2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文数.doc

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1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）（2016四川）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A0B2C2iD2+2i2（5分）（2016四川）设集合A=x|1x5，Z为整数集，则集合AZ中元素的个数是（）A6B5C4D33（5分）（2016四川）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A（0，2）B（0，1）C（2，0）D（1，0）4（5分）（2016四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个

2、单位长度C向上平行移动个单位长度D向下平行移动个单位长度5（5分）（2016四川）设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足x+y2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（5分）（2016四川）已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=（）A4B2C4D27（5分）（2016四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2

3、=0.30）A2018年B2019年C2020年D2021年8（5分）（2016四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A35B20C18D99（5分）（2016四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|=1，=，则|2的最大值是（）ABCD10（5分）（2016四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分

4、别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（0，+）D（1，+）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共25分.11（3分）（2016四川）sin750=12（3分）（2016四川）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是13（3分）（2016四川）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是14（3分）（2016四川）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=4x，则f（）+f（2）=15（3分）（2016四川）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（，）

5、，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A单元圆上的“伴随点”还在单位圆上若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线其中的真命题是三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）（2016四川）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0，0.5），0.5，1），4，4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计

6、全市居民中月均用水量不低于3吨的人数说明理由；（）估计居民月均用水量的中位数17（12分）（2016四川）如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB平面PBD18（12分）（2016四川）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=（）证明：sinAsinB=sinC；（）若b2+c2a2=bc，求tanB19（12分）（2016四川）已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q0，nN+（）若a2，a3，a2+a3

7、成等差数列，求数列an的通项公式；（）设双曲线x2=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+en220（13分）（2016四川）已知椭圆E：+=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMB=MCMD21（14分）（2016四川）设函数f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718为自然对数的底数（）讨论f（x）的单调性；（）证明：当x1时，g（x）0；（）确定a的所有可能取值，使得f（x）g（

8、x）在区间（1，+）内恒成立2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文数参考答案与试题解析一、选择题1C【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=11+2i=2i，故选：C2B【分析】利用交集的运算性质即可得出【解答】解：集合A=x|1x5，Z为整数集，则集合AZ=1，2，3，4，5集合AZ中元素的个数是5故选：B3D【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D4A【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sin

9、x，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A5A【分析】由x1且y1，可得：x+y2，反之不成立，例如取x=3，y=【解答】解：由x1且y1，可得：x+y2，反之不成立：例如取x=3，y=p是q的充分不必要条件故选：A6D【分析】可求导数得到f（x）=3x212，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值【解答】解：f（x）=3x212；x2时，f（x）0，2x2时，f（x）0，x2时，f（x）0；x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；a=2故选D7B【分析】设第n年开始超过200万元，可得130（1+12%）n20

10、15200，两边取对数即可得出【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130（1+12%）n2015200，化为：（n2015）lg1.12lg2lg1.3，n2015=3.8取n=2019因此开始超过200万元的年份是2019年故选：B8C【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C9B【分析】如图所示，建立直角坐标系B（0

11、，0），CA点M的轨迹方程为：=1，令x=+cos，y=3+sin，0，2）又=，可得M，代入|2=+3sin，即可得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系B（0，0），CAM满足|=1，点M的轨迹方程为：=1，令x=+cos，y=3+sin，0，2）又=，则M，|2=+=+3sin|2的最大值是故选：B10A【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB的面积的取值范

12、围【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0x11x2），当0x1时，f（x）=，当x1时，f（x）=，l1的斜率，l2的斜率，l1与l2垂直，且x2x10，即x1x2=1直线l1：，l2：取x=0分别得到A（0，1lnx1），B（0，1+lnx2），|AB|=|1lnx1（1+lnx2）|=|2（lnx1+lnx2）|=|2lnx1x2|=2联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，|AB|xP|=函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0x11，则，PAB的面积的取值范围是（0，1）故选：A二、填空题11【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案【解答】解：s

13、in750=sin（2360+30）=sin30=，故答案为：12【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S=，棱锥的高为h=1，棱锥的体积V=Sh=故答案为：13【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出logab为整数满足的基本事件个数，由此能求出logab为整数的概率【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n=12，logab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，logab为整数的概率p=故答案为：142【分析】根据

14、函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可【解答】解：函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=4x，f（2）=f（0）=0，f（）=f（+2）=f（）=f（）=2，则f（）+f（2）=2+0=2，故答案为：215【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可【解答】解：设A（0，1），则A的“伴随点”为A（1，0），而A（1，0）的“伴随点”为（0，1），不是A，故错误，若点在单位圆上，则x2+y2=1，即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，x），满足y2+（x）2=1，即P也在单位圆上，故正确，若两点关于

