfnAnkxkk ,2)12(cos5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式3. Gauss - Lague

35、rre 求积公式求积公式4. Gauss - Hermite 求积公式求积公式 01)()(nkkkxxfAdxxfe nkkkxfAdxxfxe1)()(25.5 高斯型求积公式高斯型求积公式例例10. 分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分, 并做比较并做比较各种做法比较如下：各种做法比较如下：n(1) Newton-Cotes公式公式 当当n=1时时, 即用梯形公式即用梯形公式, I=0.9207354 当当n=2时时, 即用即用Simpson公式公式, I=0.9461359 当当n=3时时, I=0.9461090 当当n=4时时, I=0.9460830 当当n=5时

36、时, I=0.9460831dxxx 10sindxxxI 10sin令令5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n(2) 用复化梯形公式用复化梯形公式 令令h=1/8=0.125n(3) 用复化抛物线用复化抛物线 令令h=1/8=0.125 94569086. 0) 1()7()(2)0(2sin10 fhfhffhdxxx 946083305. 0) 1 ()6()2(2)7()(4) 0(3sin10 fhfhfhfhffhdxxx5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n(4) Romberg公式公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.946145

37、9 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.94608315.5 高斯型求积公式高斯型求积公式n(5) Gauss公式公式 令令x=(t+1)/2, 用用2个节点的个节点的Gauss公式公式 用用3个节点的个节点的Gauss公式公式9460831. 017745907. 0)17745907. 0(21sin5555556. 01021sin8888889. 017745907. 0)17745907. 0(21sin5555556. 0 I9460411.015773503.0)15773503.0(

38、21sin15773503.0)15773503.0(21sin IdtttI 1112/)1sin(5.5 高斯型求积公式高斯型求积公式比较比较n此例题的精确值为此例题的精确值为0.9460831.n由例题的各种算法可知：由例题的各种算法可知：n对对Newton-cotes公式公式, 当当n=1时只有时只有1位有效数字位有效数字,当当n=2时有时有3位有效数字位有效数字, n=5时有时有7位有效数字。位有效数字。n对复化梯形公式有对复化梯形公式有2位位, 对复化抛物线公式有对复化抛物线公式有6位位有效数字。有效数字。n用复合梯形公式用复合梯形公式, 对积分区间对积分区间0，1二分了二分了11次用次用2049个个函数值函数值, 才可得到才可得到7位准确数字。位准确数字。n用用Romberg公式对区间二分公式对区间二分3次次, 用了用了9个个函数值函数值, 得到同样的结果。得到同样的结果。n用用Gauss公式仅用了公式仅用了3个个函数值函数值, 就得到结果。就得到结果。结束结束