15、x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，y），则Q（x，y）的“伴随点”为Q（，），则Q（，）与P（，）关于y轴对称，故正确，（1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，（1，1）的“伴随点”为（，），即（，），（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，），即（，），则（，），（1，0），（，）三点不在同一直线上，故错误，故答案为：三、解答题16【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解

16、（）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值【解答】解：（I）1=（0.08+0.16+a+0.42+0.50+a+0.12+0.08+0.04）0.5，整理可得：2=1.4+2a，解得：a=0.3（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为300.12=3.6万（）根据频率分布直方图，得；0.080.5+0.160.5+0.300.5+0.420.5=0.480.5，0.48+0.

17、50.5=0.730.5，设中位数为a，则中位数a=2+=2.0417 【分析】（I）M为PD的中点，直线CM平面PAB取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则MEPA，证明平面CME平面PAB，即可证明直线CM平面PAB；（II）证明：BD平面PAB，即可证明平面PAB平面PBD【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM平面PAB取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则MEPA，ME平面PAB，PA平面PAB，ME平面PABADBC，BC=AE，ABCE是平行四边形，CEABCE平面PAB，AB平面PAB，CE平面PABMECE=E，平面CME平面PAB，CM平面CME，CM平面PAB；（

18、II）PACD，PAB=90，AB与CD相交，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，由（I）及BC=CD=AD，可得BAD=BDA=45，ABD=90，BDAB，PAAB=A，BD平面PAB，BD平面PBD，平面PAB平面PBD18【分析】（）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明（）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（）的条件，求解B的正切函数值即可【解答】（）证明：在ABC中，+=，由正弦定理得：，=，sin（A+B）=sinC整理可得：sinAsinB=sinC，（）解：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=sinA=，=+=1，=，tanB

19、=419【分析】（）根据题意，由数列的递推公式可得a2与a3的值，又由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），代入a2与a3的值可得q2=2q，解可得q的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn1+1，将两式相减可得an=2an1，即可得数列an是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；（）根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn1+1，将两式相减可得an=qan1，分析可得an=qn1；又由双曲线x2=1的离心率为en，且e2=2，分析可得e2=2，解可得a2的值，由an=qn1可得q的值，进而可得数列an的通项公式

20、，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n1，运用分组求和法计算可得答案【解答】解：（）根据题意，数列an的首项为1，即a1=1，又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q0），解可得q=2，则有Sn+1=2Sn+1，进而有Sn=2Sn1+1，可得an=2an1，则数列an是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=12n1=2n1；（）根据题意，有Sn+1=qSn+1，同理可得Sn=qSn1+1，可得：an=qan1，又由q0，则数列an

21、是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1qn1=qn1；若e2=2，则e2=2，解可得a2=，则a2=q=，即q=，an=1qn1=qn1=（）n1，则en2=1+an2=1+3n1，故e12+e22+en2=n+（1+3+32+3n1）=n+20【分析】（）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把MAMB化为，再由两点间的距离公式求得MCMD的值得答案【解答】（）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，椭圆E的方程为；（）证明

22、：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m22=0=4m24（2m22）=84m20，即设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，|AB|=x0=m，即M（），则OM所在直线方程为y=，联立，得或C（，），D（，）则MCMD=而MAMB=（105m2）=MAMB=MCMD21【分析】（）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；（）要证g（x）0（x1），即0，即证，也就是证；（）由f（x）g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）0在（1，+）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围【解答】（）解：由f（x）=ax2alnx，得f（x）=2ax=

23、（x0），当a0时，f（x）0在（0，+）成立，则f（x）为（0，+）上的减函数；当a0时，由f（x）=0，得x=，当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；综上，当a0时，f（x）为（0，+）上的减函数，当a0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+）上为增函数；（）证明：要证g（x）0（x1），即0，即证，也就是证，令h（x）=，则h（x）=，h（x）在（1，+）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，即当x1时，h（x）e，当x1时，g（x）0；（）解：由f（x）g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）0在（1，+）内恒成立，t（1）=0，有t（x）=2ax=0在（1，+）内恒成立，令（x）=，则（x）=2a=，当x2时，（x）0，令h（x）=，h（x）=，函数在1，2）上单调递增，h（x）min=h（1）=1又2a1，e1x0，1x2，（x）0，综上所述，x1，（x）0，（x）在区间（1，+）单调递增，t（x）t（1）0，即t（x）在区间（1，+）单调递增，a第14页（共14页）